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数学建模案例教学课题—《三角函数模型的简单应用》教学设计

时间:2013-11-27


高中 数学

高中数学新课程中数学建模教学案例 —《三角函数模型的简单应用》教学设计
常德市第六中学 一、教学分析 教材分析:本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应 用,进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想,让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的 数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力. 学情分析:本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函 数模型的简单应用,学生已经有了数学建摸的基本思想和方法,应用三角函数的基本知识来解决实际问 题对学生来说应该顺理成章,所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考,培养他们的分析解决问题 的能力,提高应用所学知识的能力. 二、教学目标 1、基础知识目标:a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方 法;b 根据解析式作出图象并研究性质;c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程;d 体会三角函 数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2、能力训练目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养 学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. 3、个性情感目标:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用, 让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣, 培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神. 三、教学重点、难点 教学重点:用三角函数模型刻画潮汐变化规律,用函数思想解决具有周期变化的实际问题. 教学难点:对问题实际意义的数学解释,从实际问题中抽象出三角函数模型. 卢杰

四.教学过程设计
教学环节 师生活动 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早 潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸 (一) 货后, 在落潮时返回海洋, 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关 系表: 设计意图

呈现实 际情境

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给

出整点时的水深的近似数值。(精确到 0. 1) (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规

定至少要有 1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入 港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始 卸货,吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须 停止卸货,将船驶向较深的水域? 问题探究 1:如图所示,下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系 表: (二) 设计意图:水深 变化并不是杂 乱无章, 而是呈 现一种周期性 变化规律,得到 请同学们仔细观察表格中的数据,你能够从中得到一些什么信息? 小组合作发现,代表发言。可能结果: 1)水深的最大值是 7.5 米,最小值是 2.5 米。 2)水的深度开始由 5.0 米增加到 7.5 米,后逐渐减少一直减少到 2.5, 又开始逐渐变深,增加到 7.5 米后,又开始减少。 3)水深变化并不是杂乱无章,而是呈现一种周期性变化规律。 4) 学生活动:作图——更加直观明了这种周期性变化规律。(研究数 据的两种形式) 的是一个刻画 水深与时间关 系的三角函数 模型.

正确理 解实际 问题

5)教师呈现作图结果,学生小组代表发言,跟我们前面所学过哪个函数 类型非常的类似?追问为什么类似正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (排 除法,关键在于周期性)。 (学生活动,求解解析式)A=2.5,h=5,T=12, ? =0;

2?

?

? 12, 得? ?

?
6

.

得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型,为了保证所选函 数的精确性,通常还需要一个检验过程,教师点明:建模过程——选模, 求模,验模,应用。有了这个模型,我们大致可以知道哪些情况?学生小 组合作讨论回答,如周期、单调性、每时每刻的水深。 学生计算几个值,最后教师呈现水深关于整点时间的数值表 【师】 有了水深关于时间的函数模型以后, 作为船长考虑的问题还没有 结束,因为船只在进出港时,每艘船只的吃水深度是不一样,下面我们就 看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题: 问题探究 2:一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安 全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),试问: 该船何时能够进入港口?在港口能呆多久? (师生一起分析) 用数学的眼光看, 这里研究的是一个怎样的数学问题? 水深 ? 5.5 米 得出 2.5 sin

?x
6

? 5 ? 4 ? 1.5 ,即 sin

?x
6

? 0.2 ,

(师生齐分析)解三角不等式 sin 令 sin

?x
6

? 0.2 的方法

?x
6

? 0.2 学 生 活 动 : 操 作 计 算 器 计 算

?x
6

? 0.2014 , x ? 0.3848 , 结合电脑呈现图象

发现:在[0,24]范围内,方程 sin

?x
6

? 0.2 的解一共有 4 个,从小

到大依次记为: x1 ? 0.3846, x2 ? 5.6154. x3 ? 12.3846, x4 ? 17.6154. 得到了 4 个交点的横坐标值后,结合图象说说货船应该选择什么时间 进港?什么时间出港呢? (学生讨论,交流)

可能结果:【生 1】货船可以在 0 时 30 分钟左右进港,早晨 5 时 30 分 钟左右出港; 或者是中午 12 时 30 分钟左右进港, 在傍晚 17 时 30 分钟 左右出港。 【生 2】货船可以在 0 时 30 分钟左右进港,可以选择早晨 5 时 30 分, 中午 12 时 30 分,或者傍晚 17 时 30 分左右出港。 …… (学生讨论,最后确定方案 1 为安全方案,因为当实际水深小于安全深 度时,货船尽管没有行驶,但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥,即使后来 水位上涨,也很可能船身不再上浮) 刚才整个过程,货船在进港,在港口停留,到后来离开港口,货船的 吃深深度一直没有改变, 也就是说货船的安全深度一直没有改变, 但是实 际情况往往是货船载满货物进港,在港口卸货,在卸货的过程中,由物理 学的知识我们知道,随着船身自身重量的减小,船身会上浮,这样一来当 两者都在改变的时候,我们又该如何选择进出港时间呢?请看下面问题: 问题探究 3:在探究 2 条件中,若该船在 2:00 开始卸货,吃水深 度以每小时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将 船驶向较深的水域? (学生讨论)安全即需要:实际水深 安全水深,即: , 讨论求解方法:用代数的方法?几何的角度?(电脑作图并呈现)

通过图象可以看出,当快要到 P 时刻的时候,货船就要停止卸货, 驶向深水区。那么 P 点的坐标如何求得呢?(学生思考,讨论,交流) 求 P 点横坐标即解方程

数形结合,二分法求近似解:

由图得点 P 点横坐标在[6,7],故我们只需要算出 6,6.5,7 三个时刻 的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。 时间 6 6.5 7 实际水深 5米 4.2 米 3.8 米 安全水深 4.3 米 4.1 米 4.0 米 是否安全 安全 较安全 危险

货船应该在 6 时 30 分左右驶离港口。(可能有的同学有些异议,可以 讨论) 从这这个问题可以看出,如果有时候时间控制不当,货船在卸货的过 程中,就会出现货还没有卸完,不得已要暂时驶离港口,进入深水区,等 水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪 费?那该怎么来做呢? (学生讨论) 可以加快卸货速度,也就是加快安全深度下降速度. 设计意图: 通过 画函数的图象 中的数据作出图象, 从散点图的形状可以判断, 这个港口的水深与时间的 来研究性质.由 已知函数模型 关系可以用形如 y ? A sin(?x ? ? ) ? h 的函数来刻画,其中 x 是时间, 来研究函数, 培 养学生应用已 y 是水深.根据数据可以具体确定 A, ? , ? , h 的值. 知函数解决问 题方法.利用三 角函数解决生 活中的实际问 题, 培养解决实 际问题的能力. 解: (1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散 设计意图: 建模 观察问题中所给出的数据,可以看出,水深的变化具有周期性.根据表 点图,根据图象,可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系. 从数据和图象可以得出:A=2.5,h=5,T=12, ? =0; 由 T= 过程——选模, 求模,验模,应 用.优化学生的 知识结构, 使之 系统化、条理

(三)

建立并 完善数 学模型

(四)

求解并 验证数 学模型

2?

?

? 12, 得? ?

?
6

.

所以,这个港口的水深与时间的关系可以用

y ? 2.5 sin

?
6

x ? 5 近似描述.

化, 加强知识间 内在联系的理 解和认识.逐渐 培养学生的良

(2)货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 (米) , 所以当 y≥5.5 时就可以进港.

令 2.5 sin

?
6

x ? 5 =5.5,得 x1 ? 0.3846, x2 ? 5.6154.

好的个性品质.

由函数的周期性易得: x3 ? 12.3846, x4 ? 17.6154. 因此,货船可以在 0 时 30 分左右进港,早晨 5 时 30 分左右出港; 或在中午 12 时 30 分左右进港,下午 17 时 30 分左右出港.每次可以在港 口停留 5 小时左右. (3)设在时刻 x 货船的安全水深为 y ,那么 y ? 5.5 ? 0.3( x ? 2)( x ? 2). 在同一坐标系内作出这两个函数的图象.可以看到在 6~7 时之间两个函 数有一个交点. 通过计算,为了安全,货船最好在 6.5 时之前停止卸货,将船驶向较 深的水域。

四、教学反思 1、三角应用题的一般步骤是: ①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. ②建模:根据已知条件与求解目标,数学模型. ③求解:利用三角形,求得数学模型的解. ④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解. 2、 通过已知三角函数图象求三角函数解析式,构建三角函数模型解决实际问题. 在解答问题的过程 中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实 际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题 的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力.增进了他们对数学的理解和应用数学的信 心. 作者姓名:卢杰 单位名称:常德市六中 地址:湖南省常德市第六中学,415000 手机:13786693283 邮箱:yanchuncsnf@126.com


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