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【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件:2-1-2 平面向量、复数、程序框图及合情推理

时间:2015-04-07


名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆 提 能 专 训

[二轮备考讲义]
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[二轮备考讲义]

第二部分 专题一 第2讲

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基 础 记 忆 提 能 专 训

第二部分 二轮知识专题大突破
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第二部分 专题一 第2讲

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基 础 记 忆 提 能 专 训

专题一
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常以客观题形式考查的几个问题

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第二部分 专题一 第2讲

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第二讲
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平面向量、复数、程序框图及合情推理

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第二部分 专题一 第2讲

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1.命题与备考 ?1?向量加法、 减法的平行四边形法则与三角形法则、 两向量
基 础 记 忆

共线与垂直的条件以及向量与三角函数、 解析几何的交汇问题是 考查的热点内容, 因此求解此类问题时要根据题目特征选择恰当 的方法.
提 能 专 训

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?2?复数的四则运算有时单独考查,有时与复数的相关概念、 复数的几何意义等相互交汇考查, 在备考时注意将复数化为代数 形式再进行求解,同时注意“分母实数化”的运用.

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?3?程序框图经常与函数求值、方程求解、不等式求解、数列 求和、统计量的计算等交汇在一起命题,求解此类问题时要结合
基 础 记 忆

所学知识将程序框图表达的实际意义弄清楚,然后再对问题作 答. ?4?推理问题主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起 命题,求解此类问题时要根据题目特征寻求规律,恰当类比.
提 能 专 训

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2.小题快做 ?1?求解与向量有关的数量积问题时, 若题目中有两条互相垂 直的直线,则可以建立平面直角坐标系,引入向量的坐标,将问 题转化为代数问题解决,简化运算.
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?2?推理问题是高考的重点考查内容, 作为归纳推理的“集散
基 础 记 忆

地”, 以数列为背景是常见的命题形式.通过数列呈现的规律来确 定数列的某一项,具有一定难度,且具有“时代性”. ?3?解决算法问题的关键是读懂程序框图,明晰顺序结构、条 件结构、循环结构的真正含义.
提 能 专 训

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?4?在复数计算中遇到 i2 要换成-1,其余的运算类似多项式 的运算.

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基 础 记 忆

基础记忆
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试做真题

基础要记牢,真题须做熟

提 能 专 训

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基础知识不“背死” ,就不能“用活” !
基 础 记 忆

1.掌握两个定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一 一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共
提 能 专 训

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线向量, 那么对这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 λ1, λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底.

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2.熟记平面向量的两个充要条件
基 础 记 忆

若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.
提 能 专 训

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3.活用平面向量的三个性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则

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→ |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.
基 础 记 忆

(3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,则 x1x2+y1y2 a· b cos θ=|a||b|= 2 2 2 2 . x1+y1· x2+y2 4.区分两种合情推理的思维过程
提 能 专 训

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(1)归纳推理的思维过程: 实验、观察 → 概括、推广 — 猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程: 实验、观察 → 联想、类推 — 猜测新的结论
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5.熟悉复数的四则运算法则
基 础 记 忆

(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i. (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. ac+bd bc-ad (a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(a, b, c, d∈R, c+di≠0). c +d2 c2+d2
提 能 专 训

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6.辨明算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构:如图(1)所示.

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基 础 记 忆 提 能 专 训 热 点 盘 点

(2)条件结构:如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构:如图(4)和图(5)所示.
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高考真题要回访,做好真题底气足
基 础 记 忆

1.(2014· 湖南高考)执行如图所示的程序框图.如果输入的 t ∈[-2,2],则输出的 S 属于( )
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A.[-6,-2]
基 础 记 忆

B.[-5,-1] D.[-3,6]
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C.[-4,5]

答案:D

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解析:由程序框图,可得
基 础 记 忆

2 ? ?2t +1-3,t∈[-2,0?, S=? ? ?t-3,t∈[0,2],

其值域为(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6],故选 D.
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2.(2014· 全国新课标Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-
基 础 记 忆

b|= 6,则 a· b= A.1
答案:A

B.2

C .3

D.5
提 能 专 训

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解析:由条件,可得(a+b)2 =10,(a-b)2 =6, 两式相减,得 4a· b=4,所以 a· b=1.

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基 础 记 忆

2i 3.(2014· 安徽高考)设 i 是虚数单位,复数 i3+ =( 1+i A.-i B.i C.-1 D.1
答案:D 解析:利用 i 的运算性质及复数乘除法运算法则求解.

)

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2i?1-i? 2i i+ =-i+ =-i+i-i2=1. 2 1+i
3

故选 D.

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4.(2014· 全国新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
基 础 记 忆

A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市.
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由此可判断乙去过的城市为________.

答案:A

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解析: 由题意可推断: 甲没去过 B 城市, 但比乙去的城市多,
基 础 记 忆

而丙说“三人去过同一城市”, 说明甲去过 A, C 城市, 而乙“没 去过 C 城市”,说明乙去过 A 城市,由此可知,乙去过的城市 为 A.
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基 础 记 忆

热点盘点
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细研深究

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必须回访的热点名题

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复数的概念及运算
基 础 记 忆

[试题调研] [例 1] 1 A. 2 (1)(2014· 全国新课标Ⅰ)设 z= 2 B. 2 3 C. 2 1 +i,则|z|=( 1+i D.2 )
提 能 专 训

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[方法技巧]

由复数的代数形式求复数的模,基本思路是利

用公式|z|=|a+bi|= a2+b2直接计算.
[答案] B

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[ 解析 ]
基 础 记 忆

1-i 1-i 1 1 1 +i= +i= +i= + i ,则 |z|= 2 2 2 1+i ?1+i??1-i? 2 ,故选 B. 2

?1? ?1? 2 ? ? +? ?2= ?2? ?2?

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(2)(2014· 江西高考) z 是 z 的共轭复数,若 z+ z =2,(z- z )i
基 础 记 忆

=2(i 为虚数单位),则 z=( A.1+i C.-1+i B.-1-i D.1-i

)
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[答案]

D

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[解析]
基 础 记 忆

设 z = a + bi , 则 z = a - bi. 由 题 意 知 ,

? ? ?z+ z =2a=2, ?a=1, ? 解得? ? ?b=-1, ? ??z- z ?i=-2b=2,

故 z=1-i.
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基 础 记 忆

(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题, 一般是 先变形,把复数的非代数形式化为代数形式,然后再根据条件, 列方程(组)求解. (2)与复数 z 的模|z|和共轭复数 z 有关的问题,一般都要先设
提 能 专 训

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出复数 z 的代数形式 z=a+bi(a,b∈R),代入条件,用待定系数 法解决. (3)在有关复数 z 的等式中,可设出 z=a+bi(a,b∈R),用 待定系数法求解,也可把 z 看成未知量直接求解.
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[回访名题]
基 础 记 忆

1+3i (1)(2014· 全国新课标Ⅱ) =( 1-i A.1+2i
答案:B

) D.-1-2i
提 能 专 训

B.-1+2i

C.1-2i

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1+3i ?1+3i??1+i? -2+4i 解析: = = 2 =-1+2i,故选 B. 1-i ?1-i??1+i?

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(2)(2014· 山东高考)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若 a+i=2
基 础 记 忆

-bi,则(a+bi)2=( A.3-4i
答案:A

) B.3+4i C.4-3i D.4+3i
提 能 专 训

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解析:由 a+i=2-bi,可得 a=2,b=-1, 则(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.

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平面向量的运算与应用
基 础 记 忆

[试题调研] [例 2] (1)(2014· 四川高考)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c )
提 能 专 训

=ma+b(m∈R), 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 则 m=( A.-2 B.-1 C.1 D.2
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[答案]

D

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[解析]
基 础 记 忆

解法一:由已知,得

c=(m+4,2m+2), c· a c· b 因为 cos〈c,a〉=|c||a|,cos〈c,b〉=|c||b|, c· a c· b 所以 = , |c||a| |c||b|
提 能 专 训

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又由已知,得|b|=2|a|, 所以 2c· a=c· b, 即 2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),

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解得 m=2.
基 础 记 忆

解法二: 易知 c 是以 ma, b 为邻边的平行四边形的对角线向 量,因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,所以该平行四边形为 菱形,又由已知,得|b|=2|a|,故 m=2.
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→ → → → → (2)(2014· 湖北高考)若向量OA=(1, -3), |OA|=|OB|, OA· OB
基 础 记 忆

→ =0,则|AB|=________. [方法技巧] 向量的运算, 无论是线性运算还是数量积运算, 解题时要注意用几何意义来解决问题,既直观又准确.
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[答案]

2 5

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[解析]
基 础 记 忆

→ 解法一:设OB=(x,y),

→ → 由|OA|=|OB|知, x2+y2= 10, → → 又OA· OB=x-3y=0, 所以 x=3,y=1 或 x=-3,y=-1.
提 能 专 训

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→ 当 x=3,y=1 时,|AB|=2 5; → 当 x=-3,y=-1 时,|AB|=2 5, → 则|AB|=2 5.

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→ → → 解法二:由几何意义知, |AB|就是以OA,OB为邻边的正方
基 础 记 忆

→ 形的对角线长,所以|AB|=2 5.
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平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、 向量的坐标
基 础 记 忆

运算以及数量积的运算律的应用等. (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合, 利用平 行四边形、三角形法则求解.
提 能 专 训

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(2)已知条件中涉及向量的坐标运算, 需建立坐标系, 用坐标 运算公式求解. (3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条 件列方程.

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(4)正确理解并掌握向量的概念及运算, 强化“坐标化”的解
基 础 记 忆

题意识,注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用. 注意:在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解 为图形中的已知向量进行计算.
提 能 专 训

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[回访名题]
基 础 记 忆

(1)(2014· 全国新课标Ⅰ)设 D, E, F 分别为△ABC 的三边 BC, → → CA,AB 的中点,则EB+FC=( → A.AD 1→ B.2AD → C.BC ) 1→ D.2BC
提 能 专 训

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答案:A

1 → → 1 → → → → 1 → → 解析: EB + FC = 2 ( AB + CB ) + 2 ( AC + BC ) = 2 ( AB + AC ) = → AD,故选 A.
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(2)(2014· 天津高考)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=
基 础 记 忆

→ → 120° , 点 E, F 分别在边 BC, DC 上, BC= 3BE, DC=λDF.若AE· AF =1,则 λ 的值为________.
答案:2
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基 础 记 忆 提 能 专 训

→ → → → → → 解析:AE· AF=(AB+BE)· (AD+DF)
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?→ 1→? ? → 1→? ? ?? ? =?AB+ BC?· AD + DC 3 ?? λ ? ? ? ?

→ → 1→ → 1 → → 1 → → =AB· AD+ AB· DC+ BC· AD+ BC· DC λ 3 3λ

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1 1 1 = 2×2×cos 120° + ×2×2 + ×2×2 + ×2×2×cos λ 3 3λ
基 础 记 忆

120° 4 4 2 =-2+ + - λ 3 3λ 10 2 =3λ -3, 10 2 → → 又∵AE· AF=1,∴ - =1, 3λ 3 ∴λ=2.
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程序框图
基 础 记 忆

[试题调研] [例 3] (1)(2014· 全国新课标Ⅱ)执行如图的程序框图,如果 )
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输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=(

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A.4
基 础 记 忆

B.5 D.7
D
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C.6
[答案]

[解析]
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在循环体部分的运算为:第一步,M=2,S=5,k

=2;第二步,M=2,S=7,k=3.故输出结果为 7.

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(2)(2014· 四川高考)执行如图所示的程序框图, 如果输入的 x,
基 础 记 忆

y∈R,那么输出的 S 的最大值为(

)
提 能 专 训

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A.0
[答案]

B.1
C

C.2

D.3

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基 础 记 忆

[解析]

?x≥0, ? 当?y≥0, ?x+y≤1 ?

时,由线性规划的图解法知,目标函
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数 S=2x+y 的最大值为 2,否则,S 的值为 1.所以输出的 S 的最 大值为 2.
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基 础 记 忆

(1)解答有关程序框图的问题, 首先要读懂程序框图, 要熟练 掌握程序框图的三种基本结构.注意逐步执行,并且将每一次执 行的结果都写出来, 要注意在哪一步结束循环以防运行程序不彻 底.
提 能 专 训

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(2)循环结构常常用在一些有规律的科学计算中,如累加求 和、累乘求积、多次输入等.

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[回访名题]
基 础 记 忆

(1)(2014· 全国新课标Ⅰ)执行如图所示的程序框图, 若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( )
提 能 专 训

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20 A. 3
基 础 记 忆

16 B. 5

7 C. 2

15 D. 8

答案:D

3 3 解析:第一次循环:M=2,a=2,b=2,n=2;第二次循
热 点 盘 点

提 能 专 训

8 3 8 15 8 环:M= ,a= ,b= ,n=3;第三次循环:M= ,a= ,b 3 2 3 8 3 15 15 = ,n=4,则输出 M= ,故选 D. 8 8

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(2)(2014· 重庆高考)执行如图所示的程序框图, 若输出 k 的值
基 础 记 忆

为 6,则判断框内可填入的条件是(

)

提 能 专 训 热 点 盘 点

1 3 7 4 A.s> B.s> C.s> D.s> 2 5 10 5
答案:C
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9 8 7 7 解析:当输出 k 的值为 6 时,s=1× × × = ,结合题 10 9 8 10
基 础 记 忆

中的程序框图知,故选 C.
提 能 专 训

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第二部分 专题一 第2讲

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合情推理
[试题调研]
基 础 记 忆

[例 4]

(1)(2014· 北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定
提 能 专 训

为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的 语文、 数学成绩都不低于学生乙, 且其中至少有一门成绩高于乙, 则称“学生甲比学生乙成绩好”. 如果一组学生中没有哪位学生

热 点 盘 点

比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相 同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人
[答案] B
[二轮备考讲义] 第二部分 专题一 第2讲
第50页

) D.5 人

B.3 人

C.4 人

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[解析]
基 础 记 忆

利用反证法解决实际问题.

假设满足条件的学生有 4 位及 4 位以上, 设其中 4 位同学分 别为甲、乙、丙、丁,则 4 位同学中必有两个人语文成绩一样, 且这两个人数学成绩不一样, 那么这两个人中一个人的成绩比另 一个人好,故满足条件的学生不能超过 3 人.当有 3 位学生时,
提 能 专 训

热 点 盘 点

用 A,B,C 表示“优秀”“合格”“不合格”,则满足题意的 有 AC,CA,BB,所以最多有 3 人.

[二轮备考讲义]

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第51页

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基 础 记 忆

x (2)(2014· 陕西高考)已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn 1+x
+1

(x)=f(fn(x)),n∈N*,则 f2 014(x)的表达式为________.
[答案] x f2 014(x)= 1+2 014x
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[解析]
基 础 记 忆

观察分析、归纳推理.

x 1+x x x f1(x)= ,f (x)= = , x 1+x 2 1+2x 1+ 1+x x 1+2x x f3(x)= x =1+3x,?, 1+ 1+2x 由数学归纳法,得 x f2 014(x)= . 1+2 014x
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解决合情推理问题时应注意的几点
基 础 记 忆

(1)运用归纳推理得出一般结论时, 要注意从等式、 不等式的 项数、次数、系数等多个方面进行综合分析,归纳发现其一般结 论.
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(2)若已给出的式子较少, 规律不明显时, 可多写出几个式子, 发现其中的一般结论. (3)进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程, 然后类比推导类比对象的性质.

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(4)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.
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[回访名题] (1)(2014· 河南调研)如图所示,将正整数排成三角形数阵,每
基 础 记 忆

排的数称为一个群,从上到下顺次为第 1 群,第 2 群,?,第 n 群, ?, 第 n 群恰好有 n 个数, 则第 n 群中 n 个数的和是________. 1 2 3
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答案:3×2n-2n-3

4 6 5 8 12 10 7

16 24 20 14 9 32 48 40 28 18 11 ?
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解析:根据规律观察,可得每排的第一个数 1,2,4,8,16,?构
基 础 记 忆

成以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,所以第 n 群的第一个数 是 2n-1,第 n 群的第 2 个数是 3×2n-2,??,第 n 群的第 n-1 个数是(2n-3)×2 ,第 n 群的第 n 个数是(2n-1)×2 ,所以第 n 群的所有数之和为 2n - 1 + 3×2n - 2 + ? + (2n - 3)×21 + (2n -
1 0

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1)×20,根据错位相减法求和,得其和为 3×2n-2n-3.

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(2)(2014· 武汉调研)下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”, 其
基 础 记 忆

特点是每行每列都成等差数列,记第 i 行第 j 列的数为 ai,j(i,j ∈N*),则 ①a9,9=________; ②表中的数 82 共出现________次.
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2
基 础 记 忆

3 5 7 9 11 13 ?

4 7 10 13 16 19 ?

5 9

6 11

7 13 19 25 31 37 ?

? ? ? ? ? ? ?
提 能 专 训

3 4 5 6

13 16 17 21 21 26 25 31 ? ?

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7 ?
答案:82 5

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解析:①由题知,第 9 行第一个数是 10,公差为 9,因此第
基 础 记 忆

9 行的第 9 个数为 a9,9=10+9×(9-1)=82;②因为每行每列都 成等差数列, 所以 a1,j=2+1×(j-1)=j+1, ai,j=j+1+(i-1)×j =ij+1,令 ai,j=ij+1=82,得 ij=1×81=3×27=9×9=27×3 =81×1,所以数 82 共出现 5 次.
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领读
基 础 记 忆

向量是既有大小又有方向的量, 具有几何和代数形式的“双 重性”,常作为工具来解决其他知识模块的问题.在历年高考中 都会对该部分内容进行考查, 解决这些问题多可利用平面向量的 有关知识进行解决.基于平面向量的双重性,一般可以从两个角
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度进行思考,一是利用其“形”的特征,将其转化为平面几何的 有关知识进行解决;二是利用其“数”的特征,通过坐标转化为 代数中的有关问题进行解决.

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[典例]
基 础 记 忆

(2014· 安徽高考)已知两个不相等的非零向量 a,b,

两组向量 x1,x2,x3,x4,x5 和 y1,y2,y3,y4,y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成.记 S=x1· y1+x2· y2+x3· y3+x4· y4+x5· y5,Smin 表 示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 ________.(写出所有正确命题的编号)
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①S 有 5 个不同的值; ②若 a⊥b,则 Smin 与|a|无关; ③若 a∥b,则 Smin 与|b|无关; ④若|b|>4|a|,则 Smin>0;

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π ⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a| ,则 a 与 b 的夹角为 . 4
2

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[审题策略]

由 S=x1· y1+x2· y2+x3· y3+x4· y4+x5· y5 的对应相
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乘,注意向量 a 与 b 对应相乘出现的组数,进行分情况讨论,然 后再结合向量的运算得出正确结论.
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[答案] ②④

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[解析]
基 础 记 忆

S 有 3 种结果:

S1=a2+a2+b2+b2+b2, S2=a2+a· b+a· b+b2+b2, S3=a· b+a· b+a· b+a· b+b ,①错误. ∵ S1 - S2 = S2 - S3 = a2 + b2 - 2a· b≥a2 + b2 - 2|a||b| = (|a| -
2

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|b|)2≥0, ∴S 中最小为 S3.

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若 a⊥b,则 Smin=S3=b2 与|a|无关,②正确. 若 a∥b,则 Smin=S3=4a· b+b2 与|b|有关,③错误.
基 础 记 忆

若|b|>4|a|,则 Smin=S3=4|a||b|cos θ+b2>-4|a||b|+b2>-|b|2 +b2=0,④正确. 若|b|=2|a|, 则 Smin=S3=8|a|2cos θ+4|a|2=8|a|2, ∴2cos θ=1,
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π ∴θ=3,⑤错误. [易错提醒] 此题重点为 a· b 出现的组数,只有三种情况, 如若对题意审视不清会对分类情形把握不准,此外,还要求对向 量的运算性质等基础知识熟练掌握及应用.
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[名师支招]
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紧扣平面向量积的定义,理解其运算法则和性

质,把握数量积的特征和作用,学会应用,重点解决平面向量的 数量积的有关运算,利用数量积求解平面向量的夹角、模,以及 两向量的垂直关系.
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[ 创新体验 ]
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(2014· 东北三省四市二联 ) 在平面直角坐标系

x2 y2 xOy 中,已知点 A 在椭圆25+ 9 =1 上,点 P 满足 → → → → AP=(λ-1)OA(λ∈R),且OA· OP=72,则线段 OP 在 x 轴上 的投影长度的最大值为________.
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答案:15

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→ → → → → → 解析:AP=OP-OA=(λ-1)OA,即OP=λOA,则 O,P,A
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三点共线, → → → → OA· OP=72,OA与OP同向, → → ∴|OA||OP|=72.
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设 OP 与 x 轴夹角为 θ,

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设点 A 坐标为(x,y),B 为点 A 在 x 轴的投影,则 OP 在 x
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→ → |x| → → |OB| 72|OB| 轴上的投影长度为 |OP |· cos θ = | OP |· = = 72·2 2 = → →2 x +y |OA| |OA| 72· =72· 16 2 16 9 ≤72· 2 25x +9 25|x|+|x| |x| 1 1 15 =15, 当且仅当|x|= 4 时 16×9 25

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等号成立,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15.

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进入提能专训(六)
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