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江苏高三数学二轮复习考点精编:解三角形中有关角和最值的范围问题

时间:2013-03-14


解三角形中有关角和最值的范围问题
主备人:淮州中学
考纲要求:正弦定理、余弦定理及其应用(B) 【考情分析】 正弦定理、余弦定理及其应用是江苏近几年来高考中对解三角形部分考查的重点.一 般以三角形为背景,结合平面向量或实际应用进行考查,大多为容易题,是考生的重要得分 点.近几年考查情况如下表所示: 年份 2010 2011 2012 试题 第13,17题 第15题 第15题 知识点 正、余弦定理,解三角形 解三角形 三角形中的边角关系 备注 等价转化思想 考查运算求解能力 化归运算求解

蔡永飞

可见,近几年江苏高考三角大题,主要是以三角形为背景,注重正、余弦定理的应用,而 且背景设置新颖,题型变化多样,数学思想方法体现充分. 【备考策略】 在2013年的备考中,需要重点关注以下几个方面的问题: 1.熟练掌握三角函数的概念及公式、三角形中的边角关系式(如内角和为180°)、面 积公式以及正、余弦定理. 2.掌握解三角形的一般思路,理解边角之间的内在关系. 3.注意总结重要题型的解题规律. 【典例精析】 例 1.在△ABC 中,已知 a = 3 , b= 2 ,B=45°,求 A、C 及 c.

1

例 2 在 ?ABC , , b, c 分别是角 A, C 所对的边, b ? ac , B, 且 向量 m ? (cos(A ? C),1 a )
2

和 n ? (1, cos B) 满足 m ? n ?

(1)求 sin A ? sin C 的值; (2)求证: ?ABC 为等边三角形。

3 。 2

例3 在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (1) 求角A; (2) 若

b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? ac sin A cos A

sin B ? 2 ,求角C的取值范围. cos C

2

例 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,,且 cosA= 1 .
3

(1)求 sin

2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(2)若 a ?

3 ,求 bc 的最大值. 高考资源网

【课堂检测】 1.在 ?ABC 中,若 a =1,C= 60 ? , c = 3 则 A 的值为________ 。

2.在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 为 。

AC 的值等于 cos A

, AC 的取值范围



3. 在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________ 。

3

4.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tanC, 则 B 的取值范围是_________。

5.在△ABC 中, AB ?

3 , BC ? 2, ?A ?

?
2

,如果不等式

BA ? t BC ? AC 恒成立,则

实数 t 的取值范围是_________。

4 4 6.在△ABC 中,A 为最小角,C 为最大角, cos(2A+C)=- ,sin B= ,则 cos 2(B+C) 3 5 =_________。

7.已知△ABC 的周长为 6, BC , CA , AB 成等比数列,求 (1)△ABC 的面积 S 的最大值; (2) BA?BC 的取值范围.高考资源网

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

4

参考解析: 例 1.在△ABC 中,已知 a = 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 及 c. 分析:这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题,可用正弦定理求解,但先要判定 △ABC 是否有解,有几解,亦可用余弦定理求解. 解: ∵B=45°<90°,且 b<a,∴△ABC 有两解: 由正弦定得:sinA= ∴A=60°或 120°. ①当 A=60°时,C=75° ? C= b sinC ? sin B ②当 A=120°时,C=15° ? C= b sinC ? sin B 故 A=60°,C=75°,c=
2 sin 75? ? sin 45?
2 sin15? ? sin 45?
a sin B ? b 3 sin 45? 2 ? 3 , 2

6? 2 .高考资源网 2
6? 2 . 2
6? 2 . 2

6? 2 或 A=120°,C=15°,c= 2

小结:因 sinA=sin(π -A),故在解三角形中要考虑多种情况,灵活使用正、余弦定理,关键 是将“条件”对号.

a 例 2 在 ?ABC , , b, c 分别是角 A, C 所对的边, b ? ac , B, 且 向量 m ? (cos(A ? C),1 )
2

和 n ? (1, cos B) 满足 m ? n ?

3 。 (1)求 sin A ? sin C 的值; (2)求证: ?ABC 为等边三 2

角形。 [分析]按平面向量数量积的定义,把向量关系式转化成三角形中的边角关系,继而用三角 函数知识求解.

3 3 [解答](1) 由m·n= 2 ,得cos(A-C)+cos B= 2 , 3 又B=π -(A+C),得cos(A-C)-cos(A+C)= 2 ,

3 3 即cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-sin Asin C)= 2 ,所以sin Asin C= 4 .
(2) 由b =ac及正弦定理得sin B=sin Asin C,
2 2

3 2 故sin B= 4 . 3 1 1 1 2 于是cos B=1- 4 = 4 ,所以cos B= 2 或- 2 .
5

3 因为cos B= 2 -cos(A-C)>0, 1 π 所以cos B= 2 ,故B= 3 .
由余弦定理得b =a +c -2accos B,即b =a +c -ac,又b =ac,所以ac=a +c -ac,得a=c.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

π 因为B= 3 ,所以△ABC为等边三角形.

b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? 例3. 在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 ac sin A cos A
(1) 求角A; (2) 若

sin B ? 2 ,求角C的取值范围. cos C

解:(1) 因为 而△ABC 为斜三角形,所以 cos B≠0,所以 sin 2A=1.

π π 因为 A∈(0,π ),所以 2A= 2 ,A= 4 .
3π (2) 由(1)知 B+C= 4 , 所以 3π π π 即 tan C>1.因为 0<C< 4 ,所以 4 <C< 2 .
例 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,,且 cosA= 1 .
3

(1)求 sin

2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(2)若 a ?

3 ,求 bc 的最大值. 高考资源网

分析:(1) 条件是明确的,但一时用不上,怎么办?,让目标式向条件式转化,也就是将

sin 2

B?C ? cos 2 A 转化成 cosA 的代数式然后求值;高考资源网 2
(2)由条件及(Ⅰ)的结论,立即想到可用余弦定理破题. 解: (1)△ABC 中,sin B ? C =cos A .
2 2

6

∴sin

2

B?C 2 A 2 +cos2A= 1 ? cos A +2cos A-1 2 +cos2A=cos 2 2

2 =2cos A+ 1 cosA- 1 =2× 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 .高考资源网

2

2

4

2

3

2

9

2 2 (2)由余弦定理: 1 =cosA= b ? c ? 3 ,? bc ? 3 (b2 ? c2 ? 3) ? 3 (2bc ? 3) .

3

2bc

2

2

?bc ?

9 ,当且仅当 b=c,即△ABC 为等腰三角形时,(bc)max= 9 . 4 4

小结:本题亦可用正弦定理解出。但解法不及用余弦定理简单: cosA= 1 时, sin A ? 2 2 . 由正弦定理:
3 3

?

b c 3 3 6 ? bc ? ( 3 6 )2 sin B sin C , 高考资源网 ? ? ? 2 4 sin B sin C 4 2 3
?2?

= 9 ? 6 ? ? 1 ? [cos(B+C)-cos(B-C)]? ? ?
16

= 27 [cosA+cos(B-C)]≤ 27 ( 1 +1)= 9 .
16 16 3 4

当且仅当 B=C,即△ABC 为等腰三角形时,(bc)max= 9 .高考资
4

课堂检测: 1 在 ?ABC 中,若 a =1,C= 60 ? , c = 3 则 A 的值为( 30 ? 2. (2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 )

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为
答案 :2 ( 2 , 3 )

.

解:设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得高考资源网

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,高考资源网
? ? ? ?

? ? 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
? ? ? ? ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3). 高考资源网
3. 在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________ 4
7

4.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tanC, 则 B 的取值范围是_________。[ 5.在△ABC 中, AB ?

? ?

, ) 3 2

3 , BC ? 2, ?A ?

?
2

,如果不等式

BA ? t BC ? AC 恒成立,则

实数 t 的取值范围是( ? ? ?, ? ? ?1,? ? ? ) 2

? ?

1? ?

4 4 6.在△ABC 中,A 为最小角,C 为最大角, cos(2A+C)=- ,sin B= ,则 cos 2(B+C) 3 5 =_________。 解析:∵A 为最小角, ∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°. 4 3 ∵cos(2A+C)=- ,∴sin(2A+C)= . 5 5 ∵C 为最大角,∴B 为锐角. 4 3 又 sin B= ,故 cos B= . 5 5 4 3 即 sin(A+C)= ,cos(A+C)=- . 5 5 24 2 ∵cos(B+C)=-cos A=-cos[(2A+C)-(A+C)]=- ,∴cos 2(B+C)=2cos (B 25 527 +C)-1= . 625 527 答案: 625 7.已知△ABC 的周长为 6, BC , CA , AB 成等比数列,求 (1)△ABC 的面积 S 的最大值; (2) BA?BC 的取值范围.高考资源网 7. 解:设 BC , CA , AB 依次为 a,b,c,则 a+b+c=6,b?=ac. 在△ABC 中得 cos B ? 故有 0 ? B ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

a 2 ? c 2 ? b2 a2 ? c2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2
ac ? a ?c 6?b ? , 从而 0 ? b ? 2 .高考资源网 2 2

?
3

.又 b ?

8

(1) S ?

1 1 1 ? ac sin B ? b 2 sin B ? ? 22 ? sin ? 3 ,即 Smax ? 3 . 2 2 2 3

(2) BA?BC ? ac cos B ?

??? ??? ? ?

a 2 ? c 2 ? b 2 (a ? c)2 ? 2ac ? b 2 ? 高考资源网 2 2

(6 ? b) 2 ? 3b 2 ? ?(b ? 3)2 ? 27 .高考资源网 2 ??? ??? ? ? ? 0 ? b ? 2, ? 2 ? BA?BC ? 18 . ?

9


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