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3.2.2《一元二次不等式及其解法》(人教版必修5)_图文

时间:2013-10-23

3.2.2一元二次不等式及其解法 2013.10.23

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一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

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求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:

△≥0

b x?? 2a

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x< x1或x> x2

练习:解关于x的不等式ax ? (2a ? 2) x ? 4 ?. 0
2

解:(1)a = 0时, ?x|x < 2? ?
(2) a ? 0时,原式子可变为:(x - 2)(ax - 2)> 0 当 2 即 a(x - 2)(x - ) ? 0 a
0

? 2 ? 1 .a < 0时, ?x| < x < 2? ? ? a ?

2? ? 2 .0 < a < 1时, ?x|x < 2或x > ? ? a? ?
0
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3 .a = 1时, ?x|x ? 2? ?
0

2? ? 4 .a > 1时, ?x|x > 2或x < ? ? a? ?
0

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练习2 不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0 对所有实数x∈R都成立,求a的取值 范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 1? ? a|a?? ? 综上所述:a的取值范围是 ? 3
? ?
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名师点睛
1. 解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的 关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: ①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0),或ax2+bx+ c<0(a>0); ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+ bx+c图象的简图; ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方 求解. 当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得x>n或x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两边, 小于取中间.
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含参数的一元二次型的不等式 2. 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进 行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下 三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论:二根(Δ>0),一根 (Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2, x1=x2,x1<x2.

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误区警示

忽略二次项系数为零而出错

若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实 【示例1】 数a的取值范围.
[错解] 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 的解集为 R,
?a-2<0, ? ∴? ?Δ<0 ? ?a<2, ? ?? ?4?a-2?2-4?a-2??-4?<0. ?

?-2<a<2.

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当a-2=0时,原不等式不是一元二次不等式, 不能应用根的判别式,应当单独检验不等式是否成立. [正解] 当a-2=0,即a=2时,原不等式为-4<0, 所以a=2时成立. 当a-2≠0时,由题意得 即解得-2<a<2. 综上所述可知:-2<a≤2. 二次项系数含参数时,要严格分系数为正,系 数为0,系数为负三种情况进行讨论,缺一不可,只要题 目没有明确说明不等式是一元二次不等式,就必须讨论这 种情况.
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题型二

三个“二次”间对应关系的应用

【例2】 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),试求 关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 审题指导 可知1,2是方程x2+ax+b=0的两根,故由根与 系数的关系可求出a,b的值,从而得解. [规范解答] 由根与系数的关系,可得
?-a=1+2, ? ? ?b=1×2, ? ?a=-3, ? 即? ?b=2, ?

(6 分)

∴不等式 bx2+ax+1>0,就是 2x2-3x+1>0. 1 由于 2x -3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x< 或 x>1. 2
2

(10 分) (12 分)

∴bx +ax+1>0

2

? 1? 的解集为?-∞, ?∪(1,+∞). 2? ?
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【题后反思】 求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0) 或ax2+bx+c<0(a>0)的解集,可由二次函数的零点与相应 一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根,再根据函数图象与x轴的相关位置确定一 元二次不等式的解集.因此一元二次不等式解集的区间端 点,就是其对应的函数的零点,也就是其对应的方程的 根.

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【变式2】 已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1<x<2},求a, b的值. 解 法一 由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0 的两实根. b ? ?1+2=a, 由根与系数的关系,知? ?1×2=2, ? a
?a=1, ? 解得? ?b=3. ?

法二

把 x=1,2 分别代入方程 ax2-bx+2=0 中,
?a=1, ? 解得? ?b=3. ?

?a-b+2=0, ? 得? ?4a-2b+2=0. ?

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练习:不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有 实数x∈R都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 1 综上所述:a的取值范围是 ?a | a ? ? ? ? ? 3? ?

二次不等式ax? +bx+c>0的解集是全体实数的 条件是______. a>0时,⊿=b? -4ac<0
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例3、某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(米)和汽车车速x(千 1 1 米/小时)有如下关系 s ? 20 x ? 180 x ,在一次交通事故测得这 种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆车刹车前的车速至少是 多少?(精确到0.01km/h)
2

解:设这辆车刹车前的车速至少为xkm/h,根据 题意,我们得到 1 x ? 1 x 2 ? 39.5 20 180 移项整理,得 x 2 ? 9 x ? 7110 ? 0 2
? ? ? 0, 方程x ? 9 x ? 7110 ? 0有2个实根, 即: 1 ? ?88.94, x2 ? 79.94 x 由方程x 2 ? 9 x ? 7110 ? 0的图像,可得不等式的解集为 {x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94}

在这个实际问题中,x>0,所以这辆车刹车的车速至少为 79.94km/h。
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例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条 流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的 关系: y = -2 x2 + 220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意, 得到 -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象, 得不等式的解为50<x<60. 因为x只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托 车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益. ks5u精品课件

习题3.2 A组 第4题
已知集合A ? {x| x ? 16 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0}, 求A ? B 2 解: x ? 16 ? 0, 即(x ? 4)( x ? 4) ? 0. ?
? x1 ? 4, x2 ? ?4.? A ? {x | ?4 ? x ? 4}
? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0,即(x ? 3)( x ? 1) ? 0
2

? x1 ? 3, x2 ? 1.? B ? {x | x ? 1或3 ? x}

故A ? B ? R
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简单的分式不等式的解法 f ( x) 1. ? 0 ? f ( x).g ( x) ? 0 g ( x)
f ( x) ?0? g ( x)

f ( x)?g ( x)?0 {g ( x)?0

f ( x) 2. ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 同理: g ( x) f ( x) ?0? g ( x)

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f ( x)?g ( x)?0 {g ( x)?0

重点讲解

x?a ① ?0? x ?b
(x-a)(x-b)>0(a<b)

+

+

x?a ② ?0? x ?b
+

的解集是{x│x<a或x>b};

a



b

x

(x-a)(x-b)<0(a<b) 的解集是{x│a<x<b}. a



+ b

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例题讲解
x ?3 ? 0. 例4 解不等式: x?7 解: ∵ x ?3 ? 0 x?7

?( x ? 3)( x ? 7) ? 0 ?? ?( x ? 7) ? 0
+

-7



+

3

?原不等式的解集是 x | x ? ?7, x ? 3}. { 或
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x2 ? 4x ? 3

x

2

? 16

? 0, 可化为不等式组

{
{

x x

2

? 16 ? 0

x2 ? 4x ? 3 ? 0
2


? 16 ? 0 x2 ? 4x ? 3 ? 0

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练习4
1.解下列不等式: ()(x ? 2 ) x ? 3 ) 0 ; 1 ( ? 3.解下列不等式: x?5 2x ?1 () 1 ? 0; (2) ? 0. x ?8 x?4 4.判断下列说法是否正确: x ?1 ()不等式 1 ? 0 与不等式(x ? 1) x ? 2 ) 0 的解集相同; ( ? x?2 2? x (2)不等式 ? 0 与不等式 x 2 ? 4 ? 0 的解集相同 . 2? x
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2 (2)x x ? 2 ) ? 0 . (

2.解关于 x 的不等式(x ? a) x ? b) 0 (a ? b) ( ? .

练4答案:
1. 1 ( )(x ? 2 ) x ? 3) 0 ( ?

(2)(x ? 2 ) ? 0 . x
2

解集{x | x ? ?2,或x ? 3} 解集 {x| x? 0 x ? 2 } ,或
+ 2

+ - 0

4.(1)正确

2. x ? a) x ? b) 0 a ? b)解集{x | x ? a,或x ? b} ( ( ?( x?5 解集 {x |?5 ? x ?8 } 3.() 1 ?0 x ?8 (2) 2 x ? 1 ? 0 . 解集{x | x ? ?4,或x ? 1} x?4 2
(2) 正确

x ? 1 ? 0 ? x ? 1) x ? 2 ) 0 ( ( ? x?2

2 ? x ? 0 ? x ? 2 ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 2) ? 0即x 2 ? 4 ? 0 2? x x?2
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例6 解不等式:

?x ? 1??2 ? x ? ? 1 ?x ? 3??4 ? x ?
?x ? 1??x ? 2? ? 1 ? 0 ?x ? 3??x ? 4?
+ 3 · - · 4 x

解:原不等式化为:

4x ? 10 即 ?x ? 3??x ? 4? ? 0
+ - · 5 2

??4 x ? 10 ??x ? 3??x ? 4 ? ? 0 ? ?x ? 3??x ? 4? ? 0 ?

5 ∴原不等式的解集为: {x | x ? , 或3 ? x ? 4} 2
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例7 解不等式 ( x ? 1)( x ? x ? 6) ? 0 .
2

解:原不等式 ? ( x ? 1)( x ? 3)( x ? 2) ? 0

? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3) ? 0
?

.
-2

?

1

.

?

.

?

3

∴原不等式的解集为:

{x | x ? ?2, 1 ? x ? 3}. 或
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小结
? 1、含参数的一元二次不等式的解法。
? 2、简单方式不等式的解法。 ? 3、特殊的高次不等式的解法

作业:80 A 3,6 B2

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练3
1.

2.

3.

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?习题3.2
? B组

第2题

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