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高中数学第二章基本初等函数(I)单元测评3新人教A版必修1

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第二章 基本初等函数(I)
本章知识结构

本章测试 1.已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( A.{y|0<y< C.{y|

1 x ) ,x>1},则 A∩B 等于( 2
B.{y|0<y<1) D. ?



1 ) 2

1 <y<1) 2

思路解析:∵y=log2x,x>1,∴y>0,即 A={y|y>0}.

1 x 1 1 ) ,x>1,∴0<y< ,即 B={y|0<y< }. 2 2 2 1 1 ∴A∩B={y|y>0}∩{y|0<y< =={y|0<y< }. 2 2
又∵y=( 答案:A 2.函数 y= log 1 (x -6x+17)的值域是(
2

) C.(-∞,-3) D.[-3,+∞)

2

A.R
2

B.[8,+∞]
2

思路解析:y= log 1 [(x-3) +8]≤ log 1 8=-3.
2

答案:C 2 2 3.设 1<x<a,那么 logax 、(logax) 、loga(logax)之间的大小顺序是( ) 2 2 2 A.logax <(logax) < loga(logax) B.logax < loga(logax)< 2 (logax) 2 2 2 2 C.loga(logax)<(logax) <logax D.(logax) <logax <loga(logax) 2 思路解析:解法一:令 x=2,a=4,则 logax =log44=1,

1

(logax) =(log42) =

2

2

1 1 2 2 ,loga(logax)=log4(log42)=- ,∴loga(logax)<(logax) <logax . 2 4
2

解 法 二 : ∵ 1 < x < a , ∴ 0 < logax < 1.logax =2logax > logax > 0, logax,loga(logax)<loga1=0, 2 2 ∴loga(logax)<(logax) <logax . 答案:C 4 函数 y=

0 < (logax) <

2

log2 ( x ? 1) 2? x

的定义域是(

) B.(1,2) D.(-∞,2)

A.(1,2] C.(2,+∞) 思路解析:由题意得 ?

? x ? 1 ? 0, ?1<x<2. ?2 ? x ? 0

答案:B 5.设有两个命题,则实数 a 的范围是( ) 2 x ①关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对于一切 x∈R 恒成立 ②函数 f(x)=-(5-2a) 是减函数,若 此二命题有且只有一个为真命题 A.(-2,2) B.(- ∞ ,2) C.(- ∞ ,-2) D.(∞,-2] 2 思路解析:①等价于Δ =(2a) -16<0 ? -2<a<2.②等价于 5-2a>1 ? a<2. ①②有且只有一个为真,∴a∈(-∞,-2). 答案:C 6.二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y=(
2

b x ) 的图象只可能是( a



思路解析:由 y=( ∴-

b x b ) 的图象知 0< <1, a a

1 b 1 2 <<0,即二次函数 y=ax +bx 的对称轴在- 到 0 之间. 2 2a 2

答案:A -1 x+1`` 7.已知函数 y=f(x)的反函数为 f (x)=2 ,则 f(1)等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.4 -1 x+1 思路解析:令 f(1)=x,则 f (x)=1,令 2 =1,∴x=-1. 答案:C 8.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是( A.(0,



1 ) 2

B.(0,

1 ] 2

C.(

1 ,+∞) 2

D.(0,+∞)

2

思路解析:f(x)=log2a(x+1)>0=log2a1. ∵x∈(-1,0),∴0<x+1<1. ∴0<2a<1,即 0<a<

1 . 2

答案:A x x x x 9.下图是指数函数①y=a ,②y=b ,③y=c ,④y=d 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是 ( )

A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 思路解析:因为任何底数的一次幂都是底数本身,所以,可作直线 x=1,它同各个图象相交,交 点的纵坐标就是各指数函数的底数. 答案:B 10.今有一组试验数据如下: t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 )

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( A.v=log2t B.v= log1 t
2

C.v=

t 2 ?1 2

D.v=2t-2

思路解析 : 五组数据,取近似值 1.99 ≈ 2;4.04 ≈ 4;5.1 ≈ 5,18.01 ≈ 18 ,代入验证可知 v=

t 2 ?1 最接近. 2

答案:C 11.函数 f:{1,2,3}→{1,2,3}满足 f(f(x))= f(x),则这样的函数共有( ) A.1 个 B.4 个 C.8 个 D.10 个 思路解析:由 f(f(x))=f(x)可知,集合 A={1,2,3}的象 f(A)(即所有 f(x)构成的集合)在映 射 f 下保持不变,即对于任意 x∈f(A),总有 f(x)=x,则问题转化为对 f(A)的讨论: (1)f(A)中有 3 个元素时,只能为 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3. 2 (2)f(A)中有 2 个元素时,如{1,2}则 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=2 均可从而有 C 3× 2=6 个. (3)f(A)中有 1 个元素时,如 f(1)=f(2)=f(3)=1 时,满足条件的有 3 个,共计 10 个函数. 答案:D 12.方程

1 ? 3? x =3 的解是_____________________. 1 ? 3x

1 ? 3? x 2 x 思路解析:由 =3 得 3·3 x+2·3 -1=0. x 1? 3

3

∴3 =

x

1 x 或 3 =-1(舍). ∴x=-1. 3

答案:-1 13.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 1%,经过 x 年后世界人口数为 y 亿,则 y 与 x 的函数解析式为_____________________. 思路解析:1992 年底世界人口为 54.8 亿. 1 年后的人口数为 y1=54.8+54.8×1%=54.8×(1+1%); 2 2 年后的人口数为 y2=54.8×(1+1%)+54.8×(1+1%)×1%=54.8×(1+1%) ; 3 3 年后的人口数为 y3=54.8×(1+1%) ; …… x x 年后的人口数为 y=54.8×(1+1%) . x 答案:y=54.8×(1+1%) 14.若不等式 3 x
2

?2 ax

>(
2

1 x+1 ) 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为______________. 3
2

思路解析:由题意知 x -2ax>-x-1 恒成立,即 x -(2a-1)x+1>0 恒成立. 故Δ =(2a-1) -4<0 ? 2

1 3 <a< . 2 2

答案:-

1 3 <a< 2 2
2

15. 若函数 f(x)=lg(x +ax-a-1) 在区间[ 2,+ ∞]上单调递增 , 则实数 a 的取值范围是 _________. 思路解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,要注意判断函数的单调性必须在函数的定 义域内进行. ∵函数 f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,

? a ?a ? ?4, a ?? ? 2, 2 ∴- ≤2,且 x=2 时,x +ax-a-1>0,即 ? 2 ?? 2 ?a ? ?3. ? ?4 ? 2a ? a ? 1 ? 0
∴a>-3,即实数 a 的取值范围是(-3,+∞). 答案:(-3,+∞) 16.一种放射性元素,最初的质量为 500 g,按每年 10%的速率衰减. (1)求 t 年后,这种放射性元素质量ω 的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做 半衰期).(精确到 0.1.已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1) 思路解析:(1)最初的质量为 500 g. 1 经过 1 年后,ω =500(1-10%)=500×0.9 ; 2 经过 2 年后,ω =500×0.9(1-10%)=500×0.9 ; t 由此推知,t 年后,ω =500×0.9 . (2) 解 方 程 500 × 0.9 =250 ? 0.9 =0.5 ? lg0.9 =lg0.5 ? tlg0.9=lg0.5,t=
t t t

lg 0.5 ? lg 2 =≈6.6(年).即 lg 0.9 2 lg 3 ? 1

这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年. t 答案: (1)ω =500×0.9 ; (2)半衰期约为 6.6 年.
4

17.已知二次函数 f(x)的二次项系数为负数,且对任意 x 恒有 f(2-x)=f(2+x)成立,解不等 式 f[ log 1 (x +x+
2
2

5 1 2 )]>f[ log 1 (2x -x+ )]. 8 2 2

思路解析:因为对任意 x,恒有 f(2-x)=f(2+x)成立,可得二次函数 f(x)的对称轴是 x=2. ∵x +x+
2

1 1 2 1 1 5 1 2 1 1 2 =(x+ ) + ≥ ,2x -x+ =2(x- ) + ≥ , 2 2 8 2 2 4 4 4
2

∴ log 1 (x +x+
2

5 1 1 1 2 )≤ log 1 =2, log 1 (2x -x+ )≤ log 1 ( )=1. 8 2 2 4 2 2 2

∵二次函数 f(x)的二次项系数为负数, ∴在对称轴左侧 f(x)为增函数. ∴ log 1 (x +x+
2
2

5 5 1 1 1 2 2 2 2 ) > log 1 (2x -x+ ) ? x +x+ < 2x -x+ ? x -2x+ > 0 ? x < 8 8 8 2 2 2

4 ? 14 4 ? 14 或 x> . 4 4
故不等式的解集为(-∞,

4 ? 14 4 ? 14 )∪( ,+∞). 4 4

答案:(-∞,

4 ? 14 4 ? 14 )∪( ,+∞). 4 4
1? x (a>0 且 a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明. x ?1

18.试讨论函数 f(x)=loga

思路解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,判定的法则是同增异减,判定的关键是分清 函数的复合过程. 解:设 u=

1? x ,任取 x2>x1>1,则 x ?1

u2-u1=

1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x2 )(x1 ? 1) ? (1 ? x1 )(x2 ? 1) 2( x1 ? x2 ) ? ? ? x2 ? 1 x1 ? 1 ( x2 ? 1)(x1 ? 1) ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

∵x1>1,x2>1,∴x1-1>0,x2-1>0. 又∵x1<x2,∴x1-x2<0. ∴

2( x1 ? x2 ) <0,即 u2<u1. ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

当 a>1 时,y=logax 是增函数, ∴logau2<logau1,即 f(x2)<f(x1); 当 0<a<1 时,y=logax 是减函数,∴logau2>logau1,即 f(x2)>f(x1). 综上可知,当 a>1 时,f(x)=loga

1? x 在(1,+∞)上为减函数; x ?1

5

1? x 在(1,+∞)上为增函数. x ?1 1? x 答案:当 a>1 时,f(x)=loga 在(1,+∞)上为减函数; x ?1 1? x 当 0<a<1 时,f(x)=loga 在(1,+∞)上为增函数. x ?1
当 0<a<1 时,f(x)=loga 19.设 f(x)=lg

1? 2x ? 4x a ,且当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围. 3
x x

思路解析 : 欲使 x ∈ (- ∞ ,1\) 时, f(x) 有意义,需 1+2 +4 a > 0 恒成立,也就是 a > -

1 x 1 x ) +( ) ](x≤1)恒成立. 2 4 1 x 1 x ∵u(x)=-[( ) +( ) ]在(-∞,1]上是增函数, 2 4 3 ∴当 x=1 时, [u(x)]max=- . 4 3 3 于是可知,当 a>- 时,满足题意,即 a 的取值范围为(- ,+∞). 4 4 3 答案:a 的取值范围为(- ,+∞). 4
[( 20.某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略不计),研究 开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数 y 是研究时间 t 的函数,记作 y=f(t). (1)写出函数 y=f(t)的定义域和值域; (2)在所给坐标系中画出 y=f(t)(0≤t<6)的图象; (3)写出研究进行到 n 小时(n≥0,n∈Z)时,细菌的总数有多少个(用关于 n 的式子表示). n * 思路解析:(1)y=f(t)定义域为 t∈[0,+∞),值域为{y|y=2 ,n∈N }. (2)0≤t<6 时,为一分段函数,

?2,0 ? t ? 2, ? y= ?4,2 ? 4,4, 图象如下图. ?8,4 ? t ? 6, ?

(3)n 为偶数时,y= 2 +1; n 为奇数时,y= 2
n ?1 2

n 2

+1.

6

? n ?2 2 ? 1, n为偶数, ∴y= ? n ?1 ?2 2 ? 1, n为奇数. ?

7


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