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2011高考数学复习点拨:构造概率分布列

时间:2011-03-27


2011 高考数学复习点拨:构造概率分布列 利用 Eξ2≥(Eξ)2 高考数学复习点拨: ξ ξ 证明不等式
重庆 慕泽刚 若离散型随机变量ξ列为 P(ξ=xi)=Pi(i=1,2,…,n…),其中 p1+p2+…=1,则依方 差公式 Dξ=Eξ2-(Eξ)2=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xi-Eξ)2pi+…≥0,可得 Eξ 2≥ (Eξ)2. 利用这一结论,在证明一些不等式时,若能根据不等式的结构特征,巧妙地构造 离散型随机变量,则可另辟蹊径,别具一格地证明不等式.构造分布列证明不等式的一般步 骤是: (1)根据不等式的结构特征确定随机变量 ξ 的取值 xi 及相应的概率值 pi. (2)分别计算随机变量 ξ 及 ξ2 的期望 Eξ﹑Eξ2. (3)最后利用 Eξ2≥(Eξ)2. 一、利用不等式的轮换对称性构造分布列 如果所证的不等式中含有 n 个字母, 且不等式是一个关于每个字母的轮换对称式, 则可 以根据每个字母在式中处于同等的地位的特点, 则可将每个字母取值视为一个随机变量的取 1 值,每个取值的概率均为n. a+b 2 a2+b2 例 1 求证( 2 ) ≤ 2 ·[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 证明: 证明:构造随机变量 ξ 的分布列为 ξ P a+b a2+b2 所以 Eξ= 2 ,(Eξ)2= 2 a2+b2 a+b 2 由 Eξ ≥(Eξ) ,得 2 ≥( 2 ) 。
2 2

a 1 2

b 1 2

数学期望也常称 为均值.Eξ2≥(Eξ)2 说明 ξ2 的“平均值”不小于 ξ 的“平均值”的平方.而不等 式 a2+b2 a+b 2 2 ≥( 2 ) 说明平方平均数不小于算术平均数的平方.两者之间 确有类似之处充分体

现出随机 性数学与决定性数学的融合,显示了数学的统一. 例 2 求证:已知 a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 证明:不等式 为关于 a、b﹑c 的轮换对称式,构造随机变量ξ的分布列为 ξ a 1 3[来 P 源:学 +科+ 网] 1 3 1 3 b c

a+b+c a2+b2+c2 所以 Eξ= 3 ,(Eξ)2= [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 3

a2+b2+c2 a+b+c 2 由 Eξ ≥(Eξ) ,得 ≥( 3 ) , 3
2 2

化简整理得 a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 利用“ 二、利用“和为 1”条件构造分布列 ” 如果证明以几项的和为 1 的条件不等式, 则取所证不等式的项或项的部分因式及变式为 随机变量,取和为 1 的项为随机变量相应的概率构造分布列.如果题设条件中没有“和为 1” 的 等式,则可以通过凑“和为 1” ,其凑法主要有两条途 径:一是根据所给的条件等式变形 凑“1” ;二是根据已有的公式或题中没有的而成立的等式凑“1”. 2 2 2 例 3 已知 a,b 是不相等的两个正数,x、y∈R,且 a+b=1 求证:ax +by ≥(ax+by) . 证明:构造随机变量 ξ 的分布列为 证明 ξ x[来源: 学,科, 网] y

P[来 a[来源: 源:学。 学_科_网 科。网] Z_X_X_K]

b

所以 Eξ=ax+by,Eξ2=ax2+by2,[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 由 Eξ2≥(Eξ)2,得 ax2+by2≥(ax+by)2. 例 4 已知 x2+y2=16,求证:x+y≤4 2. x2 y2 x2 y2 x 证明:由 x2+y2=16,变形得16+16=1,所以16与16为概率,而所证不等式变形为4+ y 4 4 4≤ 2, 根据概率的特点取随机变量为x 与y,因此,构造随机变量ξ的分布列为: ξ P 4 x x2 16 4 y y2 16

x y 所以 Eξ=4+4,Eξ2=2,[来源:学.科.网 Z.X.X.K] x y 由 Eξ2≥(Eξ)2,即 2≥(4+4)2,化简整理得 x+y≤4 2. a+b+c a2 b2 c2 + + ≥ 2 . 例 5 设 a>0﹑b>0﹑c>0,求证: b+c c+a a+b b+c c+a a+b 证明: + + = 证明:∵(a+b)+(b+c)+(a+c)=2(a+b+c),∴ 2(a+b+c) 2(a+b+c) 2(a+b+c) a b c 1,同时取左端的部分因式 ﹑ ﹑ 为随机变量,构离散型随机变量ξ的分布列: b+c c+a a+b b+c c+a a+b a b c P(ξ= )= ;P(ξ= )= ;P(ξ= )= ; b+c 2(a+b+c) c+a 2(a+b+c) a+b 2(a+b+c) Eξ2=( a 2 b+c b 2 a+b c 2 a+b a2 b2 ) +( ) +( ) =( + + b+c 2(a+b+c) c+a 2(a+b+c) a+b 2(a+b+c) b+c c+a

c2 1 )· , a+b 2(a+b+c)

b+c c+a a+b a b c 1 Eξ= · + · + · = , b+c 2(a+b+c) c+a 2(a+b+c) a+b 2(a+b+c) 2 a+b+c a2 b2 c2 + + )≥ 2 . 依 Eξ2≥(Eξ)2,可得 b+c c+a a+b π sin3α cos3α ,求证 sinβ + cosβ ≥1.[来源:Zxxk.Com] 例 6 设 α、β∈ ( 0,2) sinαsinβ cosαcosβ + =1,时取左端的部分 证明: 证明:∵cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,∴ cos(α-β) cos(α-β) sinα cosα 因式sinβ﹑cosβ 为随机变量,构离散型随机变量 ξ 的分布列: sinα sinαsinβ cosα cosαcosβ ;P(ξ= cosβ)= ; P(ξ=sinβ)= cos(α-β) cos(α-β) sinα sinαsinβ cosα cosαcosβ sin3α cos3α 1 Eξ2=(sinβ)2· +(cosβ)2· =( sinβ + cosβ )· , cos(α-β) cos(α-β) cos(α-β) sinα sinαsinβ cosα cosαcosβ 1 Eξ=sinβ· + · = ,[来源:学.科.网 Z.X.X.K] cos(α-β) cosβ cos(α-β) cos(α-β) sin3α cos3α 依 Eξ2≥(Eξ2,可得( sinβ + cosβ )· 1 1 ≥ , cos(α-β) cos2(α-β)

sin3α cos3α 1 即 sinβ + cosβ ≥ ≥1,得证. cos(α-β)


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