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课时跟踪检测(十一) 函数与方程

时间:2018-01-11


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课时跟踪检测(十一)

函数与方程

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1. 若函数 f(x)=ax+1 在区间(-1,1)上存在一个零点, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知,f(-1)· f(1)<0, 即(1-a)(1+a)<0,解得 a<-1 或 a>1. 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 1 ? 2 .函数 f(x) = 2alog2x + a· 4x + 3 在区间 ? ?2,1? 上有零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 1 ? ?1? 解析:函数 f(x)在? ?2,1?上是单调函数,又 f?2?=3>0,则根据零点存在性定理,应满 3 足 f(1)=4a+3<0,解得 a<- . 4 3? 答案:? ?-∞,-4? 1-|x-1|,x<2, ? ? 3.(2016· 镇江调研)设函数 f(x)=?1 则方程 xf(x)-1=0 根的个数为 ? ?2f?x-2?,x≥2, ________. 1 1 解析: 问题转化为求方程 f(x)= 解的个数, 作出函数 y=f(x)与 y= 的图象, 如图所示. x x

1 1 当 x<7 时,由图象可知解的个数为 6.当 x≥7 时,f(x)<x恒成立,即 f(x)=x无解,所以 根的个数为 6. 答案:6 4.已知函数 f(x)= 2 +a 的零点为 1,则实数 a 的值为______. 3x+1 2 1 +a=0,解得 a=- . 2 3 +1
1

解析:由已知得 f(1)=0,即 1 答案:- 2

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2 ? ?x -x-1,x≥2或x≤-1, 5.若 f(x)=? 则函数 g(x)=f(x)-x 的零点为________. ?1,-1<x<2, ?

解析:要求函数 g(x)=f(x)-x 的零点,即求 f(x)=x 的根,
?x≥2或x≤-1, ?-1<x<2, ? ? ∴? 2 或? ? ? ?x -x-1=x ?1=x.

解得 x=1+ 2或 x=1. ∴g(x)的零点为 1+ 2,1. 答案:1+ 2,1 ? 二保高考,全练题型做到高考达标

?4,x≥m, ? 1.(2016· 苏州调研)已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-2x 恰有三个 ?x +4x-3,x<m. ?

不同的零点,则实数 m 的取值范围是________.
? ?x≥m, 解 析 : 问题 转 化为 g(x) = 0 , 即 方 程 f(x) = 2x 有 三 个 不同 的 解 ,即 ? 或 ?4=2x ? ? ? ? ? ?x<m, ?x≥m, ?x<m, ?x<m, ? 2 解得? 或? 或? 因为方程 f(x)=2x 有三个不同的 ?x +4x-3=2x, ? ? ?x=-3. ? ?x=2 ?x=1 ?

m≤2, ? ? 解,所以?m>1, ? ?m>-3, 答案:(1,2]

解得 1<m≤2.

2 ? ?x +x-2,x≤0, ? 2.函数 f(x)= 的零点个数为________. ?-1+ln x,x>0 ?

? ? ?x≤0, ?x>0, 解析:法一:由 f(x)=0 得? 2 或? 解得 x=-2 或 x=e. ?x +x-2=0 ? ? ?-1+ln x=0,

因此函数 f(x)共有 2 个零点. 法二:函数 f(x)的图象如图所示,由图象知函数 f(x)共有 2 个零点.

答案:2 3.(2016· 苏锡常镇调研)设 m∈N,若函数 f(x)=2x-m 10-x-m+10 存在整数零点,

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则 m 的取值集合为________. 解析:令 f(x)=0,得 m= 2x+10 10-x+1 .因为 m∈N,则 2x+10=0 或 2x+10>0, 10-x

∈Z 且 2x+10 能被 10-x+1 整除并且商为自然数,所以有如下几种情况: 当 2x+10=0,即 x=-5 时,m=0; 当 x=1 时,m=3; 当 x=9 时,m=14; 当 x=10 时,m=30. 综上所述,m 的取值集合为{0,3,14,30}. 答案:{0,3,14,30} 4.设函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则函数 g(x)=f(x) -sin x 在区间[-π,π]上的零点个数为________. 解析:要求函数 g(x)=f(x)-sin x 的零点,即求方程 f(x)-sin x=0 的根,将其转化为 f(x)=sin x 的根, 进一步转化为函数 y=f(x)与函数 y=sin x 的图象交点的问题. 在同一坐标 系下,作出两个函数的图象如图所示,可知在区间[-π,π]上有 3 个交点.

答案:3 5.(2015· 南京三模)已知 a,t 为正实数,函数 f(x)=x2-2x+a,且对任意的 x∈[0,t], 都有 f(x)∈[-a, a]. 若对每一个正实数 a, 记 t 的最大值为 g(a), 则函数 g(a)的值域为________. 解析:因为 f(x)=(x-1)2+a-1,且 f(0)=f(2)=a; 1 当 a-1≥-a,即 a≥ 时,此时,恒有[a-1,a]?[-a,a],故 t∈(0,2],从而 g(a)=2; 2 1 1 当 a-1<-a,即 0<a< 时,此时 t∈(0,1)且 t2-2t+a≥-a 在 0<a< 上恒成立,即 t≥1 2 2 1 + 1-2a(不成立, 舍去)或 t≤1- 1-2a, 则 g(a)=1- 1-2a, 由于 0<a< , 故 g(a)∈(0,1). 2 综上,g(a)的值域为(0,1)∪{2}. 答案:(0,1)∪{2}
x ?e ,x≤0, 1 6.已知 f(x)=? g(x)=f(x)- x-b 有且仅有一个零点时,b 的取值范围是 2 ? x,x>0,


________. x 解析:要使函数 g(x)=f(x)- -b 有且仅有一个零点,只需要函数 f(x)的图象与函数 y 2

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x = +b 的图象有且仅有一个交点,通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象 (图略)并 2 1 观察得,要符合题意,须满足 b≥1 或 b= 或 b≤0. 2
?1? 答案:(-∞,0]∪[1,+∞)∪?2? ? ?
x ? ?a ,x≥0, 7.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点, ?kx+1,x<0, ?

则实数 k 的取值范围是______. 解析:函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解, 即 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的 图象.当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点;当 k=1 时,有一个交点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满足题 意. 答案:(0,1) 8 . (2015· 南 通 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) 是 定 义 在 [1 , + ∞) 上 的 函 数 , 且 f(x) = 1-|2x-3|,1≤x<2, ? ? ?1 ?1 ? 则函数 y=2xf(x)-3 在区间(1,2 015)上的零点个数为________. ?2f?2x?,x≥2, ? 解析:由题意得,当 1≤x<2 时,

?2x-2,1≤x≤2, f(x)=? 3 ?4-2x,2<x<2.


3

设 x∈[2n 1,2n](n∈N*),


x 1 ? 1 ? - x - ∈[1,2),又 f(x)= n-1f ?2n 1 ?, 2n 1 2 2
n-1∈

①当

x

1 ? 1 ? 1 ? 1 n-2 ? ?1,3?时,则 x∈[2n-1,3· n-1x = n-1 2· n-1x-2 , 2 ] ,所以 f ( x ) = n-1f ? 2? ?2 ? 2 ? 2 ? 2

1 1 - - - ? 2 n-1x-2 -3=0,整理得 x -2· 所以 2xf(x)-3=2x· n-1?2· 2n 2x-3· 22n 4=0.解得 x=3· 2n 2 ? 2 ?
2

或 x=-2n 2.由于 x∈[2n 1,3· 2n 2],所以 x=3· 2n 2;
- - - -

②当

1 1 ? x 1 1 - ?3,2?时,则 x∈(3· - x 2n 2,2n),所以 f(x)= n-1f ?2n-1x?= n-1?4-2· - ∈ 2n 1 ?, ? ? 2 ? 2n 1 ?2 ? 2

2x 1 - - - 所以 2xf(x)-3=2x· n-1?4-2n-1?-3=0, 整理得 x2-4· 2n 2x+3· 22n 4=0.解得 x=3· 2n 2 或 ? 2 ? x=2n 2.由于 x∈(3· 2n
- -2,

2n),所以无解.


综上所述,x=3· 2n 2.由 x=3· 2n 2∈(1,2 015),得 n≤11,所以函数 y=2xf(x)-3 在区


间(1,2 015)上零点的个数是 11.

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答案:11 x 1 9.已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1? 证明:存在 x0∈? ?0,2?,使 f(x0)=x0. 证明:令 g(x)=f(x)-x. 1? 1 1 ?1? 1 ∵g(0)= ,g? ?2?=f ?2?-2=-8, 4 1? ∴g(0)· g? ?2?<0. 1? 又函数 g(x)在? ?0,2?上是连续曲线, 1? ∴存在 x0∈? ?0,2?,使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0. 10.已知二次函数 f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a. (1)判断命题:“对于任意的 a∈R,方程 f(x)=1 必有实数根”的真假,并写出判断过 程; 1 0, ?内各有一个零点,求实数 a 的取值范围. (2)若 y=f(x)在区间(-1,0)及? ? 2? 解:(1)“对于任意的 a∈R,方程 f(x)=1 必有实数根”是真命题; 依题意 f(x)=1 有实根,即 x2+(2a-1)x-2a=0 有实根, 因为 Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0 对于任意的 a∈R 恒成立,即 x2+(2a-1)x-2a=0 必有实根,从而 f(x)=1 必有实根. 1? (2)依题意知,要使 y=f(x)在区间(-1,0)及? ?0,2?内各有一个零点, f?-1?>0, ? ?f?0?<0, 只需? 1? ?f? ? ?2?>0, 1 3 解得 <a< . 2 4 1 3? 故实数 a 的取值范围为? ?2,4?. 3-4a>0, ? ?1-2a<0, 即? -a>0, ?3 ? 4

?

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[x] 1.已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= -a(x≠0)有且仅有 3 x 个零点,则实数 a 的取值范围是________.

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解析:当 0<x<1 时,f(x)=

[x] -a=-a; x

[x] 1 1≤x<2 时,f(x)= x -a=x-a; [x] 2 2≤x<3 时,f(x)= x -a=x-a;?. [x] [x] [x] f(x)= x -a 的图象是把 y= x 的图象进行纵向平移而得到的,画出 y= x 的图象,如 3 4? ?4 3? 图所示,通过数形结合可知 a∈? ?4,5?∪?3,2?.

3 4? ?4 3? 答案:? ?4,5?∪?3,2? 2 . (2016· 无锡调研 ) 已知函数 y = f(x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时, f(x) =

?-4x ,0≤x≤2, ? ?1? 3 ?-?2? -4,x>2,
2 x

1

7a 若关于 x 的方程[f(x)]2+af(x)+ =0,a∈R 有且仅有 8 个不同的实 16

数根,则实数 a 的取值范围是________. 解析:

作出函数 f(x)的图象(如图).令 t=f(x),则关于 x 的方程[f(x)]2+af(x)+

7a =0(a∈R)有 16

且仅有 8 个不同的实数根可转化为关于 x 的方程 t=f(x)在 R 上有 4 个不同的实数根,由函 3? 数图象可知,t∈? ?-1,-4?时关于 x 的方程 t=f(x)在 R 上有 4 个不同的实数根,故可转化 为求关于实数 t 的方程 t2+at+ 3? 7a 2 =0 在 t∈? ?-1,-4?内有两个不等实根,令 g(t)=t +at 16

? 3 <- , ?-1<-a 2 4 7a + ,则? 16 g?-1?>0, ? ? ?g??-3 4?>0,

Δ>0,

? ?3 <a<2, 2 即? 7 1-a+ a>0, 16 ?9 3 7 ?16-4a+16a>0,

7 a2- a>0, 4

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7 16 解得 <a< . 4 9 7 16? 答案:? ?4, 9 ? 3. 已知二次函数 f(x)的最小值为-4, 且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3, x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; f?x? (2)求函数 g(x)= x -4ln x 的零点个数. 解:(1)∵f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}, ∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且 a>0. ∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3. (2)∵g(x)= x2-2x-3 3 -4ln x=x- -4ln x-2(x>0), x x

3 4 ?x-1??x-3? ∴g′(x)=1+ 2- = . x x x2 令 g′(x)=0,得 x1=1,x2=3. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下: x g′(x) g(x) (0,1) + ? 1 0 极大值 (1,3) - ? 3 0 极小值 (3,+∞) + ?

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0. 又因为 g(x)在(3,+∞)上单调递增,因而 g(x)在(3,+∞)上只有 1 个零点. 故 g(x)在(0,+∞)上仅有 1 个零点.


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