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简单的三角恒等变换练习(含答案)

时间:2015-11-18


简单的三角恒等变换
一、填空题 1.若

5 4 11 ? π<α< π,sin2α=- ,求 tan ________________ 2 5 4 ? 3 7π ? ,3π<θ< ,则 tan 的值为___________. 5 2 ? 4 12 ? ?? ,sinβ= ,则 cos 的值为____________. 5 13 ?

2.已知 sinθ=-

4.已知 α 为钝角、β 为锐角且 sinα= 5. 设 5π<θ<6π,cos 二、解答题 6.化简

? ? =a,则 sin 的值等于________________ ? ?

1 ? sin 2? ? cos 2? . 1 ? sin 2? ? cos 2?

7.求证:2sin(

π π -x)· sin( +x)=cos2x. 4 4

8.求证:

1 ? 2 sin? ? cos? 1 ? tan? . ? cos2 ? ? sin2 a 1 ? tan?

A tan 2 a ? cos B ? b 2 ? a?b . 9.在△ABC 中,已知 cosA= ,求证: B a ?b a ? b ? cos B tan 2 2
10. 求 sin15° ,cos15° ,tan15° 的值.

11. 设-3π<α<-

1 ? cos(? ? π ) 5π ,化简 . 2 2

12. 求证:1+2cos2θ-cos2θ=2.

13. 求证:4sinθ· cos2 ? =2sinθ+sin2θ.

?

14. 设 25sin2x+sinx-24=0,x 是第二象限角,求 cos

x 的值. 2

15. 已知 sinα=

12 4 ? ,sin(α+β)= ,α 与 β 均为锐角,求 cos . 13 5 ?

简单的三角恒等变换 参考答案
一、填空题 1. 二、解答题 6.解:原式=

5 ?1 . 2.-3 2

4.

7 65 65

5.-

1? a 2

1 ? sin 2? ? cos 2? 1 ? 2 sin? ? cos? ? ?1 ? 2 sin2 ? ? 2 sin? ? cos? ? ? sin2 ? = = 1 ? sin 2? ? cos 2? 1 ? 2 sin? ? cos? ? ? 2 cos2 ? ? ?? 2 sin? ? cos? ? 2 cos2 ?

=

2 sin? ? ? cos? ? sin? ? =tanθ. 2 cos? ? (sin? ? cos? )

7.证明:左边=2sin(

π π π π π -x)· sin( +x)=2sin( -x)· cos( -x)=sin( -2x) 2 4 4 4 4
证 明 : 左 边

=cos2x=右边,原题得证. 8 = .

(cos? ? sin? ) 2 1 ? 2 sin? ? cos? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 sin? ? cos? = = (cos? ? sin? ) ? (cos? ? sin? ) (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) cos2 ? ? sin2 ?

=

cos? ? sin? 1 ? tan? = =右边,原题得证. cos? ? sin? 1 ? tan? a ? cos B ? b (a ? b) ? (1 ? cos B) ,∴1-cosA= , a ? b ? cos B a ? b ? cos B

9.证明:∵cosA= 1+cosA=

1 ? cos A (a ? b) ? (1 ? cos B ) (a ? b) ? (1 ? cos B) ? .∴ . 1 ? cos A (a ? b) ? (1 ? cos B ) a ? b ? cos B

A 2 sin2 1 ? cos A 2 ? tan 2 A , 1 ? cos B ? tan2 B , 而 ? 1 ? cos A 2 cos2 B 2 1 ? cos B 2 2
A tan 2 A (a ? b) B ? 2 2 ? a?b . ∴tan 2 ( a ? b) · tan 2 ,即 a ?b 2 B tan 2
2

10.解:因为 15° 是第一象限的角,所以

1 ? cos 30? sin15° = ? 2 1 ? cos 30? cos15° = ? 2

1?

3 2 2 ? 2 ? 3 ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2) ? 6 ? 2 , 2 2 4 4 4 3 2 2 ? 2 ? 3 ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2) ? 6 ? 2 , 2 2 4 4 4

1?

tan15° =

1 ? cos 30? =2- 3 . 1 ? cos 30?

11.解:∵-3π<α<-

5π 3π 5π ? ? ,∴- < <- ,cos <0. 2 2 4 ? ?

又由诱导公式得 cos(α-π)=-cosα, ∴
1 ? cos(? ? π ) 1 ? cos? ? ? =-cos . 2 ? ?

1 ? cos 2? 12.证明:左边=1+2cos2θ-cos2θ=1+2· -cos2θ=2=右边. 2
13.证明:左边=4sinθ· cos2 ? =2sinθ· 2cos2 ? =2sinθ· (1+cosθ) =2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边. 14.解:因为 25sin2x+sinx-24=0,所以 sinx= 所以 sinx=

?

?

24 或 sinx=-1.又因为 x 是第二象限角, 25

x 24 7 ,cosx=- .又 是第一或第三象限角, 2 25 25
1? 7 25 =±3 . 2 5

1 ? cos x x 从而 cos =± ?? 2 2

15.解:∵0<α<

5 π π π ,∴cosα= 1 ? sin2 ? ? .又∵0<α< ,0<β< , 13 2 2 2

∴0<α+β<π.若0<α+β< 故

π ,∵sin(α+β)<sinα,∴α+β<α 不可能. 2

3 π <α+β<π.∴cos(α+β)=- .∴cosβ=cos[ (α+β)-α] 5 2

=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- ∵0<β<

3 5 4 12 33 · ? · ? , 5 13 5 13 65

π ? π ,∴0< < . 2 2 4
1 ? cos ? 7 65 ? . 2 65

故 cos

?
?

?


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