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福建省泉州市安溪一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析)

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2014-2015 学年福建省泉州市安溪一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求 的,请把正确答案的字母填在答题卡中. ) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=() A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 2. (5 分)若函数 f(x)满足 f(3x+2)=9x+8,则 f(x)是() A.f(x)=9x+8 B. f(x)=3x+2 C. f(x)=﹣3﹣4 D.f(x)=3x+2 或 f(x)=﹣3x﹣4 3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是() A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x +1
2 2

D.y=lg|x|

4. (5 分)设 x0 是函数 f(x)=lnx+x﹣4 的零点,则 x0 所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5. (5 分)设 a=0.3 ,b=2 ,c=log20.3,则 a,b,c 的大小关系为() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b
2 0.3

6. (5 分)若 f(x)=

,则 f(1)的值为()

A.8

B.

C. 2

D.

7. (5 分)在同一坐标系下,函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是()

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A.

B.

C.

D.

8. (5 分)已知 A.3 B.17

,f(﹣3)=10,则 f(3)的值为() C.﹣10 D.﹣24

9. (5 分)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g (x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区 2 间[a,b]称为“关联区间”.若 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”, 则 m 的取值范围为() A.(﹣ ,﹣2] B.[﹣1,0] C.(﹣∞,﹣2] D.(﹣ ,+∞)

10. (5 分)函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x) 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; 2 ②f(x )在[1, ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 +f(x4)] 其中真命题的序号是() A.①② B.①③ [f(x1)+f(x2)+f(x3)

C.②④

D.③④

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) a 11. (4 分)已知集合 M={3,2 },N={a,b}.若 M∩N={4},则 M∪N=.
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12. (4 分)已知幂函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)x

2

﹣5m﹣3

在(0,+∞)上是增函数,则 m=.

13. (4 分)已知 log147=a,log145=b,则用 a,b 表示 log3556=.

14. (4 分)设函数 f(x)= 取值范围是.

,若函数 f(x)在(a,a+1)递增,则 a 的

15. (4 分)f(x)=|2x﹣1|,f1(x)=f(x) ,f2(x)=f(f1(x) ) ,…,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) , 则函数 y=f4(x)的零点个数为.

三、解答题(共 80 分) 16. (13 分) (Ⅰ)已知 a+a =11,求 a
2
﹣1

﹣a

的值;

(Ⅱ)解关于 x 的方程(log2x) ﹣2log2x﹣3=0.

17. (13 分)已知函数 f(x)=lg(x﹣2)的定义域为 A,函数 g(x)= 域为 B. (1)求 A∩B, (?RB)∪A; (2)若 C={x|x≥2m﹣1},且(A∩B)?C,求实数 m 的取值范围.

,x∈[0,9]的值

18. (13 分)辽宁号航母纪念章从 2012 年 10 月 5 日起开始上市.通过市场调查,得到该纪 念章每 1 枚的市场价 y(单位:元)与上市时间 x(单位:天)的数据如下: 上市时间 x 天4 1036 市场价 y 元 905190 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由:①y=ax+b;②y=ax +bx+c;③y=alogbx. (2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 19. (13 分)已知函数 f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3) ,其中 a>0 且 a≠1. (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)求函数 f(x)的零点; (Ⅲ)若函数 f(x)的最大值为 2,求 a 的值. 20. (14 分)已知 f(x)=3 ,并且 f(a+2)=18,g(x)=3 ﹣4 的定义域为区间[﹣1,1]. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)用定义证明 g(x)在[﹣1,1]上为单调递减函数; (3)若函数 y=f(x)﹣4 和 g(x)值域相同,求 y=f(x)﹣4 的定义域.
x ax x 2

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21. (14 分)已知函数 f(x)的自变量的取值区间为 A,若其值域区间也为 A,则称 A 为 f (x)的保值区间. (1)求函数 f(x)=x 形如[n,+∞) (n∈R)的保值区间; (2)函数 是否存在形如[a,b](a<b)的保值区间?若存在,
2

求出实数 a,b 的值,若不存在,请说明理由.

2014-2015 学年福建省泉州市安溪一中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求 的,请把正确答案的字母填在答题卡中. ) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=() A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 解出集合 A,再由交的定义求出两集合的交集. 2 解答: 解:∵A={x|x ﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2} 故选 C 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. 2. (5 分)若函数 f(x)满足 f(3x+2)=9x+8,则 f(x)是() A.f(x)=9x+8 B. f(x)=3x+2 C. f(x)=﹣3﹣4 D.f(x)=3x+2 或 f(x)=﹣3x﹣4 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用换元法,令 t=3x+2,则 x= 为 x 即可得 f(x)的解析式. 解答: 解:令 t=3x+2,则 x= ,所以 f(t)=9× +8=3t+2. 代入 f(x)中,即可求得 f(t) ,然后将 t 换
2

所以 f(x)=3x+2. 故选 B. 点评: 本题主要考查复合函数解析式的求法, 采取的方法一般是利用配凑法或者换元法来 解决.属于基础题.

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3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是() A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x +1
2

D.y=lg|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递减, D 在区间(0,+∞)上单调递增,可得结论. 解答: 解:根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递 减,D 在区间(0,+∞)上单调递增, 故选:C. 点评: 本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 4. (5 分)设 x0 是函数 f(x)=lnx+x﹣4 的零点,则 x0 所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 f(2)<0,f(3)>0,再根据函数的零点的判定定理求得 函数的零点 x0 所在的区间. 解答: 解:∵x0 是函数 f(x)=1nx+x﹣4 的零点,f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3﹣1>0, ∴函数的零点 x0 所在的区间为(2,3) , 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 5. (5 分)设 a=0.3 ,b=2 ,c=log20.3,则 a,b,c 的大小关系为() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 考点: 对数值大小的比较;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由 0<a=0.3 <0.3 =1,b=2 >2 =1,c=log20.3<log21=0,知 c<a<b. 2 0 解答: 解:∵0<a=0.3 <0.3 =1, 0.3 0 b=2 >2 =1, c=log20.3<log21=0, ∴c<a<b. 故选 A. 点评: 本题考查对数值和指数值大小的比较,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
2 0 0.3 0 2 0.3

6. (5 分)若 f(x)=

,则 f(1)的值为()

A.8

B.

C. 2

D.

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考点: 函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 已知 f(x)为分段函数,把 x=1 代入相对应的函数解析式,从而求解; 解答: 解:∵f(x)= ∵1<2, ∴f(1)=f(1+2)=f(3)=2 = , 故选 B. 点评: 此题主要考查分段函数的解析式,此类题很简单,就是看分段函数的定义域,计算 认真即可; 7. (5 分)在同一坐标系下,函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是()
﹣3



A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质;函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 由函数 y=x+a 与 y=logax 的解析式可知, a>0, 从而 y=x+a 在 y 轴上的截距大于零, 可排除 B,D,进一步分析可排除 C. 解答: 解:由函数 y=x+a 与 y=logax 的解析式可知,a>0, ∴y=x+a 在 y 轴上的截距大于零,故可排除 B,D; 由图 C 可知,y=x+a 在 y 轴上的截距 a 大于 1,从而 y=logax 应为增函数,图 C 中 y=logax 为减函数,故 C 错误;而 A 符合题意. 故选 A. 点评: 本题考查对数函数的图象与性质, 着重考查一次函数 y=x+a 与对数函数 y=logax 之 间的对应关系,考查数形结合的分析能力,属于中档题.

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8. (5 分)已知 A.3 B.17

,f(﹣3)=10,则 f(3)的值为() C.﹣10 D.﹣24

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 可令 g(x)= 3)=10,可求 f(3)的值. 解答: 解:令 g(x)= ∵令 g(﹣x)= , =﹣( )=﹣g(x) , ,则 g(x)为奇函数,利用 f(﹣x)+f(x)=﹣14,f(﹣

∴g(x)为奇函数, ∴g(x)+g(﹣x)=0. ∵f(x)=g(x)﹣7, ∴f(﹣x)+f(x)=﹣14, ∵f(﹣3)=10, ∴f(3)=﹣24. 故选 D. 点评: 本题考查函数奇偶性的性质,关键在于把握 f(﹣x)+f(x)=﹣14,考查学生的观 察与灵活运用能力,属于中档题. 9. (5 分)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g (x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区 间[a,b]称为“关联区间”.若 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”, 则 m 的取值范围为() A.(﹣ ,﹣2] B.[﹣1,0] C.(﹣∞,﹣2] D.(﹣ ,+∞)
2

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 压轴题;新定义. 2 分析: 由题意可得 h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,

故有

,由此求得 m 的取值范围.

解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”, 2 故函数 y=h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,

2

故有

,即

,解得﹣ <m≤﹣2,

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故选 A. 点评: 本题考查函数零点的判定定理,“关联函数”的定义,二次函数的性质,体现了转化 的数学思想,属于基础题. 10. (5 分)函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x) 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; 2 ②f(x )在[1, ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 +f(x4)] 其中真命题的序号是() A.①② B.①③ [f(x1)+f(x2)+f(x3)

C.②④

D.③④

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;抽象函数及其应用;函数的连续性. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据题设条件,分别举出反例,说明①和②都是错误的;同时证明③和④是正 确的.

解答: 解:在①中,反例:f(x)=

在[1,3]上满足性质 P,

但 f(x)在[1,3]上不是连续函数,故①不成立; 2 2 在②中,反例:f(x)=﹣x 在[1,3]上满足性质 P,但 f(x )=﹣x 在[1, 质 P, 故②不成立; 在③中:在[1,3]上,f(2)=f( )≤

]上不满足性







故 f(x)=1, ∴对任意的 x1,x2∈[1,3],f(x)=1, 故③成立; 在④中,对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3], 有 ≤ =

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≤ = [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],



[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],

故④成立. 故选 D. 点评: 本题考查的知识点为函数定义的理解, 说明一个结论错误时, 只需举出反例即可. 说 明一个结论正确时,要证明对所有的情况都成立. 二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) a 11. (4 分)已知集合 M={3,2 },N={a,b}.若 M∩N={4},则 M∪N={2,3,4}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 M 与 N 的交集,得到 4 属于 M,属于 N,进而确定出 a 与 b 的值,即可求出 两集合的并集. a 解答: 解:∵M={3,2 },N=(a,b) ,且 M∩N={4}, a ∴2 =4,且 a=4 或 b=4, 解得:a=2,b=4, ∴M={3,4},N={2,4}, 则 M∪N={2,3,4}. 故答案为:{2,3,4} 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 12. (4 分)已知幂函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)x 考点: 专题: 分析: 解答:
2
﹣5m﹣3

在(0,+∞)上是增函数,则 m=﹣1.

幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 函数的性质及应用. 根据幂函数的定义与性质,即可求出 m 的值. 解:根据幂函数的定义和性质,得; ,

解得 m=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,解题的关键是得出关于 m 的方程和 不等式,是基础题.

13. (4 分)已知 log147=a,log145=b,则用 a,b 表示 log3556=



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考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质. 函数的性质及应用. 根据对数的基本运算法则以及对数的换底公式进行化简即可. 解:

log3556=

=



故答案为: 点评: 本题主要考查对数的基本运算,要求熟练掌握对数的运算法则和对数的换底公式, 考查学生的计算能力.

14. (4 分)设函数 f(x)= 取值范围是(﹣∞,1]∪[4,+∞) .

,若函数 f(x)在(a,a+1)递增,则 a 的

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 求出分段函数各段的单调性,再由条件可得 a+1≤2 或 a≥4,解出即可. 解答: 解:当 x≤4 时,y=﹣x +4x=﹣(x﹣2) +4,则在(﹣∞,2]上递增, (2,4]上递 减; 当 x>4 时,y=log2x 在(4,+∞)上递增. 由于函数 f(x)在(a,a+1)递增, 则 a+1≤2 或 a≥4,解得 a≥4 或 a≤1, 故答案为: (﹣∞,1]∪[4,+∞) . 点评: 本题考查分段函数的单调性及运用,注意各段的单调性,考查运算能力,属于基础 题. 15. (4 分)f(x)=|2x﹣1|,f1(x)=f(x) ,f2(x)=f(f1(x) ) ,…,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) , 则函数 y=f4(x)的零点个数为 8. 考点: 专题: 分析: 解答: 根的存在性及根的个数判断. 计算题. 由递推的函数式,逐层求解,获得方程的根,即为函数的零点,可得个数. 解:由题意可得 y=f4(x)=f(f3(x) )=|2f3(x)﹣1|,
2 2

令其为 0 可得 f3(x)= ,即 f(f2(x) )=|2f2(x)﹣1|= , 解得 f2(x)= 或 f2(x)= ,即 f(f1(x) )= 或 ,

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而 f(f1(x) )=|2f1(x)﹣1|,令其等于 或 , 可得 f1(x)= ,或 ;或 ,或 , 由 f1(x)=f(x)=|2x﹣1|= ,或 ;或 ,或 , 可解得 x= 或 ; 或 ; 或 ; 或 .

故可得函数 y=f4(x)的零点个数为:8 故答案为 8 点评: 本题考查根的存在性及个数的判断,逐层突破是解决问题的关键,属中档题. 三、解答题(共 80 分) 16. (13 分) (Ⅰ)已知 a+a =11,求 a
2
﹣1

﹣a

的值;

(Ⅱ)解关于 x 的方程(log2x) ﹣2log2x﹣3=0. 考点: 函数的零点;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)运用(a 求解. 解答: 解: (1)∵a+a =11 ∴(a ∴a ﹣a ﹣a ) =a+a ﹣2=9 =±3,
2 2
﹣1 ﹣1

﹣a

) =a+a ﹣2 整体求解. (2)t=log2x,转化为 t ﹣2t﹣3=0

2

﹣1

2

(2)设 t=log2x,∵(log2x) ﹣2log2x﹣3=0. 2 ∴t ﹣2t﹣3=0, 即 t=﹣1,t=3, ∴log2x=﹣1,log2x=3, 即 x= ,x=8, 点评: 本题考察了运用平方整体求解问题,换元法求解方程,属于中档题.

17. (13 分)已知函数 f(x)=lg(x﹣2)的定义域为 A,函数 g(x)= 域为 B. (1)求 A∩B, (?RB)∪A; (2)若 C={x|x≥2m﹣1},且(A∩B)?C,求实数 m 的取值范围.

,x∈[0,9]的值

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)根据对数函数的真数大于 0,求出集合 A,由交集的定义求两个集合的交集;
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(2) (A∩B)?C,由子集的定义通过比较端点可以得出 2m﹣1≤2,即可得到实数 m 的取值 范围 解答: 解: (1)由题意知:A=(2,+∞) ,B=[0,3], ∴?RB={x|x>3 或 x<0}, A∩B={x|2<x≤3}, (?RB)∪A={x|x>2 或 x<0}; (2)由题意:{x|2<x≤3}?{x|x≥2m﹣1},故 2m﹣1≤2, 解得 m ,所以实数 m 的取值集合为{m|m }.

点评: 本题考查交并补集的混合运算, 以及集合中的参数问题, 求解本题的关键是正确求 出两个函数的定义域, 以及根据集合的包含关系做出正确的判断. 求参数时要注意验证端点 是否能取到,这是一个易出错的地方. 18. (13 分)辽宁号航母纪念章从 2012 年 10 月 5 日起开始上市.通过市场调查,得到该纪 念章每 1 枚的市场价 y(单位:元)与上市时间 x(单位:天)的数据如下: 上市时间 x 天4 1036 市场价 y 元 905190 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价 y 2 与上市时间 x 的变化关系并说明理由:①y=ax+b;②y=ax +bx+c;③y=alogbx. (2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)随着时间 x 的增加,y 的值先减后增,结合函数的单调性即可得出结论; (2)把点(4,90) , (10,51) , (36,90)代入 y=ax +bx+c 中,求出函数解析式,利用配 方法,即可求出辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 解答: 解: (1)∵随着时间 x 的增加,y 的值先减后增,而所给的三个函数中 y=ax+b 和 y=alogbx 显然都是单调函数,不满足题意,∴y=ax +bx+c.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 2 (2)把点(4,90) , (10,51) , (36,90)代入 y=ax +bx+c 中, 得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ,b=﹣10,c=126﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)
2 2 2 2

解得

∴y= x ﹣10x+126= (x﹣20) +26,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ∴当 x=20 时,y 有最小值 ymin=26.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查函数模型的选择, 考查学生利用数学知识解决实际问题的能力, 确定函数 模型是关键. 19. (13 分)已知 函数 f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3) ,其中 a>0 且 a≠1. (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)求函数 f(x)的零点;
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(Ⅲ)若函数 f(x)的最大值为 2,求 a 的值. 考点: 函数的最值及其几何意义;函数的定义域及其求法;函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由题意, ,从而求函数 f(x)的定义域;

(Ⅱ)函数的零点即方程 loga(1﹣x) (x+3)=0 的解,从而求函数 f(x)的零点; (Ⅲ) 由f (x) =loga (1﹣x) (x+3) 的最大值为 2 可得 f (﹣1) =loga (1+1) (﹣1+3) =loga4=2, 从而求 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得, , 解得,﹣3<x<1, 即函数 f(x)的定义域为(﹣3,1) ; (Ⅱ)f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)=loga(1﹣x) (x+3) , 令 loga(1﹣x) (x+3)=0, 则(1﹣x) (x+3)=1, 则 x= ,x=﹣ ﹣1; 即函数 f(x)的零点为 ,﹣ ﹣1; (Ⅲ)∵f(x)=loga(1﹣x) (x+3)的最大值为 2, ∴f(﹣1)=loga(1+1) (﹣1+3)=loga4=2, 则 a=2. 点评: 本题考查了函数的定义域,零点及最值的求法,函数的零点转化为方程的根,属于 中档题. 20. (14 分)已知 f(x)=3 ,并且 f(a+2)=18,g(x)=3 ﹣4 的定义域为区间[﹣1,1]. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)用定义证明 g(x)在[﹣1,1]上为单调递减函数; (3)若函数 y=f(x)﹣4 和 g(x)值域相同,求 y=f(x)﹣4 的定义域. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. x ax x a+2 分析: (1)f(x)=3 ,并且 f(a+2)=18,g(x)=3 ﹣4 ,可得 3 =18,可求得 a 的 值,可以求得函数 g(x)的解析式; (2)可得 g(x)的解析式,任取实数 x1,x2 满足﹣1≤x1<x2≤1,利用定义法进行求解,判 断 g(x1)﹣g(x2)与 0 的关系,从而求解; (3)利用换元法,令 t=2 ,x∈[﹣1,1],则 2 ∈[ ,2],求出 g(x)的值域,可以求出 y=f (x)﹣4 的定义域. x 解答: 解: (1)∵f(a+2)=18,f(x)=3 , a+2 a ∴3 =18?3 =2, a x x x x ∴g(x)=(3 ) ﹣4 =2 ﹣4 ,x∈[﹣1,1]…(4 分)
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x x x ax x

(2)g(x)=2 ﹣4 ,x∈[﹣1,1],任取实数 x1,x2 满足﹣1≤x1<x2≤1

x

x

y=2 为单调递增函数, ﹣1≤x1<x2≤1, 则 则 则 g(x1)﹣g(x2)>0,于是 g(x)在[﹣1,1]上为单调递减函数…(8 分) (3)令 t=2 ,x∈[﹣1,1],则 2 ∈[ ,2],?t﹣t =﹣(t﹣ ) + ,t∈[ ,2], 于是 g(x)值域为[﹣2, ],则 y=f(x)﹣4 值域为[﹣2, ]即 ﹣2≤3x﹣4≤ ,得 log32≤x≤ , ];
x x 2 2

x



即 y=f(x)﹣4 的定义域为:[log32,

点评: 此题主要考查函数的单调性的证明与应用, 以及函数的解析式的求法, 利用定义法 求出函数的单调性是常考的题目,此题是一道中档题; 21. (14 分)已知函数 f(x)的自变量的取值区间为 A,若其值域区间也为 A,则称 A 为 f (x)的保值区间. (1)求函数 f(x)=x 形如[n,+∞) (n∈R)的保值区间; (2)函数 是否存在形如[a,b](a<b)的保值区间?若存在,
2

求出实数 a,b 的值,若不存在,请说明理由. 考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 2 2 2 分析: (1)由题意可得 f(x)=x 在[0,+∞)是增函数,f(n)=n ,即 n =n,由此求得 n 的值,从而求得函数的保值区间

(2)由题意可得 a>0,

.当实数 a,b∈(0,1)时,利用

单调性可得 a、b 不存在.当实数 a,b∈[1,+∞)时,可得不存在满足条件的实数 a,b.当 a∈(0,1) ,b∈[1,+∞) ,可得 a、b 不存在,由以上得出结论. 2 2 2 解答: 解: (1)∵f(x)=x ≥0,∴n≥0,又 f(x)=x 在[0,+∞)是增函数,故 f(n)=n , 2 n =n,∴n=0,或 n=1. 2 ∴函数 f(x)=x 形如[n,+∞) (n∈R)的保值区间有[0,+∞)或[1,+∞) .

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(2)假设存在实数 a,b 使得函数 值区间,

,有形如[a,b](a<b)的保

则 a>0,



1 当实数 a,b∈(0,1)时,

0

,此时,g(x)为减函数,


0

,即

,∴a=b 与 a<b 矛盾.

2 当实数 a,b∈[1,+∞)时,

, 此时, g (x) 为为增函数, 故

, 即



得方程

在[1,+∞)上有两个不等的实根,而

,即 x ﹣x+1=0 无实根,

2

故此时不存在满足条件的实数 a,b. 0 3 当 a∈(0,1) ,b∈[1,+∞) , ∵1∈(a,b) ,而 g(1)=0. 故此时不存在满足条件的实数 a,b. 综上述,不存在实数 a,b 使得函数 ,有形如[a,b](a<b)的

保值区间. 点评: 本题主要考查函数的定义域和值域的求法, 函数的单调性的应用, 体现了分类讨论 的数学思想,属于基础题.

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