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江苏省泰州市高二第二学期期末联考

时间:2012-07-12


江苏省泰州市高二第二学期期末联考 数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 口岸中学) 审题人:周如才(省姜堰中学) 教研室) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 可选用公式:数学期望:E(X)= x1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? ? x n p n 方 差:V(X)= ( x1 ? ? ) p 1 ? ( x 2 ? ? ) p 2 ? ? ? ? ( x n ? ? ) p n ,其中 x i
2 2 2

总分 160 分) 李立群(江苏省

命题人:蔡德华(泰兴市第二高级中学) 华增元(姜堰娄庄中学)

芮 进(泰兴市第一高级中学)窦如强(泰州市

是随机变量 X 的可能取值, p i 是概率, p i ≥0, i =1,2,3,??,n ; ? = E(X) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 2 ? 1 ? ni ,其中 n ? R , i 是虚数单位,则 n = 1.已知 ▲ . 1? i
? x ? cos t ( t 为参数 ) 的普通方程是 2. 曲线 ? ? y ? 2 ? sin t





3.用 1,2,3,4,5 这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有 ▲ 个.(用 数字作答) 2 6 4.在 ( x ? ) 的展开式中,常数项是 ▲ . (用数字作答) x 5.若根据 5 名儿童的年龄 x (岁)和体重 y (kg)的数据,用最小二乘法得到用年龄预报体
? 重的线性回归方程是 y ? 2 x ? 7 ,已知这 5 名儿童的年龄分别是 3,4,5,6,7,则这 5 名

儿童的平均体重是 ▲ kg. 6. 通过随机询问 56 名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明书, 得到如下 2 ? 2 列 联表: 女 读营养说明书 不读营养说明书 总计 从调查的结果分析,经计算得 ? ?
2

男 8 16 24
2

总计 28 28 56

20 12 32
56(20 ? 16 ? 8 ? 12) 32 ? 24 ? 28 ? 28

? 4.667 ,你认为性别和读营养说

明书有关系的把握有 附: ( P ( ? ? x0 )
2





0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

x0

0.455
3 n ?1 n?6

0.708
?

1.323
n

2.072

2.706
2

3.841

5.024
n

6.635

7.879

10.828

7.若 C 23

? C 23 ( n ? N )且 (3 ? x ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ,则
n

a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ( ? 1) a n ?
2



. ▲ ▲ . .

8.曲线 y= ? x ? 6 x ,则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为 9.已知复数 z ? x ? yi ( x , y ? R ) ,且 | z ? 2 |?
3 ,则
y x

的最大值是

10.用反证法证明命题:“如果 a , b ? N , ab 可被 3 整除,那么 a , b 中至少有一个能被 3 整除”时,假设的内容应为 ▲ . 11.给出下面类比推理命题(其中 R 为实数集, C 为复数集) : ①“若 a , b ? R , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a , b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ②“若 a , b ? R , 则 ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 ”类比推出“若 a , b ? C , 则 ab ? 0 ? a ? 0 或b ? 0 ” ; ③“若 a , b ? R , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” 类比推出“若 a , b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ④“若 a , b ? R , 则 a ? b ? 0 ”类比推出“若 a , b ? C , 则 a ? b ? 0 ”
2 2 2 2

所有命题中类比结论正确的序号是





12.对于 R 上的可导函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 2) f '( x ) ? 0 ,则 f (0) ? f(3) 与 2 f (2) 的大小 关系为 ▲ . (填“大于”“小于”“不大于”“不小于” 、 、 、 )

13.从装有 n ? 1 个球(其中 n 个白球,1 个黑球)的口袋中取出 m 个球 (0 ? m ? n , m , n ,
? N ) ,共有 C n ?1 种取法。在这 C n ?1 种取法中,可以分成两类:一类是取出的 m 个球全部
m m
?

为白球, 一类是取出的 m ? 1 个白球和 1 个黑球, 共有 C1 ? C n ? C1 ? C n
0 m 1

m ?1

? C n ?1 , 即有等式:
m

Cn ? Cn
m

m ?1

? C n ?1 成立。试根据上述思想化简下列式子:
m

Ck ? Cn ? Ck ? Cn
0 m 1

m ?1

? Ck ? Cn
2
x

m?2

? ? ? Ck ? Cn
k

m?k

= ▲ .( 2 ? k ? m ? n , k , m , n ? N )
*

14.已知 x ? ( 0 ,1] f ( x ) ? (1 ? 2 x ? 2 t ) dt ,则 f ( x ) 的值域是 ?
0



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分)已知复数 z ? ( m ? 1) ? ( m ? 3 m ? 2) i ,求分别满足下列条件的实
2 2

数 m 的值. (1) z 为纯虚数;

(2) 在复平面上的对应点在以 (0, ? 3 m ) 为圆心, 17 为半径的圆上错误! 未找到引用源。 . z

16. (本小题满分 14 分) 已知在 f ( x ) ? ( x ? 1) 的展开式中, 只有第 6 项的二项式系数最大.
n

(1)求 n ; (2)求 f ( 96 ) 被 10 除所得的余数。

? x ? 1 ? 3t 17. (本小题满分 14 分)已知直线 l : ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴 ? y ? ? 1 ? 4t

正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? (1)将曲线 C 的方程化成直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

2 cos( ? ?

?
4

).

18. (本小题满分 14 分)试求使不等式
1 n ?1 ? 1 n?2 ? 1 n?3 ?? ? 1 3n ? 1 ? 5 ? 2 t 对一切正整数 n 都成立的最小自然数 t 的值,

并用数学归纳法加以证明.

19. (本小题满分 16 分)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这 3 个景点的概 率分别为 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时

游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1)求 ? 的分布; (2)求 ? 的数学期望及方差; (3)记“函数 f ( x ) ? x ? 2? x ? ln x 是单调增函数”为事件 A ,求事件 A 的概率.
2

(可能用到的数据: 0 .76 ? 0 .58 , 0 .48 ? 0 . 23 , 1 . 52
2 2

2

? 2 . 31 , 0 .24

2

? 0 .06 )

20. (本小题满分 18 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2

x ? 2 tx ? 3 ln x , g ( x ) ?
2

x?t x ?3
2

,函数 f ( x ) 在

x ? a , x ? b 处取得极值,其中 0 ? a ? b .

(1)求实数 t 的范围; (2)判断 g ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上单调性; (3) 已知 g ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上的最大值比最小值大 求 m 的范围.
1 3

, 若方程 f ( x ) ? m 有 3 个不同的解,

参考答案 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1. 1 6.95% 11.①② 2. x ? ( y ? 2 ) ? 1
2 2

3.36

4.-160 9. 3
m

5.17

7.256

8. y ? 6 x

10.假设 a , b 都不能被 3 整除
1 14. [0, ] 4

12.不小于

13. C n ? k

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分. )

15. (本小题满分 14 分) (本小题满分 14 分)
? m2 ?1 ? 0 解: (1)由 ? 2 得 m ? ?1 m ? 3m ? 2 ? 0 ?

??????????6 分

(2) ( m ? 1) ? ( m ? 2) ? 17
2 2 2 2

( m ? 3)( m ? 2) ? 0
2 2

∴m ? ? 2 16. (本小题满分 14 分) 解: (1) n ? 10 (2) f ( 96 ) ? ( 96 ? 1)
? 97
0
10

?????????14 分 ??????????????4 分
10

? (100 ? 3 )
10

10

C 10 100
又3
10

? C 10 100 ? 3 ? C 10 100 ? 3 ? ? ? ? C 10 100 ? 3 ? C 10 3
1 2 9 10
10
5 5

9

8

2

9

10

∴ f ( 96 ) 被 10 除得的余数与3 除得的余数相同??????????10 分
? 9 ? (10 ? 1)
5 4 3 2 1

?
10

C 5 10 ? C 5 10 ? C 5 10 ? C 5 10 ? C 5 10 ? C 5
0 1 2 3 4 5

∴3 被 10 除得的余数为 9, ∴ f ( 96 ) 被 10 除得的余数为 9??????????14 分

17. (本小题满分 14 分) 解:(1) 把 ? ?
2 cos(? ?

?
4

) 化为直角坐标系中的方程为 x ? y ? x ? y ? 0 ???6 分
2 2

? x ? 1 ? 3t (2) 把 ? 化为普通方程为 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ???????????8 分 ? y ? ? 1 ? 4t

∴圆心到直线的距离为
1 2 1 100

1 10

,???????????10 分

∴弦长为 2

?

?

7 5



?????????????14 分

18. (本小题满分 14 分) 1 1 1 1 ? ? ?? ? 解:设 f ( n ) ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? )?( ? ?? ? ) ∵ f ( n ? 1) ? f ( n ) ? ( n?2 n?3 3n ? 4 n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 4 n ? 1 3n ? 2 3n ? 4 3n ? 3

?

6n ? 6 (3 n ? 2)(3 n ? 4)

?

2(3 n ? 3) (3 n ? 3)
2

?

6n ? 6 9 n ? 18 n ? 8
2

?
?

2(3 n ? 3) 9 n ? 18 n ? 9
2

?0

∴ f ( n ) 递增,∴ f ( n ) 最小为 f (1) ?

1 2

?

1 3

?

1 4

13 12 13

,∴自然数 t ? 2 12 ∴自然数 t 的最小值为 2 ????????????????7 分 1 1 1 1 ? ? ?? ? ?1 下面用数学归纳法证明 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 13 ? 1 ,∴ n ? 1 时成立 (1)当 n ? 1 时,左边 ? ? ? ? 2 3 4 12 1 1 1 1 ? ? ?? ? ?1 (2)假设当 n ? k 时成立,即 k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 那么当 n ? k ? 1 时,左边 ? k ?2 k ?3 k ?4 3k ? 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 2 ? 1? ?1 (3 k ? 2)(3 k ? 4)(3 k ? 3) ∴ n ? k ? 1 时也成立
? 1 成立 ??????14 分 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 注:第(1)小题也可归纳猜想得出自然数 t 的最小值为 2 19. (本小题满分 16 分) 解: (1)∵ ? ? 1 表示客人游览了 1 个景点或 2 个景点 1 ? 1 ? 1 ?? ? 1

∵ f ( n ) ? 5 ? 2 t 对一切正整数 n 都成立,∴ 5 ? 2 t ?

根据(1) (2)可知

∴ P (? ? 1) ? 1 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.76 ????2 分 ∵ ? ? 3 表示客人游览了 0 个景点或 3 个景点 ∴ P (? ? 3) ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.24 故 ? 的分布为: ????5 分

?
P

1 0.76

3 0.24

(2) E (? ) ? 1 ? 0.76 ? 3 ? 0.24 ? 1.48
2 2

???????????????8 分

V (? ) ? (1 ? 1.48) ? 0.76 ? (3 ? 1.48) ? 0.24 ? 0.23 ? 0.76 ? 2.31 ? 0.24 ? 0.7292

????????????????11 分 (3)∵函数 f ( x ) ? x ? 2? x ? ln x 是单调增函数
2

∴ f '( x ) ? 2 x ? 2? ?

1 x

?0

∴? ? x ? ∵x?
1 2x

1 2x ?

( x ? 0)

2 ∴? ?

2

????????????????14 分

∴ P ( A ) ? P (? ? 2 ) ? P (? ? 1) ? 0.76 ??????????????16 分 20. (本小题满分 18 分) 3 2 解: 1)f '( x ) ? x ? 2 t ? ? 0 有两个不等正根, ( 即方程 x ? 2 tx ? 3 ? 0 有两个不等正根 a , b x 2 ∴ ? ? 4 t ? 12 ? 0 且 f '( x ) 的对称轴 x ? t ? 0 及 f '(0) ? 3 ? 0 解得: t ? (2) g '( x ) ?
3

????????????????3 分
2

( x ? 3) ? ( x ? t )2 x ( x ? 3)
2
2

2

?

? x ? 2 tx ? 3
2

( x ? 3)
2
2

2

?????????????5 分

根据题设得: a ? b ? 2 t , ab ? 3 令 h ( x ) ? ? x ? 2tx ? 3 ? ? ( x ? t ) ? 3 ? t
2

∵ h ( x ) 的对称轴为 x ? ? t ? ?

a?b

2 ∴ h ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上的最小值为

h ( ? a ) ? h ( ? b ) ? ? a ? 2 at ? 3 ? ? a ? a ( a ? b ) ? 3 ? 6 ? 0
2 2

∴ g '( x ) ? 0 ∴ g ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上单调递增 ????????????????9 分
?a ? t a ?3
2

(3)由(2)可知 g ( x ) 在 [ ? b , ? a ] 上单调递增
g ( x ) max ? g ( x ) min ? g ( ? a ) ? g ( ? b ) ? ? ?b ? t b ?3
2

?

1 3



( b ? a )(3 ? ab ? t ( b ? a )) ( a ? 3)( b ? 3)
2 2

?

1 3

,∵ a ? b ? 2 t , ab ? 3 , 0 ? a ? b ????????????????14 分
3 ? ( x ? 1)( x ? 3) x

解得: a ? 1, b ? 3 ∴ f ( x) ?
1
2

2 x ∴ f ( x ) 在 (0,1), (3, ?? ) 上递增,在 (1, 3) 上递减

x ? 4 x ? 3 ln x ,∴ f '( x ) ? x ? 4 ?



∵ f (1) ? ? ∴当 ?
15 2

7 2

, f (3) ? ?

15 2 7 2

? 3 ln 3

? 3 ln 3 ? m ? ? 15 2

时,方程 f ( x ) ? m 有 3 解
7 2 )

∴ m 的范围为 ( ?

? 3 ln 3, ?

???????????????18 分


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