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湖北省黄冈市2017-2018学年高一下学期期末考试文科数学试题

时间:2018-07-25

黄冈市 2018 年春季高一期末考试 文科试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. )

1、在△ABC 中,AB= 3,AC=1,C=60°,则 B=( A.30°
2.函数 y ?

)

B.45°

C.60°

D.75°

ln( x ? 1) 定义域为() 1? x A. ( ?4, ?1) B. ( ?4,1)

C. ( ?1,1)

D. ( ?1,1]

3.已知直线 l1 : (a ? 1) x ? (a ? 1) y ? 2 ? 0 和 l2 : (a ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则 a 的值 为() A.-1 B.0 )2 4.(sin15°+cos15° 的值为() A. C.1 D.2

3 2

B.

1 2

C.

3 2
)

D.

3 4

5.等比数列{an}中 a1=3,a4=24,则 a3+a4+a5=(

A.33

B.72

C.84

D.189

6.已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定成立的是()

1 1 ?b? b a b b ?1 C. ? a a ?1
A. a ?

1 1 ?b? a b 1 1 D. b ? ? a ? b a
B. a ?

7.下列命题中错误的是(

)

A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α ∩β =l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β
8.已知 x,y∈(0,+∞),且 log2x+log2y=2,则 + 的最小值是(

1 x

1 y

)

A.4

B.3

C.2

D.1

9.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn(n∈ N ?), 当首项 a1 和公差 d 变化时, 若 a1+ a8+ a15 是定值,则下列各项中为定值的是() A S15B S16 C S17 D S18

1 10.已知钝角△ABC 的面积为2,AB=1,BC= 2,则 AC 等于( A.5 B. 5 C.2 D.1

)

11.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面
直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A.30° B.45° ) C.60° D.90°

12.如图,已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为

该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为( A.36π B.64π ) C.144π D.256π

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

?x-y≤0, 13.若 x, y 满足?x+y≤1,则 z=x+2y 的最大值为___________ ?x≥0,
14.在△ABC 中,若 b=2,A=120° ,三角形的面积 S ? 3 ,则三角形外 接圆的半径为________ 15 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 ___________ cm3

1 (台体体积计算公式为 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h) 16.已知 an ?

1

? n ? 1?

2

?1

,则数列 {an } 的前 n 项和为 __________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分. ) 17.(10 分)已知 ?ABC 的三个顶点为 A(4,0) 、 B(8,10) 、 C (0,6) . (1)求过点 A 且平行于 BC 的直线方程; (2)求过点 B 且与 A、C 距离相等的直线方程.

18.(12 分)已知函数 f(x)=(sin x+cosx)2+cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?

19.(12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , nan?1 ? 2 ? n ? 1? an ,设 bn ?
b2 , b3 ; (1)求 b1 ,

an . n

(2)判断数列 ?bn ? 是否为等比数列,并说明理由; (3)求

?an ? 的通项公式.

20. (12 分)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 2a cos C ? c ? 2b . (1)求角 A 的大小; (2)若 c ?

2 ,角 B 的平分线 BD ? 3 ,求 a 的值.

21. (12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? 1 , BC ? 2 ,
A1

C1 E B1

AC ? BC , D, E , F 分别为棱 AA1 , A1 B1 , AC 的中点.
(1)求证: EF ∥平面 BCC1 B1 (2)若异面直线 AA1 与 EF 所成角为 30 ? ,求三棱锥 C1 ? DCB 的 体积.
A F C B D

22. (12 分 ) 已 知 数 列 { an } 的 首 项 a1 ? a ( a 是 常 数 ) , an ? 2an?1 ? n 2 ? 4n ? 2 ( n ? N , n ? 2 ). (1)求 a2 , a3 , a4 ,并判断是否存在实数 a 使 ?an ? 成等差数列.若存在,求出 ?an ? 的 通项公式;若不存在,说明理由; (2)设 b1 ? b , bn ? an ? n 2 ( n ? N , n ? 2 ) , S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Sn

黄冈市 2018 年春季高一期末考试 数学参考答案(文科)
一、选择题 二、填空题 ACACC ADDAB CC 8 13. 3 14. 2 15.

212 ? 3

16.

3 2n ? 3 ? 4 2(n ? 1)( n ? 2)

17.解: (1)直线 BC 斜率 k BC ?

1 2

过点 A 与 BC 平行直线方程为 y ? 0 ? (2)显然,所求直线斜率存在

1 ( x ? 4) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 ………………(4 分) 2

设过点 B 的直线方程为 y ? 10 ? k ( x ? 8) ,即 kx ? y ? 8k ? 10 ? 0

7 3 或k ? ? 6 2 1? k 1? k 7 3 故所求的直线方程为 y ? 10 ? ( x ? 8) 或 y ? 10 ? ? ( x ? 8) 即 6 2

2

| 4k ? 0 ? 8k ? 10 |

?

| 0 ? 6 ? 8k ? 10 |
2

,解得 k ?

7 x ? 6 y ? 4 ? 0 或 3x ? 2 y ? 44 ? 0 ……………………………………………………(10 分)
(或解:分别写出过 B 与 AC 平行的直线或过 AC 中点的直线照样给分) 18.(1) f ? x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ∴f(x)的最小正周期 T= π……………………………6 分 (2) f ? x ? ? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

?
4

)

? ? ? 5 x ? [0, ] ,则 2 x ? ? [ , ? ] 2 4 4 4 ? 5 5 ? 当 2 x ? ? ? 即 x ? 时, f ( x ) min ? 1 ? 2 sin ? ? 0 4 4 4 2
当 2x ?

?

4

?

?

2

即x ?

?

8

时, f ( x)max ? 1 ? 2 ……………….12 分

19.(1)由题意得 an ?1 ?

2(n ? 1) an , n

将 n=1 代入得 a2=4a1=4 将 n=2 代入得 a3=3a2=12 ∴b1=1, b2=2, b3=4……………………4 分 (2) {bn}是首次为 1,公比为 2 的等比数列, 由题意

an ?1 2an ? ,即 bn?1 ? 2bn ,又 b1 ? 1 n ?1 n

故{bn}是以 1 为首次,2 为公比的等比数列…………………………9 分

an ? 2 n ?1 ,∴ an ? n· 2n?1 ……………..12 分 n 20、解: (1)由 2a cos C ? c ? 2b 及正弦定理得 2sin A cos C ? sin C ? 2sin B
(3)由(2) 即 2sin A cos C ? sin C ? 2sin( A ? C ) ? 2sin A cos C ? 2cos Asin C ∴ ? sin C ? 2 cos A sin C ∵ C ? (0, ? ) ∴ sin C ? 0 ∴ cos A ? ? ∴A?

1 又 A ? (0, ? ) 2

2 ? …………………………………………(5 分) 3

(2)在 ?ABD 中, AB ? c ? 2 ,角 B 平分线 BD ? 3 ,由正弦定理得

AB BD ? sin ?ADB sin A
∴ sin ?ADB ? 由A?

AB ? sin A ? BD

2?

3 2 ? 2 2 3

2 ? 2 ? ? ? 得 ?ADB ? ,故 ?ABC ? 2(? ? ? ? ) ? 3 4 3 4 6 2 ? ? ∴ ?ACB ? ? ? ? ? ? ∴ AB ? AC ? 2 3 6 6
由余弦定理得 a ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( ? ) ? 6
2 2 2

1 2

∴ a ? 6 ……………………………………………………………………(12 分) 21(1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 FO, EO , 因 为 E , F 分 别 为 棱 A1 B1 , AC 的 中 点 , 所 以 FO ∥ BC , EO ∥ BB1 ,

? FO // BC, FO ? 平面BCC1B1 , BC ? 平面BCC1B1 , ? FO // 平面BCC1B1 , 同 理 可 证 EO // 平面BCC1B1 , 且
FO ? EO ? O , FO, EO ? 平面 EFO ,
所以平面 EFO ∥平面 BCC1 B1 ,
A1

C1 E B1

D F A C O B

又 EF ? 平面 EFO ,所以 EF ∥平面 BCC1 B1 . ………………………………(5 分) (2)由(1)知 ?FEO 异面直线 AA1 与 EF 所成角,所以 ?FEO ? 30 ? , 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以 BB1 ? 平面 ABC ,所以 EO ? 平面 ABC ,

? EO ? FO ,又 FO ?

1 BC ? 1 ,? EF ? 2, EO ? EF 2 ? FO 2 ? 3 , 2

? AA1 ? EO ? 3 .
? AC ? BC , CC1 ? BC , AC ? CC1 ? C ,? BC ? 平面 ACC1 A1 ,
1 1 1 3 所以 VC1 ? BCD ? VB ?CDC1 ? BC ? S ?CDC1 ? ? 2 ? ? 1 ? 3 ? .…………(12 分) 3 3 2 3 22.解: (1)∵ a1 ? a, 依an ? 2a n?1 ?n 2 ? 4n ? 2(n ? 2,3,?)
∴ a2 ? 2a ? 4 ? 8 ? 2 ? 2a ? 2 a3 ? 2a2 ? 9 ? 12 ? 2 ? 4a ? 5 a4 ? 2a3 ? 2 ? 8a ? 8 a2 ? a1 ? 2a ? 2 ? a ? a ? 2, a3 ? a2 ? 2a ? 3, a4 ? a3 ? 4a ? 3 若 {an } 是等差数列, 则 a2 ? a1 ? a3 ? a2 , 得a ? 1 矛盾. 但由 a3 ? a2 ? a4 ? a3 , 得 a=0,

∴ {an } 不可能是等差数列………………(5 分) (2)∵ bn ? an ? n 2 ∴ bn?1 ? an?1 ? (n ? 1) 2 ? 2an ? (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 2 ? (n ? 1) 2 ? 2an ? 2n 2 ? 2bn (n≥2) ∴ b2 ? a2 ? 4 ? 2a ? 2 当 a=-1 时, b2 ? 0,由bn ? 2bn?1 (n≥3),得 bn ? 0 (n≥2) ∴ S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? b 当 a≠-1 时, b1≠0, bn ? 0,{bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列,n ≥ 2时

S n ? b1 ?

(2a ? 2)(2 n?1 ? 1) ? b ? (2a ? 2)(2 n?1 ? 1) 2 ?1

当 n ? 1, Sn ? b, 满足上式.? Sn ? b ? (2a ? 2)(2n?1 ?1) ………………(12 分) 命题人:麻城一中江海鹏


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