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2018届高考数学大一轮复习第八章解析几何第八节曲线与方程教师用书理

时间:2018-03-29


第八节
考纲要求 1.了解方程的曲线与曲线的 方程的对应关系; 2.了解解析几何的基本思想 和利用坐标法研究几何问题 的基本方法; 3.能够根据所给条件选择适 当的方法求曲线的轨迹方 程。

曲线与方程
命题角度 曲线与方程一般在客观题 中主要考查圆的方程、椭圆方 程、双曲线方程、抛物线方程, 以考查待定系数法和定义法为 主; 在主观题中往往仅作为某一 问的形式出现, 重点结合圆锥曲 线的其他性质进行综合考查。

☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆ 真题举例 2016,全国卷Ⅲ,21,12 分 (求轨迹方程) 2015,湖北卷,21(1),5 分(求曲线方程) 2015,全国卷Ⅰ,20(1),5 分(求曲线方程) 2013, 全国卷Ⅰ, 10,5 分(求 曲线方程)

微知识 小题练

自|主|排|查 1.曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建 立了如下的对应关系: (1)曲线 C 上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条 曲线叫做方程的曲线。 2.求动点的轨迹方程的基本步骤 (1)建系:建立适当的平面直角坐标系; (2)设点:轨迹上的任意一点一般设为 P(x,y); (3)列式:列出或找出动点 P 满足的等式; (4)代换:将得到的等式转化为关于 x,y 的方程; (5)验证:验证所求方程即为所求的轨迹方程。 3.曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数 解; (2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点。

-1-

微点提醒 1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系。检验可从以下两个方 面进行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的实际意义。 2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说 明轨迹的形状、位置、大小等。 3.求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想:求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标 x,y 的方程及函数关系。 (2)数形结合思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合。 (3)等价转化思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转 化。 小|题|快|练 一 、走进教材 1.(必修 2P124B 组 T1 改编)等腰三角形 ABC,若一腰的两个端点坐标分别是 A(4,2),B(- 2,0),A 是顶点,则另一个点 C 的轨迹方程为( A.x +y -8x-4y=0 B.x +y -8x-4y-20=0(x≠10,x≠-2) C.x +y +8x+4y-20=0(x≠10,x≠-2) D.x +y -8x-4y+20=0(x≠10,x≠-2) 【解析】 设另一个点的坐标为 C(x,y),则(x-4) +(y-2) =40,x≠10,x≠-2。整 理得 x +y -8x-4y-20=0(x≠10,x≠-2)。故选 B。 【答案】 B 2.(选修 2-1P36 例 3 改编)若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

P 的轨迹为(
A.圆 C.双曲线

) B.椭圆 D.抛物线

【解析】 依题意,点 P 到直线 x=-2 的距离等于它到点(2,0)的距离,故点 P 的轨迹 是抛物线。故选 D。 【答案】 D 二、双基查验 1.方程(x +y -4) x+y+1=0 的曲线形状是(
2 2

)

-2-

【解析】
2

? ?x +y -4=0, 由题意可得 x+y+1=0 或? ?x+y+1≥0, ?

2

2

它表示直线 x+y+1=0 和圆 x

2

+y -4=0 在直线 x+y+1=0 右上方的部分。故选 C。 【答案】 C 2.已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足 → → → → 为 Q,且QP·QF=FP·FQ,则动点 P 的轨迹 C 的方程为( A.x =4y C.x =2y 【解析】 设点 P(x,y),则 Q(x,-1)。 → → → → ∵QP·QF=FP·FQ, ∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2), 即 2(y+1)=x -2(y-1),整理得 x =4y,
2 2 2 2

)

B.y =3x D.y =4x
2

2

-3-

∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x =4y。故选 A。 【答案】 A 3.和点 O(0,0),A(c,0)距离的平方和为常数 c 的点的轨迹方程为________。 【解析】 设点的坐标为(x,y),由题意知 (
2

2

x-
2

2



y-
2 2

2 2

) +(

x-c

2



y-

2 2

) =c,

即 x +y +(x-c) +y =c, 即 2x +2y -2cx+c -c=0。 【答案】 2x +2y -2cx+c -c=0 4.MA 和 MB 分别是动点 M(x,y),与两定点 A(-1,0)和 B(1,0)的连线,则使∠AMB 为直 角的动点 M 的轨迹方程是________。 【解析】 点 M 在以 A、B 为直径的圆上,但不能是 A、B 两点。 【答案】 x +y =1(x≠±1) 5.已知圆的方程为 x +y =4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点轨迹方程是________。 【解析】 设抛物线焦点为 F,过 A,B,O 作准线的垂线 AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1| =2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|, ∴|FA|+|FB|=4, 故 F 点的轨迹是以 A, B 为焦点, 长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)。 【答案】
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2
4

+ =1(y≠0) 3

微考点 大课堂

考点一

直接法求轨迹方程

【典例 1】 已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8。 (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴 是∠PBQ 的角平分线,证明直线 l 过定点。 【解析】 (1)如图,设动圆圆心 O1(x,y),

-4-

由题意,|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时, 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点, ∴|O1M|= x +4 , 又∵|O1A|= ∴
2 2

x-
2 2

2

+y ,
2

2

x-
2

+y = x +4 ,

2

化简得 y =8x(x≠0)。 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y =8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x。
2 2

(2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),

P(x1,y1),Q(x2,y2),
将 y=kx+b 代入 y =8x 中,得 k x +(2bk-8)x+b =0, 其中 Δ =-32kb+64>0。 8-2bk 由韦达定理得,x1+x2= ,① 2
2 2 2 2

k

-5-

b2 x1x2= 2,② k
因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, 所以

y1 y2 =- , x1+1 x2+1

即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 把①②代入③得 2kb +(k+b)(8-2bk)+2k b=0, ∴k=-b,此时 Δ >0,∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0)。 【答案】 (1)y =8x (2)直线 l 过定点(1,0),证明见解析 反思归纳 1.利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简。 2.运用直接法应注意的问题 (1)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补 上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的。 (2)若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略。 → → 【变式训练】 已知点 O(0,0),A(1,2),动点 P 满足|OP+AP|=2,则 P 点的轨迹方程是 ( ) A.4x +4y -4x-8y+1=0 B.4x +4y -4x-8y-1=0 C.8x +8y +2x+4y-5=0 D.8x +8y -2x+4y-5=0 → → → → 【解析】 设 P 点的坐标(x,y),则OP=(x,y),AP=(x-1,y-2),OP+AP=(2x-1,2y -2)。所以(2x-1) +(2y-2) =4,整理得 4x +4y -4x-8y+1=0。故选 A。 【答案】 A 考点二
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

定义法求轨迹方程
2 2

【典例 2】 已知圆 C 与两圆 x +(y+4) =1,x +(y-2) =1 外切,圆 C 的圆心轨迹为

L,设 L 上的点与点 M(x,y)的距离的最小值为 m,点 F(0,1)与点 M(x,y)的距离为 n。
(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)求满足条件 m=n 的点 M 的轨迹 Q 的方程。 【解析】 (1)两圆半径都为 1,两圆圆心分别为 C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|

=|CC2|,可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线,C1C2 的中点为(0,-1),直线 C1C2 的斜

-6-

率不存在,故圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线,其方程为 y=-1,即圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y=-1。 (2)因为 m=n,所以 M(x,y)到直线 y=-1 的距离与到点 F(0,1)的距离相等,故点 M 的 轨迹 Q 是以 y=-1 为准线,点 F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而 =1,即 p=2,所 2 以,轨迹 Q 的方程是 x =4y。 【答案】 (1)y=-1 反思归纳 (2)x =4y
2 2

p

1.定义法求轨迹方程的适用条件:动点与定点、定直线之间的某些关系满足

直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义。 2.定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义。

? ? ? ? 【变式训练】 在△ABC 中,A 为动点,B,C 为定点,B?- ,0?,C? ,0?(a>0),且满 ? 2 ? ?2 ?
a a
1 足条件 sinC-sinB= sinA,则动点 A 的轨迹方程是________。 2 【解析】 由正弦定理,得 |AB| |AC| 1 |BC| - = × (R 为外接圆半径), 2R 2R 2 2R

1 所以|AB|-|AC|= |BC|,即点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(不含右顶点)。 2 1 又知实轴长为 a,焦距为 a, 2 ∴虚半轴长为 【答案】 16x
2

3 2 16x 16y a ,∴动点 A 的轨迹方程为 2 - 2 =1(x>0 且 y≠0)。 16 a 3a
2

2

2

16y - 2 =1(x>0 且 y≠0) a2 3a 考点三
2 2

代入法(相关点法)求轨迹方程

【典例 3】 在圆 x +y =4 上任取一点 P,设点 P 在 x 轴上的正投影为点 D。当点 P 在圆 → → 上运动时,动点 M 满足PD=2MD,动点 M 形成的轨迹为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程; → → (2)已知点 E(1,0),若 A,B 是曲线 C 上的两个动点,且满足 EA⊥EB,求EA·BA的取值范 围。 → → 【解析】 (1)解法一:由PD=2MD知点 M 为线段 PD 的中点, 设点 M 的坐标是(x,y),则点 P 的坐标是(x,2y)。 因为点 P 在圆 x +y =4 上, 所以 x +(2y) =4。
2 2 2 2

-7-

所以曲线 C 的方程为 +y =1。 4 解法二:设点 M 的坐标是(x,y),点 P 的坐标是(x0,y0), → → 由PD=2MD,得 x0=x,y0=2y。 因为点 P(x0,y0)在圆 x +y =4 上, 所以 x0+y0=4。① 把 x0=x,y0=2y 代入方程①,得 x +4y =4。 所以曲线 C 的方程为 +y =1。 4 → → (2)因为 EA⊥EB,所以EA·EB=0。 → → → → → → 2 所以EA·BA=EA·(EA-EB)=EA 。 设点 A(x1,y1),则 +y1=1,即 y1=1- 。 4 4 → → → 4?2 2 x2 3 2 3? 1 2 2 2 2 所以EA·BA=EA =(x1-1) +y1=x1-2x1+1+1- = x1-2x1+2= ?x1- ? + 。 3? 3 4 4 4? 因为点 A(x1,y1)在曲线 C 上,所以-2≤x1≤2。 4?2 2 2 3? 所以 ≤ ?x1- ? + ≤9。 3? 3 3 4? → → ?2 ? 所以EA·BA的取值范围为? ,9?。 ?3 ?
2 2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

x2 1

2

2

x2 1

x2 2 ?2 ? 【答案】 (1) +y =1 (2)? ,9? 4 ?3 ?
反思归纳 代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系。常涉及

中点问题、三角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识。 【变式训练】 已知 F1,F2 分别为椭圆 C: + =1 的左、右焦点,点 P 为椭圆 C 上的动 4 3 点,则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( A. B. C. + =1(y≠0) 36 27 4x 2 +y =1(y≠0) 9 9x 2 +3y =1(y≠0) 4
2 2 2

x2 y2

)

x

2

y

2

4y 2 D.x + =1(y≠0) 3

-8-

【解析】 依题意知 F1(-1,0),F2(1,0), 设 P(x0,y0),G(x,y), 则由三角形重心坐标关系可得

x -1+1 ? ?x= 3 , ? y ? ?y= 3 ,
0 0 2 2

即?

? ?x0=3x, ?y0=3y。 ?

x0 y0 9x 2 代入 + =1 得重心 G 的轨迹方程为 +3y =1(y≠0)。故选 C。 4 3 4
【答案】 C

2

微考场 新提升

1.平面上动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离相等,且点 F 与直线 l 的距离为 1。某同学 建立直角坐标系后,得到点 P 的轨迹方程为 x =2y-1,则他的建系方式是(
2

)

解析 因为点 P 的轨迹方程为 x =2y-1,
-9-

2

1 2 1 即所求的抛物线方程为 y= x + , 2 2

? 1? 抛物线的对称轴为 y 轴,顶点坐标为?0, ?。 ? 2?
所以该同学的建系方式是 C。 答案 C 2.若曲线 C 上存在点 M,使 M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为 8, 则称曲线 C 为“好曲线”。以下曲线不是“好曲线”的是( A.x+y=5 C. + =1 25 9
2 2

)

B.x +y =9 D.x =16y
2

x2

y2

解析 ∵M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为 8,∴M 的轨迹是以 A(- 5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为 - =1。 16 9 A 项,直线 x+y=5 过点(5,0),故直线与 M 的轨迹有交点,满足题意; B 项,x +y =9 的圆心为(0,0),半径为 3,与 M 的轨迹没有交点,不满足题意; C 项, + =1 的右顶点为(5,0),故椭圆 + =1 与 M 的轨迹有交点,满足题意; 25 9 25 9 D 项,方程代入 - =1,可得 y- =1,即 y -9y+9=0,∴Δ >0,满足题意。故选 B。 16 9 9 答案 B → 3.(2016·天津模拟)在平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC → → =λ 1OA+λ 2OB(O 为原点),其中 λ 1,λ 2∈R,且 λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 C.圆 解析 B.椭圆 D.双曲线 → → → 设 C(x , y) ,因为 OC = λ 1 OA + λ 2 OB ,所以 (x , y) = λ 1(3,1) + λ 2( - 1,3) ,即 )
2 2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

y2

2

?x=3λ 1-λ 2, ? ? ? ?y=λ 1+3λ 2,

? ?λ 解得? ? ?λ

1



y+3x
10



3y-x , 2= 10

又 λ 1+λ 2=1,所以

y+3x 3y-x
10 + 10

=1,即 x+

2y=5,所以点 C 的轨迹为直线。故选 A。 答案 A 4.(2017·衡水模拟)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, → → → →

B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若BP=2PA且OQ·AB=3,则点 P 的轨迹方
- 10 -

程是(

)

3 2 2 A.3x + y =1(x>0,y>0) 2 B. +y =1(x>0,y>0) 2 C. -y =1(x>0,y>0) 2 D.x + =1(x>0,y>0) 2 → 解析 由 P(x,y),可知 Q(-x,y)。设 A(a,0),B(0,b),其中 a>0,b>0,∴BP=(x, → → →
2

x2 x2

2

2

y2

y-b),PA=(a-x,-y),由BP=2PA可得 a= x,b=3y,∴x>0,y>0,又AB=(-a,b)=

3 2



?-3x,3y?,OQ·AB=(-x,y)·?-3x,3y?=3x2+3y2=3,即x +y2=1, ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?
∴点 P 的轨迹方程为 +y =1(x>0,y>0)。故选 B。 2 答案 B → → → 5.(2016·临汾模拟)在△ABC 中,|BC|=4,△ABC 的内切圆切 BC 于 D 点,且|BD|-|CD |=2 2,则顶点 A 的轨迹方程为________。 解析 如图,以 BC 的中点为原点,中垂线所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标 系,E,F 分别为两个切点。

→ →

2

x2

2

则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|, |AE|=|AF|。 所以|AB|-|AC|=2 2, 所以点 A 的轨迹为以 B,C 为焦点的双曲线的右支(不含右顶点),且 a= 2,c=2,所以
- 11 -

b= 2,
所以轨迹方程为 - =1(x> 2)。 2 2 答案

x2 y2

x2 y2
2

- =1(x> 2)(答案不唯一) 2

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