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甘肃省兰州一中2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案人教A版

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甘肃兰州一中 2013—2014 学年度上学期期末考试

高一数学试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 100 分,考试时间 100 分 钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡). 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )

A.

B.

C. )

D.

2.直线 x ? 3 y ? a ? 0 的倾斜角为(

A. 30° B. 60° C. 120° 3. 函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点所在的区间是( ) A. (

D. 150°

1 1 , ) 8 4

B. (

1 1 , ) 4 2

C. (

1 ,1) 2

D. (1,2) )

4.设 A(3,3,1) ,B(1,0,5) ,C(0,1,0) ,M 是 AB 的中点,则 | CM |? ( A.

53 4
2

B.

53 2
)
1

C.

53 2
1

D.

13 2
2

5.下列关系中正确的是(
2

A. (

1 3 1 1 ) <( ) 3 <( ) 3 2 5 2 1 3 1 1 ) < ( ) 3 <( ) 3 5 2 2
2 1 2

B. (

1 3 1 1 ) <( ) 3 <( ) 3 2 2 5 1 3 1 1 ) <( ) 3 <( ) 3 5 2 2
2 2 1

2

C. (

D. (

6. 已知 m,n 是不重合的直线, ? , ? 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? ; ③如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,则 n与? 相交; ④若 ? ? ? ? m, n // m, 且n ? ? , n ? ? , 则n // ? , 且n // ? .

其中正确命题的个数是( ) A .1 B.2 C.3 D.4 7.已知球面上的四点 P、A、B、C,PA、PB、PC 的长分别为 3、4、5,且这三条线段两两 垂直,则这个球的表面积为( ) A.20 2 π
2

B.25 2 π )

C.50π

D.200π

8. 函数 y ? log 1 ( x 2 ? 6 x ? 17) 的值域是( A. R B. [8, ??)

C. (??, ?3]

D. [3, ??)

9. 中心角为 135° , 面积为 B 的扇形围成一个圆锥, 若圆锥的全面积为 A, 则 A∶B 等于( ) A.11∶8 B.3∶8 C.8∶3 D.13∶ 8 10. 若直线 l 与直线 y=1 和 x-y-7=0 分别交于 A、B 两点,且 AB 的中点为 P(1,-1),则直线 l 的斜率等于( ) A.

3 2

B.-

3 2

C.

2 3

D.-

2 3
)

11. 棱台上、下底面面积比为 1∶ 9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( A.1∶ 7 B.2∶ 7 C. 7∶ 19 D.5∶16

12.已知两定点 A(-3,5),B(2,15),动点 P 在直线 3x-4y+4=0 上,则 PA + PB 的最 小值为( A.5 13 ) B. 362 C.15 5 D.5+10 2

第Ⅱ 卷(非选择题) 二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 13. 直线 l1: x+ay+6=0 与 l2: (a-2)x+3y+2a=0 平行,则 a 的值为 14. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

. .

15. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分 别是 CC1 、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的正弦值等于 D
1

C1 .

A1

B1 E D C O B

A

F

16. 已知 f(x)=(x+1)∣ x-1∣ ,若关于 x 的方程 f(x)=x+m 有三个不同的实数解,则实数 m 的取 值范围是 .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分) 17. (8 分)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥ 底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别 为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (1) 证明 EF//平面 A1CD; (2) 证明平面 A1CD⊥ 平面 A1ABB1.

18.(8 分)一工厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元, 出厂单价为 60 元, 该厂为鼓励销售商订购, 决定当一 次订购量超过 100 时,每多订购 1 个,订购的全部零 件的单价就降低 0.02 元,但最低出厂单价不低于 51 元. (1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为 51 元; (2)设一次订购量为 x 个时,该工厂的利润为 y 元,写出 y=f(x).

19. (12 分)△ ABC 中,A(0,1),AB 边上的高 CD 所在直线的方程为 x+2y-4=0,AC 边 上的中线 BE 所在直线的方程为 2x+y-3=0. (1) 求直线 AB 的方程; (2) 求直线 BC 的方程; (3) 求△ BDE 的面积.

20. (12 分)如图,四棱锥 A-BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥ 底面 BCDE,BC=2, CD= 2 ,AB=AC,CE 与平面 ABE 所成的角为 45° . (1)证明:AD⊥ CE; (2)求二面角 A-CE-B 的正切值.

A B E

C

D

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1
A

2
D

3
C

4
B

5
D

6
B

7
C

8
C

9
A

10
D

11
C

12
A

二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 13. -1. 2 3 14. 2π+ 3 . 15.
10 . 5

16.( -1,

5 ). 4

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分)
17. (8 分) 证明:(1) 连接 ED,∵ ED∥ AC, ED= 又∵ F 为 A1C1 的中点. ∴ A1F∥ DE, A1F=DE ∴ 四边形 A1DEF 是平行四边形 ∴ EF∥ A 1D 又 A1D?平面 A1CD, EF?平面 A1CD ∴ EF//平面 A1CD (2) ∵ A1A⊥ 平面 ABC, ∴ A1A⊥ CD D 是 AB 的中点, ∴ AB⊥ CD ∴ CD⊥ 面 A1ABB1, ∴ 平面 A1CD⊥ 平面 A1ABB1. 18.(8 分) 解: (1)设一次订购量为 a 个时,零件的实际出厂价恰好为 51 元, 则 a ? 100 ? ……………………8 分 ……………………4分

1 AC 2

60 ? 51 ? 550 (个). 0.02

…………4分

0 ? x ? 100 ?60, ? x ? (2)∵ p= ?62 ? , 100 ? x ? 550 ,其中 x ? N ? . 50 ? x ? 550 ? ?51,

0 ? x ? 100 ?20x, ? x2 ? , 100 ? x ? 550,其中 x ? N ? . ……………………8 分 ∴ y=f(x)= ?22x ? 50 ? x ? 550 ? ?11x,
19.(12 分) 解:(1)直线 AB 的斜率为 2, ∴ AB 边所在的直线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,…………4分

(2) 由 ?

1 ? ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?x ? 得? 2 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ? ?y ? 2
1 ,2) 2

即直线 AB 与 AC 边中线 BE 的交点为 B( 设 C(m,n),

?m ? 2n ? 4 ? 0 ? 则由已知条件得 ? m n ? 1 2? ? ?3 ? 0 ? 2 ? 2

解得; ?

?m ? 2 , ?n ? 1

∴ C(2,1)

∴ 所以 BC 边所在的直线方程为 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 ;……………………8 分 (3) ∵ E 是 AC 的中点, ∴ E 到 AB 的距离为:d= ∴ E(1,1)

2 5
1 2 5

又点 B 到 CD 的距离为:BD= ∴ S△ BDE=

1 1 ?d?BD= 2 10

……………………12 分 ∴ E(1,1),

另解:∵ E 是 AC 的中点, ∴ BE=

5 , 2
? x? ? ? 得? ?y ? ? ?
2 5 5

由?

?2 x ? y ? 1 ? 0 ?x ? 2 y ? 4 ? 0

2 5 , 9 5

∴ D(

2 9 , ), 5 5

∴ D 到 BE 的距离为:d=



∴ S△ BDE= 20. (12 分)

1 1 ?d?BE= 2 10

……………………12 分 A G B H P E

证明:(1)如图,取 BC 的中点 H,连接 HD 交 CE 于点 P, 连接 AH、AP. ∵ AB=AC, ∴ AH?BC 又∵ 平面 ABC⊥ 平面 BCDE, ∴ AH?平面 BCDE, ∴ AH?CE, C

D

HC CD 1 又∵ , ? ? CD DE 2
∴ Rt△ HCD∽ Rt△ CDE ∴ ∠ CDH=∠ CED, ∴ HD?CE ∴ CE⊥ 平面 AHD ∴ AD⊥ CE. (2)由(1) CE⊥ 平面 AHD, 又 HD?CE ∴ ∠ APH 就是二面角 A-CE-B 的平面角, 过点 C 作 CG⊥ AB,垂足为 G,连接 CG、EG. ∵ BE⊥ BC,且 BE⊥ AH, ∴ BE⊥ 平面 ABC, ∴ BE⊥ CG, ∴ CG⊥ 平面 ABE, ∴ ∠ CEG 就是 CE 与平面 ABE 所成的角, 即∠ CEG=45° , 又 CE= 6 , 又 BC=2, ∴ CG=EG= 3 . ∴ ∠ ABC=60° , ∴ AH= 3 ∴ HP=
3 CH 2 = , 3 HD

……………………6 分 ∴ AP⊥ CE,

∴ AB=BC=AC=2 又 HD= 3 , ∴ tan∠ APH=

AH =3 HP

……………………12 分


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