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2.2.1对数与对数运算(第一课时——对数及对数的性质)

时间:2010-10-09


2.2.1 对数与对数的运算
(第一课时)

知识引入
1、如果我国GDP平均每年增长8%,则经过多少年我国 的GDP是现在的两倍?

解:设经过x年国民生产总值是现在的两倍,令 现在的国民生产总值为a.
依题意得:

a(1 ? 8%) ? 2a
x

即:(1 ? 8%)x ? 2 如何计算式子中的 x

知识引入 2、求下列各式中x的值

(1) 2 ? 32.
x

x ?5

x 1 x? ( 2)( ) 16. (3) 2 ? 7. 4

x?2

x?

讲授新课
1.对数的定义:
一般地,如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 ) 那么数x叫做以a为底N的对数, : x = loga N 记作 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
注意:限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1

讲授新课
练习1:将下列指数式写成对数式:


5 ? 25
2

以5为底25的对数是2, 记作

log 5 25 ? 2
log 2 ? -6



2

-6

1 ? 64

1 以2为底 的对数是-6, 64 1

记作



2 ?7
x

64

以2为底7的对数是x,
记作

log2 7 ? x

讲授新课
思考:对数与指数有什么区别与联系? x (a ? 0, 且a ? 1) a

a ? N ? log N ? x
名称

式子

a
底数 底数

x
指数

N

指数式 a ? N
x


真数

对数式log a N ? x

对数

讲授新课 2. 指数和对数的相互转化

指数 幂 真数

对数

a ? N ?log a N ? b
b
底数

讲授新课 3.两个重要的对数: (1)常用对数:以10为底的对数 log10 N 。 简记作 lgN 。如 (2)自然对数:

log10 3.5 简记为 lg 3.5.

以无理数e = 2.71828…为底的对数 log e N 。
简记作 lnN 。如 log

9 简记为 ln 9. e

例题分析

例1.将下列指数式写成对数式:

(1) 5 ? 625
4

(2) e

-6

?

1

b

(3) 10 ? 27
a

解:(1)log5 625 ? 4 1 1 (2) log e ? ln ? -6 b b (3)log10 27 ? lg 27 ? a
3

1 )m ? 5.73 (4) ( 3

(4) log 1 5.73 ? m (练习:课本P64 1)

例题分析 例2.将下列对数式写成指数式:

(1)log 1 16 ? -4 2 (3)lg 0.01 ? -2

(2)log 2 128 ? 7

(4)ln10 ? 2.303
-4

?1? 解: (1) ? ? ? 16 ?2?

(2) 2 ? 128
7

(3) 10 ? 0.01
(4) e
2.303

-2

? 10

(练习:课本P64 2)

例题分析

3、运用指数运算求值 例3 求下列各式中的x的值

2 (1) log 64 x ? ( 2) log x 8 ? 6 3 2 (3) lg 100 ? x (4) - ln e ? x

讲授新课 4.对数的性质 探究活动 1、试求下列各式的值:

log3 0, loga 0; lg(-5), log a (-1);

结论:零和负数没有对数

讲授新课 4.对数的性质 探究活动

loga 1 ? 0.

2、求下列各式的值:

log3 1; lg1; log 0.5 1; ln1.
思考:你发现了什么?

讲授新课 4.对数的性质 探究活动

loga a ? 1.

3、求下列各式的值:

log3 3; lg10; log0.5 0.5; ln e.
思考:你发现了什么?

讲授新课 4.对数的性质 探究活动

a

log a N

? N.
log0.4 89

3、求下列各式的值:

2

log2 3

; 7

log7 0.6

; 0.4

.

思考:你发现了什么?

讲授新课 4.对数的性质 探究活动

loga a ? b.
b
5
8

4、求下列各式的值:

log3 3 ; log0.9 0.9 ; ln e .
思考:你发现了什么?
课堂练习:P64,练习3、4

4

讲授新课 4.对数的性质 (a ? 0, 且a ? 1)

结论: (1)负数和零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) . log 1 ? 0 即:1的对数是0 (2) a log (3) a a ? 1 即:底数的对数是1 (4)对数恒等式: loga N ? N a

(5)对数恒等式: a a ? n log
n

巩固练习
1、指数式b 2 ? a(b ? 0, 且b ? 1)相应的对数式是(D) A log 2 a ? b     B   2 b ? a log   C log a b=2 D log b a ? 2
2

2、 对数式 log

1 { 中x的取值范围是______ x | ? x ? 1} 2

(2 x -1)

1- x

巩固练习 3.求下列各式的值
(1) (2)

log5 5

?1

1 log 1 16 16

?1

(3) (4)

lg1000 ? 3

ln 1 ? 0

归纳小结

思考:各位同学在这节课上有什么收 获?
1、对数的定义
一般地, ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底 N的对数, 记作logaN=x。(式中的a叫做对数的底 数,N叫做真数.)

? x ? a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) log a N

2、指数式和对数式的互换;

归纳小结

3、运用指数运算求值 4、对数的性质 (a ? 0, 且a ? 1)
(1)负数和零没有对数
(2)log a 1 ? 0 (3)loga a ? 1

即:1的对数是0
即:底数的对数是1

布置作业

作业:P74 习题A组 1、2


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