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变化率问题课件(广水市一中数学组王伟)

时间:2014-10-28


高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用

1.1.1变化率问题
湖北省广水市第一高级中学 王 伟

2011年11月28日

身高 2.26 2.12

姚明身高变化曲线图(部分)

● ●

1.61
● ●



0.8

















4

7

10

13

16

19

22

年龄

问题1 气球的膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
思考:这一现象中,哪些量在改变?变量的变化情况如何?

我们知道, 气球的体积V (单位 : L)与半径 r (单位 : dm)之间 4 3 的函数关系是V (r ) = p r , 3 如果把半径r表示为体积V的函数,
那么r (V ) =
3

3V 4p

r (V ) =
图象

3

r
o

3V ? r 4p

3

3 1 V3 4p

当v=0L时,r(0)=0dm
1 2 3

v

当v=1L时,r(1)=0.62dm 当v=2L时,r(2)=0.78dm
0.62(dm)

V从0L增加到 1L时, 气球半径变化量为 r (1)- r (0)

气球半径相对体积的变化率为

r (1)- r (0) ? 0.62 (dm / L) 1- 0

V从1L增加到2L时, 气球半径变化量为 r (2)- r (1) 0.16(dm)
气球半径相对体积的变化率为
r (2)- r (1) ? 0.16 (dm / L) 2- 1

显然0.62>0.16

随着气球体积逐渐变大,它半径的变化率逐渐变小了.

思考:(1)怎样理解气球的半径增加得越来越慢?
随着气体体积逐渐增大,当气体体积增加量相 同时,相应半径的增加量越来越小。

(2)当空气的容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是多少?

Dr DV

=

r (V2 )- r (V1 ) V2 - V1

即半径的 变化率

法国《队报》网站 的文章称:刘翔以不可 思议的速度统治了赛场。 当时这名21岁的中国人 跑得几乎比炮弹还 快,...... ,他的平均 速度达到8.52m/s。

平均速度的数学意义是什么?

问题 2 高台跳水
人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高 度h (单位 : m) 与起跳后的时间 t (单位 : s )存在函数关系 h (t ) = - 4.9t 2 + 6.5t + 10.

如何用运动员某段时 间内的平均速度v粗略 地描述其运动状态?
h

Dh v= Dt

o

t

h(t)= -4.9t2+6.5t+10
在0 #t 0.5这段时间里
h (0.5)- h (0) v= = 4.05(m / s) 0.5 - 0

h

在1 #t

2这段时间里

h (2)- h (1) v= = - 8.2 (m / s ) 2- 1
o t

平均速度是运动员在某段时间里位移相对时间的变化率。

65 探究:计算运动员在 0 #t 49 这段时间里的平均速度: 65 h h( ) = h(0) = 10 v = D h = 0 49 Dt

h(t)= -4.9t2+6.5t+10

思考下面的问题:

(1)运动员在这段时间里是静止的吗 ? (2)你认为用平均速度描述运动员运动状态有问题吗 ? O t =

65 65 98 49

t

实际情况是运动员并非静止,平均速度只能粗略描述运动员在 某段时间内的运动状态,并不能反映运动员在某时刻的运动状态。

思考: 当时间从t1增加到t2时, 高台跳水运动员的位移的变化率是多少?

h (t2 )- h (t1 ) Dh = Dt t2 - t1

当空气的容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是 r (V2 )- r (V1 ) Dr
DV

=

V2 - V1
都反映的是

当时间从t1增加到t2时, 高台跳水运动员位移的变化率是

D h h (t2 )- h (t1 ) = Dt t2 - t1

函数的平均 变化率问题

上述问题中的函数关系用 f (x)表示, 则函数f(x)从 x1到 x2的 变化率为

f ( x2 )- f ( x1 ) x2 - x1

平均变化率的定义:
一般地,对于函数f (x)
令D x= x2 - x1表示自变量x的变化量
D y = f ( x2 ) - f ( x1 )表示函数值y的变化量
D y f (x2 )- f (x1 ) 则函数f(x)从 x1到 x2的平均变化率为 = Dx x2 - x1

注:
1.D x不为0,D y的值可以为0

2.分子和分母是对应的,即函数值的变化量是在自变量的 变化量上产生的。

求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的变化量D x=x2 - x1,D y=f(x2 ) - f ( x1 ),

D y f (x2 )- f (x1 ) (2)计算函数平均变化率 = Dx x2 - x1

例:计算函数f(x)=2x+1在区间[-3,-1]上的平均变化率 解: △x=-1-(-3)=2 △y=f (-1)-f (-3)=4

区间[1,3] 呢?

\

Dy 4 = = 2 Dx 2

y

思考: 观察函数 f ( x)
y=f (x)

f (x2 ) f (x1 )

B
f ( x 2 )- f (x1 )

的图象 (图1.1.1), 平均 变化率 f ( x2 )- f ( x1 ) Dy = Dx x2 - x1
x

A

= Dy

x 2 - x1 = Dx

O

x1

x2

几何意义?
直线AB的斜率

图1.1- 1

身高 2.26 2.12

姚明身高变化曲线图(部分)

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1.61
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年龄

小结
D y f ( x2 ) - f ( x1 ) 1.函数的平均变化率 = Dx x2 - x1
2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量: Δx=x2-x1 ,Δy=f(x2)-f(x1);

D y f ( x2 ) - f ( x1 ) = (2)计算平均变化率: Dx x2 - x1

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