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2016年全国高中数学联赛一试模拟题一三及参考答案

时间:2016-08-14


2016 年全国高中数学联赛模拟题一 一 填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1 若关于 x 的不等式 2 (甲) f ( x) ?

4x 1 ? ? 4 在区间 ?1, 2? 上恒成立,则实数 a 的取值范围为______ a x

x2 ? 3x ? 2 ? 2 ? 3x ? x2 的值域为

1 1 ( x ? )6 ? ( x 6 ? 6 ) ? 2 x x (乙)已知 x ? 0, 则 f ( x) ? 的最小值为________ 1 3 3 1 (x ? ) ? x ? 3 x x
3 已知非零实数 x, y 满足 (3x ? y)5 ? x5 ? 4x ? y ? 0 ,则

x ? ____ y

4 设 G 为 ?ABC 的重心, PQ 过重心 G ,且满足 CP ? mCA, CQ ? nCB, P, Q 均不与顶点重合, 则

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

1 1 ? ? _____ m n

5 已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 11的图像上有一点 (m, n2 ) ,且 m, n 为正整数,则 mn?m ? ____
x y z 6(甲)将集合 2 ? 2 ? 2 x, y, z ? ?, x ? y ? z 中的数从小到大排列,第 100 个是______

?

?

(乙)有红黄蓝三套卡片,每套五张,分别标有 A, B, C , D, E ,若从这 15 张卡片中,抽取 5 张,要求字母各不相 同且三色齐全,则不同的取法有_____种

x2 ? y 2 ? 1上的两个动点, O 为坐标原点,且 OA ? OB ,则线段 AB 长的最 7 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆 3
小值为___________. 8(甲)在正四面体 ABCD 中, M , N 分别是 BC 和 DA 的中点,则直线 AM 和 BN 所成角的余弦值是______ (乙) 圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点, 动点 P 在圆锥底面内 (包 括圆周) 。若 AM ? MP ,则 P 点形成的轨迹长度为___________. 二 解答题(共 3 小题,计 56 分) 9 函数 f ? x ? ? lg x ,有 0 ? a ? b 且 f ? a ? ? f ? b ? ? 2 f ?

? a?b? ? ? 2 ?

(1)求 a , b 满足的关系; (2)证明:存在这样的 b ,使 3 ? b ? 4 。 10(甲)数列 {an } 满足条件: a1 ? 1, an ? 1 ?

1 (n ? 2) .试证明: an?1

(1) 1 ? an ? 2 ( n ? ? * );(2)

1 an?1 ? an 1 ? ? ? n ? 2? 3 an ? an?1 2
2

11 过点 P(1, 2) 作倾斜角互补的相异直线 PA, PB 分别与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点 (1)求线段 AB 的中点 M 的轨迹; (2)若 P 在 AB 的上方,求 ?PAB 面积的最大值。

模拟题三 一 填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1(甲)已知函数 f ( x) ? sin x ? 1 ? cos2 x ( x ? R) ,则函数 f ( x ) 的取值范围为_______ (乙)如果对一切正实数 x, y , 不等式

y 9 ? cos 2 x ? a sin x ? 都成立,则实数 a 的取值范围为______ 4 y

2 已知点 P 是直线 l : kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点, PA, PB 是圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线, A, B 是切 点,若四边形 PACB 的最小面积是 2, 则 k ? ____ 3 给定平面上的四点 O, A, B, C ,满足 OA ? 4, OB ? 3, OC ? 2, OB ?OC ? 3 ,则 ! ABC 面积的最大值为______

??? ? ??? ?

4 任作椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一条切线,与椭圆的两条对称轴分别交于 A, B ,则线段 AB 长度的最小值是_____ 25 9

5 集合 A 是集合 M ? ?1,2,?,200? 的 15 元子集,且 A 中的任意两个元素之差为 12 的倍数,则这种子集 A 的 个数是_________ 6 设 A, B 为随机事件,且 P( A) ?

5 1 1 , P( B) ? , P( A ? B) ? ,则 P( A ? B) ? _____ 8 4 2

7 在四面体 ABCD 中, AD ? 2 3, ?BAC ? 60?, ?BAD ? ?CAD ? 45?; 若过 D 与平面 ABC 相切并且 与该四面体的外接球面相内切的球面的半径为 1, 则四面体 ABCD 外接球面的半径为_______ 8 将与 210 互质的所有正整数从小到大排列,则这个数列的第 100 项是______ (选做)1 如果复数 z 满足 z ? 1, 且 z 2 ? a ? bi, a, b ? R ,则 a ? b 的最大值是_______ 2 已知 x ? ax ? 2 x ? bx ? 1 ? 0 有实根,则 a ? b 的最小值为______
4 3 2 2 2

二 解答题(共 3 小题,计 56 分) 9 已知 ?an ? 为递增的等比数列,且 a1 ? a2 ? 6, a3 ? a4 ? 24. bn ? 求证:对一切正整数 n 均有, Tn ? 3. 10 抛物线的顶点为 O, 焦点为 F , 当动点 P 在抛物线上移动时,求距离比 11 设 ? , ? 为实数, n ? 2, n ? N? ,且 0 ? ? ? ? ? (1)证明:

an , 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , (an ? 1) 2

PO PF

的最大值

?
4

.

tan ? ? tan ? ? ? ? ? ,并说明等号成立的条件; 1 ? tan 2 ?

(2)证明:

?n
k ?1

n

2

1 ? ? 2 ?k 4n

模拟题一参考答案

1 2 7 ? 4? ? (6) , ? , 3,10,577(150), 3, ( ) ? 0, ? , ? 2, 2 2 ? ? 4 3 2 ? 3?

一 1 取 x ? 1 再分离变量求导 2 甲 换元 t ? x2 ? 3x, t ???2,2? ,平方 乙 分子先完全平方再平方差
3 构造 f ( x) ? x3 ? x ,则 f ( x ) 奇增 5 法一 m ? m ? 11 ? (m ? ) ?
2 2

4 PQ

? AB 或 P, A 重合

1 2

43 ? n 2 即 (2n)2 ? (2m ? 1)2 ? 43 ? 1*43 4

故 2n ? 2m ? 1 ? 43, 2n ? 2m ? 1 ? 1 法二 m2 ? m2 ? m ? 11 ? n2 ? (m ? 3)2 故 m2 ? m ? 11 ? (m ? 1)2 或 (m ? 2)2
3 3 3 100 个数满足 z ? 9 。 6 甲 使得 0 ? x ? y ? z ? n 的 ( x, y, z ) 共有 Cn ?1 个,由于 C9 ? 84 ? 100 ? C10 ,故第 2 2 ? 577 使得 0 ? x ? y ? m 的 ( x, y ) 共有 Cm ?1 个,注意到 C6 ? 15 ,故第 100 个数就是 1 3 1 1 1 2 乙 分两类 3,1,1 和 2, 2,1 ,分别计算得 C3 C5 C2 ? C3 C5C4 ? 150

7 设 A(r 1 cos ? , r 1 sin ? ), B(r 2 cos ? , r 2 sin ? ) ,则易得 ? ? ? ? k? ? 二 9 解: (1) ab ? 1, a ? (0,1), b ? 1 且 4b ? b ? 2 ? a
2 2

?
2



1 1 4 ? 2 ? 2 r1 r2 3

8 甲乙都建系

(2)详见黄皮书 p53

10 (1)数学归纳法

(2) 详见 p59 易得 k AB ? ?1, lAB : y ? ? x ? b

11 解: (1)设 PA 的方程: x ? m( y ? 2) ? 1

由 ? ? 0 得 b ? ?1 ,轨迹方程是 y ? ?2( x ? 1)
3 2 (2) S ?PAB ? 2 b ? 5b ? 3b ? 9 ,由 P 在 AB 上方得 ?1 ? b ? 3 ,求导可知 b ?

1 32 3 时, Smax ? 3 9

模拟题三参考答案

, 2, 2 ?0, 2( ? ??3,3?)

7?

1 3 3 , 8,1152, ,3 , 437 8 2

1 甲 f ( x) ? ?1 ? 1 ? 0=0 , f ( x) ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2(sin 2 x ? 1 ? cos 2 x)
乙 ?t ? at ? (
2

y 9 ? )min ? 1 ? 2, t ? ? ?1,1? 恒成立 4 y

2 C 到 l 的距离为 5 2 S四 =PA ? AC ? PA ? CP ? 1 , 故 Smin ? CP min ,则 Smin ? 2 ? CP min ? 5 ?

3 法一 BC ? 7 为定值,则 Smax ? A 到直线 BC 的距离最大,设 ?OBC 中 BC 边上的高为 OD 显然 A, O, D 三点共线且 O 位于 A, D 之间时,距离最大

法二 建系 设 C (2, 0), B( , 则 S! ABC ?

??? ? ? 3 3 3 1 3 3 ??? ), A(4cos ? , 4sin ? ) ,则 CB ? (? , ), CA ? (4cos ? ? 2, 4sin ? ) 2 2 2 2

1 1 ?2sin ? ? 6 3 cos ? ? 3 3 ? ( 22 ? (6 3) 2 ? 3 3) 2 2

法三 不妨设 B, C , A 按逆时针排列, ?AOC ? ? , 则 ?AOB ? ? ? 则 S! ABC ? S! AOC ? S?OBC ? S?AOB

?

3

( A, B, C 位置不同,面积的表达式也不同)

4 由对称性,不妨设切点 P( x0 , y0 ), x0 , y0 ? 0, 则切线方程为

x0 x y0 y 25 9 ? ? 1 ,得 A( ,0), B(0, ) 25 9 x0 y0

252 92 则 AB ? 2 ? 2 ,下用乘 1 法 x0 y0
2

17 个元素 5 由 12 x ? y ,知 x, y 关于模 12 同余。设 Ai ? x 12 x ? i,1 ? x ? 200 ,显然 A 1 ,? A 8 均有
15 15 A0 , A9 , A10 , A11 均有 16 个元素。故满足要求的子集个数有 8C17 ? 4C16 ? 1152

?

?

6 原式= P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P(B) ? P( A ? B) 7 过 D 做平面 ABC 的垂线,垂足为 H ,易知 AH 平分 ?BAC ,进而求得 AH ? 2 2, DH ? 2 8 210 ? 2*3*5*7 用 Ai 表示前 210 个正整数中能被 i 整除的数的集合, i ? 2,3,5,7 。 则前 210 个数中,不与 210 互质的数有

210 ? (105 ? 70 ? 42 ? 30) ? (35 ? 21 ? 15 ? 14 ? 10 ? 6) ? (7 ? 5 ? 3 ? 2) ? 1 ? 48 个
而 100=48*2+4,可知在{210k+1,210k+2,…,210(k+1)},k=1,2 中均有 48 个数与 210 互质,故。 。 。 9 易得 bn ?

1 2n n n ?1 n ?1 n n ,由 2 ? 1 ? 2(2 ? ) ? 2(2 ? 1) 或 2 ? 1 ? 2 ? 2 n 2 2 (2 ? 1)

2n 1 1 故 bn ? n ? n?1 ? n (n ? 2) n ?1 (2 ? 1)*2*(2 ?1) 2 ?1 2 ?1
4 4 x 2 ? 4ax ? PO ? 10 ? ? t ,由 ? ? 0 ? t ? . t ? 时, x ? 2a, y ? 2 2a. y 2 ? 4ax, a ? 0 ? ? 2 2 3 3 x ? 2ax ? a ? PF ?
11(1)法一 令 f ( ? ) ?
2

tan ? ? tan ? ? (? ? ? ) ,求导。 ? ? ? 1 ? tan 2 ?

法二 不等式左边切割化弦得 sin(? ? ? )

cos ? cos ?

(2)令 ? k ? ?0, ? ,使得 tan ? k ? , k ? 0,1,? , n ,则 n ? 4? 化简得

? ??

k

tan ? k ? tan ? k ?1 ? ? k ? ? k ?1 1 ? tan 2 ? k

n ? ? k ? ? k ?1 ,求和即得 n ? k2
2


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