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人教版数学二选修2-1第二章第二节椭圆的定义与标准方程

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2.2.1椭圆及其标准方程 第一课时 “嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 太 阳 系 椭圆的定义 椭圆定义的文字表述: 椭圆定义的符号表述: ? 平面上到两个定点的 距离的和(2a)等于 定长(大于|F1F2 |) 的点的轨迹叫椭圆。 MF1 ? MF2 ? 2a ? 2c ? 定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。 ? 两焦点之间的距离叫 做焦距(2c)。 1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 2.绳长能小于两图钉之间的距离吗? 1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 2.绳长能小于两图钉之间的距离吗? ?提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢? ? 求动点轨迹方程的一般步骤: 坐标法 回忆求曲 线方程推 导步骤 1、建立适当的坐标系,用有序实数对 (x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; 2、写出适合条件 (M) ; 3、用坐标表示条件(M),列出方程 ; 4、化方程为最简形式。 ? 探讨建立平面直角坐标系的方案 y y y F1 O O O y y F2 M xx x O M O F2 x F1 x 方案一 方案二 原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简 洁”) y 设P (x, y)是椭圆上任意一点, 椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0), P ( x , y) x F1 0 F2 则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c) 由椭圆的定义得,限制条件: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 由于 得方程 | PF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | PF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a (问题:下面怎样化简?) 移项,再平方 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 a 2 ? cx ? a 两边再平方,得 ( x ? c) 2 ? y 2 a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2 整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以 a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b2 (b ? 0), b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 两边除以 a b 得 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b 2 2 椭圆的标 准方程 刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程, 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢? 由椭圆的定义得,限制条件: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 由于 得方程 | PF1 |? x 2 ? ( y ? c) 2 , | PF2 |? x 2 ? ( y ? c) 2 x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? 2a (问题:下面怎样化简?) 焦点在 x

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