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2016天津市高考压轴卷 数学(文) Word版含解析

时间:2016-05-16


2016 天津市高考压轴卷

文科数学
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1.若复数

a ? 3i (a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则 a 的值为 ( ) 1 ? 2i
B.-6 C.

A.6 2.命题“若 ? ? A.若 ? ?

3 2
) B. 若 ? ?

D. ?

3 2

?
?
4

,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题是( ,则 tan ? ? 1

?
4

4

,则 tan ? ? 1

C.若 tan ? ? 1 ,则 ? ? 3.将 y ? 2 cos(

?
4

D. 若 tan ? ? 1 ,则 ? ?

?
4

? x ? ? ? ) 图像按向量 a ? (? ,?2) 平移, 则平移后所得函数的周期及图象的一个 3 6 4

对称中心分别为( )

A. 3? , ?

?? ? ,?2 ? ?4 ? ? 3? ? ,?2 ? ? 4 ?

B. 6? , ?

? 3? ? ,2 ? ? 4 ? ?? ? ,2 ? ?4 ?

C. 6? , ?

D. 3? , ?

4.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ) A. 28 ? 6 5 B. 30 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 D. 60 ? 12 5

5.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点 ?0 ? y ? 2

的距离大于 2 的概率是( )

A.

? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

6.如右图的流程图,若输出的结果 s ? 132 ,则判断框中应填 A. i ? 10 ? B. i ? 11 ? C. i ? 11 ? D. i ? 12 ?

7.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
? A ? x?t (t 为参数) 2 ? y ? 2t ? 1 ? x ? t ?1 C ? (t 为参数) y ? 2 t ? 1 ?
2



? x ? 2t ? 1 B ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1 x ? sin ? D ? ( ? 为参数) ? y ? 2 sin ? ? 1 ?

8.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) ,过点 C(0,1)且斜率为 1 的直线交双曲线的两渐近线于 A、 a2

B 两点,若 2 AC ? CB ,则双曲线的离心率为

??? ?

??? ?

A

5 2

B 5

C

10 3

D 10

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
?x ? 0 ? 9.如果不等式组 ? y ? 2 x 表示的平面区域是一个直角三角形,则 k =_______________. ? kx ? y ? 1 ? 0 ?
10.由正整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 ,其平均数和中位数都是 2 ,且标准差等于 1 , 则这组数据为__________。 (从小到大排列) 11.函数 y ?

x ?1 的定义域为_________ x

12.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ,g ( x) ? 2x ? 2 .若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 , 则m 的取值范围是 .

13.在△ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ?

?
3

,则 ?C 的大小为

. ;

14. 已知 {an } 为 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 . 若 a1 ?

1 , S2 ? a3 , 则 a2 ? 2

Sn =

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.
15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 如图 5 所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

16. (本小题满分 13 分)已知

{an } 是各项均为正数的等比数列 , {bn } 是等差数列 , 且

a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 .
(I)求

{an }和 {bn } 的通项公式;
cn = anbn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

(II)设

17. (本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形, AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

18. (本小题满分 13 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机 收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分 钟/人) 1 至 4 件 5 至 8 件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以 上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率)

19.(本小题满分 l4 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , a ∈R. (1)当 a ? 1 时讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 x ? 1 时, f ( x) ≤

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x ?1

20. (本小题满分 l4 分)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 焦点为圆 C:x +y -4x+2=0 的圆心.(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 相切时,求 P 的坐标.
2 2

1 的椭圆 E 的一个 2

1 的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 2

试卷答案
1.B = 2. C 【Ks5u 解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ” ,所以 “若α

? ? ,则 tanα =1”的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则α ≠ ”. 4 4

3.C 4.B【Ks5u 解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个 面 的 面 积 之 和 。 利 用 垂 直 关 系 和 三 角 形 面 积 公 式 , 可 得 :

S底 ? 1 0 后 S , ?

1 0 ,? 右S



S ? 30 ? 6 5 ,故选 B。 S 1 0 ? ,因此该几何体表面积 , 6 5
表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为

5.D【Ks5u 解析】题目中 ?

? ?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此 p ? ,故选 D ? 2? 2 4
6.B 7.C 8.D

9. 【Ks5u 答案】0 或 ?

1 2

10. 【Ks5u 答案】这组数据为_________ 1,1,3,3 【Ks5u 解析】不妨设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 得: x2 ? x3 ? 4, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 ? x1 ? x4 ? 4

s2 ? 1 ? ( x1 ? 2)2 ? ( x2 ? 2)2 ? ( x3 ? 2)2 ? ( x4 ? 2)2 ? 4 ? xi ? 2 ? 0,1,2
①如果有一个数为 0 或 4 ;则其余数为 2 ,不合题意 ②只能取 xi ? 2 ? 1 ;得:这组数据为 1,1,3,3 11. 【Ks5u 答案】定义域为______ [?1, 0) ? (0, ??) 【Ks5u 解析】 y ? 12. 【Ks5u 答案】 (?4, 0) 【Ks5u 解析】 首先看 g ( x) ? 2 ? 2 没有参数, 从 g ( x) ? 2 ? 2 入手, 显然 x ? 1 时,g ( x) ? 0 ,
x x

?x ?1 ? 0 x ?1 中的 x 满足: ? ? ?1 ? x ? 0 或 x ? 0 x ? x?0

x ? 1 时,g ( x) ? 0 , 而对 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立即可, 故只要 ?x ? 1 时, f ( x) ? 0
( * )恒成立即可。当 m ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,不符合( * ) ,所以舍去;当 m ? 0 时,由 并不对 ?x ? 1 成立, 舍去; 当 m ? 0 时, f ( x) ? m( x? 2 m)( x? m? 3)? 得 0 ? m ? 3 ? x ? 2m , 由 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 , 注意 ?2m ? 0, x ? 1 , 故 x ? 2m ? 0 , 所以 x ? m ? 3 ? 0 ,

即 m ? ?( x ? 3) ,又 x ? 1 ,故 ?( x ? 3) ?(??,?4] ,所以 m ? ?4 ,又 m ? 0 ,故 m ? (?4,0) , 综上, m 的取值范围是 (?4, 0) 。 13. 【Ks5u 答案】

? 2
b2 ? c 2 ? a 2 c a ? ? ? c ? 2 3 ,而 ,故 sin C ? 1 ? C ? 。 sin C sin A 2 2bc
1 n(n ? 1) 4 1 ? a ?2 a ? d 1 ?1 , 2

【Ks5u 解析】 cos A ? 14. 【Ks5u 答案】1,

【 Ks5u 解 析 】 ? S2 ? a3 , 所 以 a1 ? a 1? d ? a ? 1 2d ? d ?

Sn ?

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又? 0 ? ? ? ,? 即? = . 2 6 6 3 6 6
15.(Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2( 又点 在 函 数 图 像 上 , 所 以 A sin (0 , 1 )

1 n(n ? 1) 。 4

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6

?

6

? 1, A ? 2 , 故 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ? ? ?
? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? , k ? z. 12 12 ? ? ?

16(I) (I)设

{an } 的公比为 q, {bn } 的公差为 d,由题意 q ? 0

,由已知,有 ?

?2q 2 ? 3d ? 2,
4 ? q ? 3d ? 10,

消去 d 得

n?1 ? q4 ? 2q2 ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 ,所以 {an } 的通项公式为 an ? 2 , n ? N , {bn } 的通

项公式为

bn ? 2n ?1, n ? N? .

(II)由(I)有

cn ? ? 2n ?1? 2n?1

,设

{cn } 的前 n 项和为 Sn

,则

Sn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5 ? 22 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1,
2Sn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? ? 2n ?1? ? 2n ,
两式相减得 所以

?Sn ? 1? 22 ? 23 ??? 2n ? ? 2n ?1? ? 2n ? ? ? 2n ? 3? ? 2n ? 3,
.

Sn ? ? 2n ? 3? 2n ? 3

17.(Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC,
? 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 .

由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO .
? 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD=2OD.

?

因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

? AOD,? BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

1 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2
在等腰三角形AOD中, OD ? 所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

2 , AD ? 2 2, 2

PD2 ? AD2 ? 4.
1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?

18.(Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 ,该超市所有顾客一次购物 的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:

1?15 ? 1.5 ? 30 ? 2 ? 25 ? 2.5 ? 20 ? 3 ?10 ? 1.9 (分钟). 100
(Ⅱ) 记 A 为事件 “一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ,A1 , A2 , A3 分别表示事件 “该 顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” , “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” , “该顾客 一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率,得

P( A1 ) ?

15 3 30 3 25 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? . 100 20 100 10 100 4

? A ? A1 ? A2 ? A3 , 且A1 , A2 , A3 是互斥事件,
3 3 1 7 ? ? ? . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10

? P( A) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

' 19.解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??), f ( x ) ?

1 ? ax , x 1 ,当 a

' ' 若 a ? 0, 则 f ( x) ? 0, ? f ( x) 在 (0,??) 上单调递增,若 a ? 0, 则由 f ( x) ? 0 得 x ?

1 1 1 x ? (0, ) 时, f ' ( x) ? 0, 当 x ? ( ,?? ) 时, f ' ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 a a a 1 ( ,?? ) 单调递减.所以当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上单调递增, a 1 1 f ( x) 在 (0, ) 上 单 调 递 增 , 在 ( ,?? ) 单 调 递 减 . 当 a?0 时 , a a
(Ⅱ) f ( x) ?

ln x x ln x ? a( x 2 ? 1) ? , x ?1 x ?1

令 g ( x) ? x ln x ? a( x 2 ? 1)(x ? 1) ,

g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,令 F ( x) ? g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,

F ?( x) ?

1 ? 2ax , x

(2) 若0 ? a ?

1 1 1 , 当x ? (1, ), F ?( x) ? 0,? g ?( x)在(1, )递增 , 2 2a 2a

从而g?(x) ? g?(1) ? 1-2a, 以下论证同(1)一样,所以不符合题意.
(3)若a ? 1 , F ?( x) ? 0在 ?1, ?? ? 恒成立 , 2

? g?(x)在?1,???递减,g?(x) ? g?(1) ? 1 - 2a ? 0 ,
从而 g(x) 在?1,?? ?递减 ,? g ( x) ? g (1) ? 0, f ( x) ?
综上所述, a 的取值范围是 ? ,?? ?

ln x ? 0, x ?1

?1 ?2

? ?

20.(Ⅰ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2) ? y ? 2 .故圆C的圆心为点
2 2 2 2

(2,0), 从而可设椭圆E的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其焦距为 2c ,由题设知 a 2 b2

c ? 2, e ?

c 1 ? ,? a ? 2c ? 4, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12. 故椭圆E的方程为: a 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 12
( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , l1 , l2 的 斜 分 率 分 别 为 k1 , k2 . 则 l1 , l2 的 方 程 分 别 为

1 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ), 且 k1k 2 ? . 由 l1 与 圆 c : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相 2
切,得

2k1 ? y0? k ?1
2 1

k1 x0 ? 2,



2 2 2 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k1 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0.

同理可得

2 ? ? x0 2 ) ? ? k2 ? ?( 2 ?2

2 ? 2 ( x2 y0 ?k )2 ? y? . 2 0 0

0

0 2 2 从而 k1 , k2 是方程 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是

? (2 ? x0 ) 2 ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ? ? ? ?? ? 8 ?(2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? 0,
且 k1k2 ?
2 y0 ?2 ? 2. (2 ? x2 )2 ? 2



2 2 ? x0 y0 ? ? 1, ? 10 ? 16 12 2 由? 得 5x0 ? 8x0 ? 36 ? 0. 解得 x0 ? 2, 或 x0 ? . 2 5 ? y0 ? 2 ? 1 2 ? ? (2 ? x0 ) ? 2 2

由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3; 由 x0 ?

18 57 得 y0 ? ? , 它们满足①式,故点P的坐标为 5 5

18 57 18 57 ) ,或 ( , ? ). (?2,3) ,或 (?2, ?3) ,或 ( , 5 5 5 5


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