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广东省潮州市2016届高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题及答案_图文

时间:2016-02-28

潮州市 2015-2016 学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷文科数学卷(图片版含答案)

潮州市 2015-2016 学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷 数学(文科)参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 A

5 C

6 B

7 D

8 C

9 D

10 A

11 A

12 B

简析: 1.由交集的概念可得.

1 ? 3i (3 ? i )i ? ? i ,于是复数 z 的虚部为 1. 3?i 3?i 3.由已知得 f (?8) ? ? f (8) ? ? log 2 8 ? ?3 .
2.由于 z ? 4.由已知得 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a7 ? 21d ,所以 ak ? a1 ? (k ? 1)d ? 21d ,故 k ? 22 . 5.经过循环后, a 的分别为 4 、 16 、 256 ,由于 log3 256 ? 4log3 4 ? 4 ,于是 a ? 256 . 6.因为 a ? (b ? a) ,所以 a ? (b ? a) ? 0 ,于是 a ? b ? a ,故

?

? ?

? ? ?

? ?

?2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b | a |2 1 cos ? a , b ?? ? ? ? ? ? ? ,又 ? a , b ??[0 , ? ] .所以 ? a , b ?? . 3 | a || b | | a || b | 2 ? ? ? 7.平移后所得图象对应的函数为 y ? sin(2 x ? ) ,由 2 x ? ? ? k? (k ? Z ) 4 4 2 3? k? ? ? (k ? Z ) ,于是当 k ? ?1 时, x ? ? . 得x? 8 8 2 2 2 c a ? b2 2 e ? ? ? 2 ,故 e ? 2 . 8.由已知可知双曲线是等轴双曲线,于是 a2 a2 4 ? 3 3 9.因为 cos ? ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,所以 sin ? ? ,于是 tan ? ? ? . 5 5 4 2 3 1? ? 1 ? tan ? 4 ?7. 故 tan( ? ? ) ? ? 3 4 1 ? tan ? 1 ? 4 4 2 10.该几何体是直三棱柱,由侧视图知正视图的高为 2 ,所以正视图的长为 ? 4, 2 1 所以该几何体的体积为 V ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 8 . 2 c 2 2 11.抛物线 y ? 8x 的焦点为 ( 2 , 0) ,由题意得 e ? ? ? 2 ,解得 a ? 1 ,又 a a y2 ? 1. b2 ? c2 ? a 2 ? 4 ? 1 ? 3 .故双曲线的标准方程为 x 2 ? 3 2 2 2 12. f '( x) ? ?2 x ? 4ax ? 3 ? ?2( x ? a) ? 3 ? 2a ,因为 f ?( x ) 的最大值为 5,所以 13 3 ? 2a 2 ? 5 ,又 a ? 0 ,故 a ? 1 , f (1) ? , f '(1) ? 5 ,所以所求切线方 3

程为 y ?

13 ? 5( x ? 1) ,即 15x ? 3 y ? 2 ? 0 . 3
1 ; 2
15. 2 3 ; 16. 50? .

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.3; 简析: 13.画出满足条件可行域,将直线 y ? ?3x 向上平移,可知当直线经过点 (1, 0) 时, z 取得最 大值为 3 . 14.几何概型, ? ? 4a 2 ? 16 ? 0 得 ?2 ? a ? 2 .故概率为 14.

2 ? ( ?2) 1 ? . 5 ? (?3) 2

15.由

1 ab sin C ? 2 3 得 a ? 2 ,又 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C 得 c ? 2 3 . 2
2 2 2

2 16.外接球直径等于长方体的对角线,即 2R ? 3 ? 4 ? 5 ? 50 ,故 S ? 4?R ? 50?

三、解答题:(共5小题,每题12分,共60分) 17.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d .…………………………..….1 分
2 由题意得 S2 ? S1 ? S4 .…………………………………....….2 分

∴ (2a1 ? d )2 ? a1 (4a1 ? 6d ) ,整理得 d 2 ? 2a1d .…...….3 分 又 d ? 0 ,所以 d ? 2a1 .………………………………..….4 分 故公比 q ?

S2 2a1 ? d 4a1 ? ? ? 4 .…………………..….6 分 S1 a1 a1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 d ? 2a1 ,∴ S2 ? 2a1 ? d ? 4a1 .………….….8 分 又 S2 ? 4 .∴ 4a1 ? 4 . ∴ a1 ? 1 , d ? 2 .……….…………………………………...10 分 故 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 .……….………12 分
18.解:(Ⅰ)由已知得:

a 1 3 c ? ? ? , 140 b 105 70

解得: a ? 4 , b ? 35 , c ? 2 .……………………………………4 分 (Ⅱ)设“海济社”已抽取的 4 人分别为: A1 , A2 , A3 , A4 ;

“彩虹文艺社” 已抽取的 2 人分别为: B1 , B2 . 从中任选 2 人的所有基本事件为:

A1 A2



A1 A3



A1 A4



A1 B1



A1 B2




A2 A3



A2 A4



A2 B1



A2 B2



A3 A4



A3 B1



A3 B2



A4 B1



A4 B2

B1 B2 共 15 个,

以上基本事件都是等可能事件,…………………..……………………………8 分 其中 2 人来自不同社团的基本事件为: A1

B1



A1 B2



A2 B1



A2 B2



A3 B1



A3 B2



A4 B1



A4 B2 共 8 个,…………………………………………..…………..10 分

所以 2 人来自不同社团的概率为 P ?

8 ……………………………………12 分 15 .

19. (Ⅰ)证明:∵ ?PAB 是正三角形且 H 是 AB 的中点, ∴ PH ? AB .……………………..………………1 分 ∵在 ?PBC 中, PB ? AB ? 2 , BC ?

2,

PC ? 6 ,
∴ PC 2 ? PB 2 ? BC 2 . ∴ BC ? PB .…………………………….…..……3 分 又 BC ? BA ,且 PB ? BA ? B ,

PB 、 BA ? 平面 PAB ,
∴ BC ? 平面 PAB ,…………………………………4 分 又 PH ? 平面 PAB , ∴ BC ? PH .………………………………………5 分 又 AB ? BC ? B , AB 、 BC ? 平面 ABCD , ∴ PH ? 平面 ABCD .…………………………..………6 分 (Ⅱ)解法一: 由(Ⅰ)可知 PH 是三棱锥 P ? AHD 的高. 在 Rt ?PAH 中, PA ? AB ? 2 , AH ? ∴ PH ?

P

1 AB ? 1 . 2
E H F B C

PA2 ? AH 2 ? 4 ?1 ? 3 .………………7 分
1 1 2 , ? AH ? AD ? ?1? 2 ? 2 2 2

又 S?AHD ?

A

D

∴ VP ? AHD ?

1 1 2 6 .………………9 分 ? S?AHD ? PH ? ? ? 3? 3 3 2 6

过点 E 作 EF // PA ,交 AB 于点 F ,又点 E 是 PA 的中点,

所以 EF ? 平面 AHD ,且 EF ?

1 3 . PH ? 2 2

∴ VE ? AHD ?

1 1 2 3 6 .………………11 分 S?AHD ? EF ? ? ? ? 3 3 2 2 12 6 6 6 .……12 分 ? ? 6 12 12

∴三棱锥 P ? EHD 的体积为 VP ? EHD ? VP ? AHD ? VE ? AHD ? 解法二: 在 Rt ?PAH 中, PA ? AB ? 2 , AH ? 所以 PH ?

1 AB ? 1 . 2

PA2 ? AH 2 ? 4 ?1 ? 3 .…………………………7 分
P

又 E 是 PA 的中点, 所以 S?PEH

1 1 1 1 1 3 …9 分 ? S?PAH ? ? ? AH ? PH ? ? ?1? 3 ? 2 2 2 2 2 4

由(Ⅰ)可知 BC ? 平面 PAB 且 BC ? 又 AD // BC 且 AD ? BC ,

2.

E H A

B

C

所以 AD ? 平面 PAB 且 AD ? 2 .………………10 分 所以 VP ? EHD ? VD ?PEH

D

1 1 3 6 ………………12 分 ? ? S?PEH ? AD ? ? ? 2? 3 3 4 12

20. (本小题满分 12 分)

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? 解: (Ⅰ)由题意得 ?b ? 2 ……………………………………………….1 分 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 解得 a ? 3 , c ? 1 . ……………………………………………………3 分 x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………4 分 所以所求椭圆方程为 3 2
(Ⅱ)方法一: 当直线 AB 与 x 轴垂直时, | AB | ? 此时 S?AOB ?

4 3 , 3

2 3 不符合题意故舍掉;…………………………………..5 分 3 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , ? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 3 消去 y 得: (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 ………6 分 2 ? y ? k ( x ? 1) ?

? ?6 k 2 x ? x ? ? ? 1 2 2 ? 3k 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? ,………………….…..7 分 2 ? x x ? 3k ? 6 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?
∴ | AB | ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? [k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)]2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )[
?

36k 4 12k 2 ? 24 48(k 2 ? 1)2 ? ] ? (2 ? 3k 2 )2 2 ? 3k 2 (2 ? 3k 2 )2

4 3(k 2 ? 1) ………………………………………….…………9 分 2 ? 3k 2 |k| 原点 O 到直线的 AB 距离 d ? ,…………………………..…10 分 1? k 2 1 1 |k| 4 3(k 2 ? 1) ∴三角形的面积 S?AOB ? | AB | d ? . ? 2 2 1? k 2 2 ? 3k 2

3 2 得 k 2 ? 2 ,故 k ? ? 2 .………………………………..11 分 4 ∴直线 AB 的方程为 y ? 2( x ? 1) ,或 y ? ? 2( x ? 1) .
由 S?AOB ? 即 2x ? y ? 2 ? 0 或 2x ? y ? 2 ? 0 …………………………….12 分 , 方法二: 由题意知直线 AB 的斜率不为 O ,可设其方程为 ny ? x ? 1 .………….5 分

? ny ? x ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 消去 x 得 (2n ? 3) y ? 4ny ? 4 ? 0 .…………………….6 分 ?1 ? ? 2 ?3 4n ?4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? .…….7 分 2 2n ? 3 2n 2 ? 3 1 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 .…………….….8 分 ∴ S ?AOB ? | OF | ? | y1 ? y2 | ? 2 2 9 3 2 2 又 S?AOB ? ,所以 ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? .…………………….……..9 分 2 4 4n 2 16 9 2 ) ? 2 ? .解得 n ? ? ∴( 2 .………………..…….….11 分 2n ? 3 2n ? 3 2 2 2 2 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 ,或 ? y ? x ? 1, 2 2 即 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,或 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 .………………………..12 分
21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln x . 则 f '( x ) ? 1 ?
2

1 x ?1 ? .………………1 分 x x
2

当 e ? x ? e 时, f '( x) ? 0 .所以 f ( x) 在 [ e , e ] 上单调递增.………2 分

又 f (e) ? e ? 1 , f (e2 ) ? e2 ? 2 . 所以函数 f ( x) 在 [ e , e2 ] 上的值域为 [ e ?1, e2 ? 2] .……………………4 分 (Ⅱ)解法一:

a x?a x?a ? ? 0 ,解得 x ? ?a . .令 f '( x) ? 0 ,即 x x x 因为 a ? ?1 ,所以 ? a ? 1 .
由已知得 f '( x) ? 1 ? 当 0 ? x ? ? a 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 ( 0 , ? a ) 上单调递减; 当 x ? ?a 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 ( ? a , ? ? ) 上单调递增;…………6 分
2 若 1 ? ? a ? e ,即 ?e ? a ? ?1 ,则函数 f ( x) 在 [ e , e ] 上为增函数,

此时 f ( x)max ? f (e2 ) . 要使 f ( x) ? e ? 1 对 x ?[ e , e2 ] 恒成立,只需 f (e2 ) ? e ? 1即可,

?e 2 ? e ? 1 所以有 e ? 2a ? e ? 1 ,即 a ? . 2
2



?e 2 ? e ? 1 ?(e2 ? 3e ? 1) ?e 2 ? e ? 1 ? ?e ,所以此时无解. ? (?e) ? ? 0 ,即 2 2 2
…………..………8 分

2 2 若 e ? ?a ? e ,即 ?e ? a ? ?e ,则函数 f ( x) 在 [ e , ? a] 上为减函数,

在 [ ? a , e ] 上为增函数,
2

?a ? ?1 ? f (e) ? e ? 1 ? 要使 f ( x) ? e ? 1 对 x ?[ e , e ] 恒成立,只需 ? ,即 ? ?e 2 ? e ? 1 , 2 a ? ? f (e ) ? e ? 1 ? ? 2
2



?e 2 ? e ? 1 ?e 2 ? e ? 1 ?e 2 ? e ? 1 e2 ? e ? 1 ? (?1) ? ?0且 ? ( ?e 2 ) ? ? 0. 2 2 2 2
2

得 ?e ? a ?
2

?e 2 ? e ? 1 ……………………………………………………..……10 分 2
2

若 ? a ? e ,即 a ? ?e ,易得函数 f ( x) 在 [ e , e ] 上为减函数,
2

此时 f ( x)max ? f (e) ,要使 f ( x) ? e ? 1 对 x ?[ e , e ] 恒成立,只需 f (e) ? e ? 1 即可,
2

所以有 e ? a ? e ? 1 ,即 a ? ?1 ,又因为 a ? ?e ,所以 a ? ?e ……………11 分
2 2

综上所述得 a ?

?e 2 ? e ? 1 ?e 2 ? e ? 1 ] ..…12 分 ,故实数 a 的取值范围是 ( ? ? , 2 2

解法二: 由 x ?[ e , e2 ] 得 ln x ? 0 ,所以 f ( x) ? e ? 1 可化为 a ? 令 g ( x) ?

e ?1? x . ln x

e ?1? x ,于是要使 f ( x) ? e ? 1 对任意 x ?[ e , e2 ] 恒成立, ln x
………………………………………………………………..…6 分

只需 a ? g ( x)min .

g '( x) ?

? ln x ? (e ? 1 ? x) ? (ln x)2

e ? 1? ? 1 e ?1 ? ln x ? ? 1 ? ?(ln x ? 1) ? x ? ? ? .…..…7 分 x ? x ? (ln x)2 (ln x)2
e ?1 ?0. x
…………….……….………..…10 分
2

因 x ?[ e , e2 ] 时, ln x ? 1 ? 0,

所以 x ?[ e , e2 ] 时, g '( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [ e , e ] 上单调递减. 故 g ( x) min

e ? 1 ? e2 e ? 1 ? e2 ? g (e ) ? ,于是 a ? . 2 2
2

所以实数 a 的取值范围是 ( ? ? ,

?e 2 ? e ? 1 ] 2

……………………………..…12 分

选做题(共 10 分) 22. (本小题共 10 分) 证明: (Ⅰ)连接 OC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OCA ? ?OAC .………….…..2 分 ? 又因为 AD ? CE ,所以 ?ACD ? ?CAD ? 90 . 又因为 AC 平分 ? BAD ,所以 ?OAC ? ?CAD ,…………….…..4 分 o 所以 ?OCA ? ?ACD ? 90 ,即 OC ? CE . 所以 CE 是 e O 的切线……………………………………………….….6 分 (Ⅱ)连接 BC ,因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?BCA ? ?ADC ? 90 , 又因为 ?OAC ? ?CAD ,…………………………………….………8 分 所以 ?ABC ∽ ?ACD
0

所以

AC AD 2 ? ,即 AC ? AB ? AD ………………………………..10 分 AB AC
2

23.(本小题共 10 分) 解:(Ⅰ)圆 C 的参数方程化为普通方程是 ( x ?1) 即x
2

? y2 ? 1 .

? y 2 ? 2 x ? 0 ……………………………………………………….…2 分 2 2 2 又 ? ? x ? y , x ? ? cos ? . 2 于是 ? ? 2? cos? ? 0 ,又 ? ? 0 不满足要求. 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ……………………………….……5 分

(Ⅱ)因为射线 OM : ? ?

的普通方程为 y ? x ( x ? 0) .……………………6 分 4 ?y ? x , x ? 0 2 联立方程组 ? 消去 y 并整理得 x ? x ? 0 . 2 2 ?( x ?1) ? y ? 1 解得 x ? 1 或 x ? 0 ,所以 P 点的直角坐标为 (1 , 1) ……………………8 分 所以 P 点的极坐标为 ( 2 ,

?

?
4

) …………………………….……………10 分

解法 2:把 ? ?

?
4

代入 ? ? 2 cos ? 得 ? ? 2 cos

?
4

? 2

所以 P 点的极坐标为 ( 2,

?
4

)

………………..……………10 分

24. (本小题共 10 分) 解: (Ⅰ)若 a ? 1 时,则 f ( x) ? | 3x ? 1| ? x ? 3 . 当x?

1 时, f ( x) ? 5 可化为 3 x ? 1 ? x ? 3 ? 5 , 3

解之得 当x?

1 3 ? x ? ;……………………………………………….…2 分 3 4

1 时, f ( x) ? 5 可化为 ?3 x ? 1 ? x ? 3 ? 5 , 3

1 1 ? x ? .……………………………………………….……4 分 2 3 1 3 综上所述,原不等式的解集为 {x | ? ? x ? }. ……………………5 分 2 4
解之得 ?

1 ? (3 ? a) x ? 2 , ( x ? ) ? ? 3 (Ⅱ) f ( x) ? | 3 x ? 1| ? ax ? 3 ? ? ?(a ? 3) x ? 4 . ( x ? 1 ) ? 3 ? ?3 ? a ? 0 函数 f ( x) 有最小值的充要条件为 ? ,解得 ?3 ? a ? 3 ….…9 分 ?a ? 3 ? 0 ∴实数 a 的取值范围是 [ ? 3 , 3] …………………………………….……10 分


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