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第八章 第八节 曲线与方程(理科)

时间:2013-06-12


一、选择题 1.(2012· 济南模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0 的曲线是( A.一条直线和一条双曲线 C.两个点
?x-y=0, ? 解析:(x-y)2+(xy-1)2=0?? ? ?xy-1=0. ?x=1, ?x=-1, ? ? ∴? 或? ? ? ?y=1, ?y=-1.

)

B.两条双曲线 D.以上答案都不对

答案:C 2.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动, AC =2 CB ,则点 C 的 轨迹是( ) B.圆 D.双曲线

??? ?

??? ?

A.线段 C.椭圆

解析:设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a2+b2=9,① 又 AC =2 CB ,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),

??? ?

??? ?

?a=3x, ? 即? 3 ?b=2y, ?



y2 代入①式整理可得 x2+ =1. 4 答案:C 3.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆 周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD, 设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( A.椭圆 C.抛物线 解析:由条件知|PM|=|PF|, ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|>|OF| ∴P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆. 答案:A 4.已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,椭圆的另一 个焦点 F 的轨迹方程是( ) )

B.双曲线 D.圆

x2 A.y2- =1(y≤-1) 48 x2 B.y2- =1(y≥1) 48 y2 C.x2- =1(x≤-1) 48 y2 D.x2- =1(x≥1) 48 解析: 由题意知|AC|=13, |BC|=15, |AB|=14, 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF| =|BC|-|AC|=2,故点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的下支.又 c=7, x2 a=1,b2=48,∴点 F 的轨迹方程为 y2- =1(y≤-1). 48 答案:A 5.已知定点 A(2,0),它与抛物线 y2=x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹方程为( A.y2=2(x-1) C.y2=x-1 B.y2=4(x-1) 1 D.y2= (x-1) 2
0

)

?x=x +2, 2 解析:设 P(x ,y ),M(x,y),则? y ?y= 2 .
0 0 0

?x0=2x-2, ? 所以? ,由于 y2=x0, 0 ? ?y0=2y.

所以 4y2=2x-2. 1 即 y2= (x-1). 2 答案:D 二、填空题 6.已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点轨迹方程是____________. 解析:设抛物线焦点为 F,过 A、B、O 作准线的垂线 AA1、BB1、OO1,则|AA1|+|BB1| =2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故 F 点的轨迹 是以 A、B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点). x2 y2 答案: + =1(y≠0) 4 3 x y 7.直线 + =1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是__________. a 2-a x y 解析:(参数法)设直线a+ =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2-a),A、B 中点为 2-a a a M(x,y),则 x= ,y=1- ,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1. 2 2

答案:x+y=1(x≠0,x≠1) 三、解答题 8.如图,已知 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q,且 QP · QF = FP · .求动点 P 的轨 FQ 迹 C 的方程. 解:法一:设点 P(x,y),则 Q(-1,y), 由 QP · (2,-y)=(x-1,y)· (-2, QF = FP · ,得(x+1,0)· FQ y),化简得 C:y2=4x. 法二:由 QP · QF = FP · , FQ 得 FQ · PQ + PF )=0,∴( PQ - PF )· PQ + PF )=0, ( ( ∴ PQ 2- PF 2=0.∴| PQ |=| PF |. ∴点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为 y2=4x. 9.已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求 RP · RQ 的最小值. 解:(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x2=4y. (2)由题意知,直线 l2 的方程可设为 y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消去 y,得 x2 -4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k, x1x2=-4. 2 又易得点 R 的坐标为(-k,-1),

??? ??? ? ?

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??? ??? ? ? 2 2 ∴ RP · (x RQ =(x1+k,y1+1)· 2+k,y2+1)
2 2 =(x1+k)(x2+k)+(kx1+2)(kx2+2) 2 4 =(1+k2)x1x2+( +2k)(x1+x2)+ 2+4 k k 2 4 =-4(1+k2)+4k(k+2k)+ 2+4 k 1 =4(k2+ 2)+8. k

1 ∵k2+ 2≥2,当且仅当 k2=1 时取等号, k ∴ RP · RQ ≥4×2+8=16,即 RP · 的最小值为 16. RQ 10.(2011· 天津高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1、F2 分 x2 y2 别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. a b (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, 两点, 是直线 PF2 上的点. B M 满足 AM · BM =-2, 求点 M 的轨迹方程. 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). c c 由题意,可得|PF2|=|F1F2|,即 ?a-c?2+b2=2c,整理得 2(a)2+a-1=0, c c 1 1 得a=-1(舍),或a= .所以 e= . 2 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c, 可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? ???? ? ?

?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0,解得 ?y= 3?x-c?.
8 x1=0,x2= c. 5

2

2

2

?x1=0, 得方程组的解? ?y1=- 3c,

?x =5c, ? 3 3 ?y = 5 c.
8
2 2

8 3 3 不妨设 A( c, c),B(0,- 3c). 5 5

???? ? 8 3 3 设点 M 的坐标为(x,y),则 AM =(x- c,y- c), 5 5 ???? ? BM =(x,y+ 3c).
由 y= 3(x-c),得 c=x- 3 y. 3

???? ? 8 3 3 8 3 3 于是 AM =( y- x, y- x), 15 5 5 5 ???? ? BM =(x, 3x). ???? ???? ? ? BM =-2, 由 AM ·

8 3 3 8 3 3 即( y- x)· x+( y- x)· 3x=-2, 15 5 5 5 化简得 18x2-16 3xy-15=0. 18x2-15 3 将 y= 代入 c=x- y, 3 16 3x 10x2+5 得 c= >0.所以 x>0. 16x 因此,点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0).


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