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教育最新K12新课标2018届高考数学二轮复习专题能力训练15椭圆双曲线抛物线理

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小学+初中+高中

专题能力训练 15

椭圆、双曲线、抛物线

(时间:60 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.方程(x+y-3)=0 表示的曲线是( ) A.两条射线 B.抛物线和一条线段 C.抛物线和一条直线 D.抛物线和两条射线 2 2 2.(2017 浙江金丽衢十二校二模)双曲线 x -4y =4 的渐近线方程是( ) A.y=±4x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x 2 2 3.已知双曲线-x =1 的两条渐近线分别与抛物线 y =2px(p>0)的准线交于 A,B 两点,O 为坐标 原点.若△OAB 的面积为 1,则 p 的值为( ) A.1 B C.2 D.4 2 4.已知双曲线 C1:-y =1,双曲线 C2:=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1,F2,M 是双曲线 C2 的一条 渐近线上的点,且 OM⊥MF2,O 为坐标原点,若=16,且双曲线 C1,C2 的离心率相同,则双曲线 C2 的实轴长是( ) A.32 B.16 C.8 D.4 5.如图,已知双曲线 C:=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P,Q,若∠PAQ=60°,且=4,则双曲线 C 的离心率为( )

A B C D 6.设 A,B 是椭圆 C:=1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 P 满足∠APB=120°,则 m 的取值范围是 ( ) A[12,+∞) B[6,+∞) C[12,+∞) D[6,+∞) 7.已知双曲线=1(a>0,b>0),A1,A2 是其实轴顶点,F 是其右焦点,B(0,b)是其虚轴端点,若在线 段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 Pi(i=1,2),使得△PiA1A2(i=1,2)构成以 A1A2 为斜边的直 角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A.(,+∞) B C 小学+初中+高中

小学+初中+高中 D 2 8.(2017 浙江绍兴一中期末)已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,若 A,B 是该抛物线上的点,∠ AFB=90°,线段 AB 的中点 M 在抛物线的准线上的射影为点 N,则的最大值为( ) A B.1 C D 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 已知一椭圆的方程为 =1, 过椭圆中心的直线交椭圆于 A,B 两点 ,F2 是椭圆的右焦点 , 则 △ABF2 的周长的最小值为 ,△ABF2 的面积的最大值为 . 10.已知双曲线过点(2,3),其渐近线方程为 y=±x,则该双曲线的标准方程是 . 2 11.已知 F 是抛物线 C:y =4x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若,则

||= . 2 12.已知抛物线 C:y =2px 的焦点坐标为 F(2,0),则 p= ;若已知点 A(6,3),且点 M 在抛物线 C 上,则|MA|+|MF|的最小值为 . 13.已知双曲线 C:=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点.若∠MAN=60°,则 C 的离心率为 . 14.已知 A 是双曲线 C:=1(a,b>0)的右顶点,过左焦点 F 与 y 轴平行的直线交双曲线于 P,Q 两 点,若△APQ 是锐角三角形,则双曲线 C 的离心率的范围是 . 三、解答题(本大题共 2 小题,共 30 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2 15.(本小题满分 15 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)上的一点 M(3,t)到其焦点的距离为 5. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 T(-2,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若在 x 轴上存在一点 E,使得△EAB 是以 点 E 为直角顶点的直角三角形,求直线 l 的斜率的取值范围.

16.(本小题满分 15 分)如图,已知椭圆+y =1 的左、 右顶点分别是 A,B,设点 P(,t)(t>0),连接 PA 交椭圆于点 C,坐标原点是 O.

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(1)证明:OP⊥BC; (2)若四边形 OBPC 的面积是,求 t 的值.

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参考答案 专题能力训练 15 椭圆、双曲线、抛物线 1.D 解析 ∵(x+y-3)=0, ∴x+y-3=0(y2-4x≥0)或 y2=4x. ∴x+y-3=0(x≤1 或 x≥9)或 y2=4x. ∴方程(x+y-3)=0 表示的曲线是抛物线和两条射线.故选 D. 2 2 2.D 解析 双曲线 x -4y =4 的渐近线方程是 y=±x.故选 D. 2 2 3.B 解析 双曲线-x =1 的渐近线为 y=±2x,抛物线 y =2px 的渐近线为 x=-,渐近线与准 线的交点为 A,B,所以 S△OAB=×2p=1,p=.故选 B. 4.B 解析 因为双曲线 C1:=1 与双曲线 C2:=1 的离心率相同,所以,解得,即双曲线 C1 的 一条渐近线方程为 y=x,即 x-2y=0. 又因为 OM⊥MF2,△OMF2 的面积为 16, 2 所以|OM|·|MF2|=|MF2| =16, 解得|MF2|=4,即右焦点 F2(c,0)到渐近线 x-2y=0 的距离为 4, 所以=4,解得 c=4,a==8,2a=16,即双曲线 C1 的实轴长为 16.故选 B. 5.A 解析 因为∠PAQ=60°且=4, 所以△QAP 为等边三角形, 设 AQ=2R,则 PQ=2R,OP=R, 渐近线方程为 y=x,A(a,0),取 PQ 的中点 M,则由点到直线距离得 AM=,在 Rt△APM 中,由 2 2 勾股定理可得(2R) -R =, 2 2 2 2 所以(ab) =3R (a +b ),① 在△OQA 中,由余弦定理得, 2 2 所以 R =a ,② 2 2 2 由①②结合 c =a +b , 可得 e=.故选 A. 6.A 解析 当椭圆的焦点在 x 轴上时,0<m<4,当 P 位于短轴的端点时,∠APB 取最大值, 要使椭圆 C 上存在点 P 满足∠APB=120°,则∠APB≥120°,∠APO≥60°,tan∠APO=≥tan 60°=,解得 0<m≤. 当椭圆的焦点在 y 轴上时,m>4, 当 P 位于短轴的端点时,∠APB 取最大值,要使椭圆 C 上存在点 P 满足∠APB=120°,则∠ APB≥120°,∠APO≥60°,tan∠APO=≥tan 60°=,解得 m≥12. 故 m 的取值范围是∪[12,+∞),应选 A. 7.D 解析 如图,由题意知 F(c,0),B(0,b),则直线 BF 的方程为 bx+cy-bc=0,

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∵在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 Pi(i=1,2),使得△PiA1A2(i=1,2)构成以线段 A1A2 为斜边的直角三角形,∴以 A1A2 为直径的圆与 BF 交于两点,即 O 与 BF 的距离小于 a,∴<a. ∴e4-3e2+1<0. ∵e>1,∴e<.∵a<b,∴a2<c2-a2. ∴e>.∴<e<.故选 D. 8.C 解析 设|AF|=a,|BF|=b,A,B 在准线上的射影点分别为 Q,P,连接 AQ,BQ.

由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|, 在梯形 ABPQ 中,根据中位线定理,得 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 2 2 2 2 2 由勾股定理得|AB| =a +b ,配方得|AB| =(a+b) -2ab,又∵ab≤, ∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×(a+b)2, 得到|AB|≥(a+b).∴, 即的最大值为.故选 C. 9.10 2 解 析 连 接 AF1,BF1, 则 由 椭 圆 的 中 心 对 称 性 可 得 =AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB≥6+4=10,×2×2=2.

10.x -=1 解析 ∵双曲线渐近线方程为 y=±x,故可设双曲线方程为 x -=λ , ∵双曲线过点(2,3),则 4-=λ ,即 λ =1,故双曲线的标准方程是 x2-=1. 11.5 解析 由题意,知 F(1,0),设 M(x0,y0),N(x,y), 则由 , 可得 (x0-1,y0)=(x-x0,y-y0)? 又由题意可知 x=0, 则 x0=,y0=±=±,y=3y0=±, 则 ||==5. 2 12.4 8 解析 抛物线 C:y =2px 的焦点坐标为 F(2,0),则 p=4. 2 已知点 A(6,3),且点 M 在抛物线 C:y =8x 上,可知 A 在抛物线内部,则|MA|+|MF|的最小值 为 M 到抛物线的准线的距离;抛物线的准线方程为 x=-2,则|MA|+|MF|的最小值为 8. 13. 解析 如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,

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∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,|OP|=.设双曲线 C 的一条渐近线 y=x 的倾斜角为 θ ,则 tan θ =. 2 2 又 tan θ =,∴,解得 a =3b , ∴e=. 14.(1,2) 解析 由题意得∠PAF<45°,PF<AF, 2 2 2 2 2 2 即<a+c,∴b <a +ac,∴c -a <a +ac? e -e-2<0,又∵e>1,∴1<e<2. 15.解 (1)由已知,可得 3+=5,∴p=4. ∴抛物线 C 的方程为 y2=8x. (2)显然直线 l 的斜率不为 0,设直线 l:x=my-2, 2 2 代入 y =8x,得 y -8my+16=0. 2 2 由 Δ =64m -64>0,解得 m >1.① 设 A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,0), 则 y1+y2=8m,y1y2=16. ∴x1+x2=8m2-4,x1x2=4. ∵△EAB 是以点 E 为直角顶点的直角三角形, 即 AE⊥BE, 又=(x0-x1,-y1),=(x0-x2,-y2), ∴=(x0-x1)(x0-x2)+y1y2=-(x1+x2)x0+x1x2+y1y2=-(8m2-4)x0+20=0. ∴方程-(8m2-4)x0+20=0 在 R 上有解. ∴Δ =(8m2-4)2-80≥0,解得 m2≥.② 2 由①②,得 m ≥.∴. ∴直线 l 的斜率的取值范围为-≤k≤,且 k≠0. 16.解 (1)设直线 PA 的方程为 y=(x+),
由 2 2 2 2 整理得(4+t )x +2t x+2t -8=0, 解得 x1=-,x2=, 则点 C 的坐标是, 故直线 BC 的斜率 kBC=-, 由于直线 OP 的斜率 kOP=,故 kBC·kOP=-1, ∴OP⊥BC. 2 (2)由 S 四边形 OBPC=,S 四边形 OBPC=,得,整理得(t-1)(5t +2t+12)=0. ∵5t2+2t+12≠0,∴t=1.

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