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二倍角公式(恒等变换)教案

时间:2017-11-19


二倍角 教学目标:
1、掌握两角和与差的基本概念,基本定理,及二倍角的公式; 2、能够灵活地应用公式,及一些常规变形技巧。 重点:两角和与差的基本概念,二倍角基本公式。 难点:灵活地运用变形技巧(公式的顺用,逆用,变形用)简化运算。

【知识要点】
一、基础公式:
1.二倍角公式:

sin 2? ? cos 2? ? tan 2? ?
2.公式的变形:

cos2 ? ?

2 sin ??

tan2 ? ?

二、倍角公式与幂的关系:
升、降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方 法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,需要根据实 际情况而定,当然有时需要升幂,如对无理式 1 ? cos? 常用升幂化为有理式,常用升幂 公式有: ; ;

注意:公式的顺用、逆用、 变用。

【例题讲解】 例1
(1) sin ? ? cos? ? 2,? ? (0, ? ) ,求 sin 2? . (2)若已知 ? ? [

? ?

3 7 ,求 sin ? . , ], sin 2? ? 4 2 8

练习: (1)

1 ? 2 4 2 ? cos 2 ; (2) ? ? cos 15 ? ; (3) 1 ? cos2? ? 1 ? cos2? ; 2 8 3 3

例2

(1)已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值; 3
1

成功在励志

成才要得法

2 2 (2) 已知 ? 为锐角,且 sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? 0 ,求 tan ? , sin(? ?

?
3

) 的值;

2? 4 ? )? , ? ? (? ,0) ,则 tan( 2? ? 3 3 5 2 ? 3 ? (2)已知锐角 ? , cos( ? ? ) ? ,则 cos( 2? ? ) ? 6 5 12
练习: (1)已知 cos( ? ?

?

)?

例 3 若 sin( ? ? ) ?
6

?

1 2? ? 2? ) 的值. ,求 cos( 3 3

练习: (1)若

cos 2?

sin(? ? ) 4

?

??

2 ,则 cos ? ? sin ? ? 2
4 ,且 ? 为第二象限角,则 tan 2? ? ( ) 5 24 24 C. D. 7 25

(2)若 sin(? ? ? ) sin ? ? cos( ? ? ? ) cos ? ? A. ?

24 7

B. ?

例 4(1)已知 sin( ? ? ) sin( ? ? ) ? , ? ? ( , ? ) ,求 sin 4? 的值.
4 4 2
(2)已知 sin 2? ? sin 2? cos? ? cos 2? ? 1 ,求锐角 ? 的值.
2

?

?

24 25

1 6

?

练习:已知 ? ? (?

? ?

, ) ,且 sin 2? ? sin(? ? ) ,求 ? 的值. 2 2 4

?

成功在励志

2

成才要得法

例 5 求 sin 6? sin 42? sin 66? sin 78? 的值.

练习: (1)求 cos 20? cos 40? cos 60? cos 80? 的值; (2)求 sin 170 ? sin 150 ? sin 130 ? sin 110 ? 的值.

注意:恒等式 cos? cos 2? cos 4? ? ? ? cos(2 ? ) ?
n

sin(2n ?1? ) (n ? N ? ) 仅作了解. 2n ?1 sin ?

例 6 已知函数 f ( x) ? sin 4 x ? 4 cos2 x ? cos2 x ? 4 sin 2 x ,求 f ( ) 的值.

? 8

练习:已知 a ? (2 cos x, sin x),b ? (cosx, sin x ? 3 cos x) ,设函数 f ( x) ? a ? b , (1)求函数 f ( x) 的最小正周期,及图像的对称轴方程; (2)求 f ( x) 在 [

?

?

? ?

5? , ? ] 上的最大值和最小值. 12

成功在励志

3

成才要得法

【过手练习】
1.已知 ? ? (0,

?
2

),

1 ? cos ? ?




1 ? cos? ?




1 ? sin ? ?
2.已知 0 ? ? ?

1 ? sin ? ?

?
2

, sin ? ?

4 sin 2 ? ? sin 2? ? ,则 5 cos2 ? ? cos 2?

3.

1 3 ? ? sin 10? sin 80?
5? 1 1 1 1 ? ? ? 3? ,则 ? ? cos2? 等于( 2 2 2 2 2
B. cos ) D. ? cos

4.已知 A. sin

2 1 ? ? 5.若 sin 2? ? , ? ? ( , ) ,则 cos ? ? sin ? ? 4 4 2
6. 2 ? sin 2 2 ? cos4 的值等于( A. sin 2 B. ? cos 2 )

? 2

?

C. ? sin

? 2

?
2

C. 3 cos 2 )

D. ? 3 cos2

7. sin 6? cos 24? sin 78? cos 48? 的值为(

1 1 D. 32 8 ? 2? 3? 4? cos cos 8. cos cos 的值等于 9 9 9 9 A. B. ? C.
9.已知 sin x ? 10.已知 sin(

1 16

1 16

? 5 ?1 ,则 sin 2( x ? ) 的值等于 4 2

? 5 ? cos 2? ? ? ) ? (0 ? ? ? ), 求 . ? 4 13 4 cos( ? ? ) 4

成功在励志

4

成才要得法

【拓展训练】 例 7 化简: (1)
(2)

1 ? sin ? 1 ? sin ? ; ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos?

1 ? cos? ? cos 2? ? cos3? cos2 ? ? sin 2

?

2

练习:若 tan ? ? 3 ,求 sin 2? ? cos 2? 的值.

例 8 求证:

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

【课后作业】
1、设 log2 (sin15? cos15?) 的值为 A. 1 成功在励志 B. ( D. ? 2
5



1 2

C. 2

成才要得法

2、

1 ? tan2 15? 的值为 2 tan15?
B.





A. 3

3 3

C. 1

D. ? 1 ( )

3、 1 ? sin 100? ? 1 ? sin 100? ? A. ? 2 cos 50 ? 4、 设? ?[ A. B. 2 cos 50 ? C. ? 2 sin 50 ?

D. 2 sin 50 ? )

?
4

, ? ], ? ? [? ,

7? 4

3? 5 10 ], , 则 ? ? ? 的值 ( sin 2? ? , sin(? ? ? ) ? 2 5 10 9? 7? 5? 5? 9? or or B. C. D. 4 4 4 4 4
( )

5、函数 y ? A. [ ? C. [?

1 sin 2 x ? sin 2 x, x ? R 的值域是 2
B. [ ? D. [?

1 3 , ] 2 2

3 1 , ] 2 2

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2
( D. )

4 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 5 13 11 7 A. ? B. C. 18 18 9 4 2 7、函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期是 8、 sin 10? cos 40? sin 70? ?
6、若 cos 2? ? ? 9、已知函数 f ( x) ? cos(

4 9

?

3

? x) cos(

?

3

? x) , g ( x) ?

1 1 sin 2 x ? 2 4

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值,并求使 h( x) 取得最大值的 x 的集合.

成功在励志

6

成才要得法


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