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【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略件专题一第1讲集合与常用逻辑用语_图文

时间:2017-03-14

专题一 集合与常用逻辑用语、不等式

第1讲 集合与常用逻辑用语

栏目索引

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高考真题体验

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热点分类突破

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高考押题精练

高考真题体验

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1.(2016· 课标全国乙改编 ) 设集合 A = {x|x2 - 4x+ 3<0}, B= {x|2x- 3>0} , 3 {x|2<x<3} 则A∩B=__________. 解析 由A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},
? ? 3 ? ? B={x|2x-3>0}=?x?x>2 ?, ? ? ?
? ? ? ?3 得 A∩B=?x?2<x<3 ?. ? ? ?

解析答案

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2.(2016· 北京改编)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的
既不充分也不必要 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” _________________

或“既不充分也不必要”)
解析 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为菱形, a+b,a-b表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等, 所以|a+b|=|a-b|不一定成立; 反之,若 |a + b|= |a - b|成立,则以 a , b 为邻边构成的四边形为矩形, 而矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立, 所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
解析答案

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3. (2016· 浙江改编)命题“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ?x∈R,?n∈N*,使得n<x2 ___________________________.

解析

原命题是全称命题,条件为?x∈R,结论为?n∈N*,使得n≥x2,

其否定形式为存在性命题,条件中改量词,并否定结论.

解析答案

考情考向分析
1. 集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域 为背景考查集合的运算,近几年有时也会出现一些集合的新定义问题. 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考查充要条件的判断.

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热点分类突破

热点一

集合的关系及运算

1.集合的运算性质及重要结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. 2.集合运算中的常用方法 (1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; (2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.

例1

(1)已知集合M={x|x2-2x-8≤0},集合N={x|lg x≥0},则M∩N

{x|1≤x≤4} =___________. 解析 M={x|-2≤x≤4},N={x|x≥1}, 考查交集的定义,画出数轴(图略)可以看出M∩N={x|1≤x≤4}. {x|0<x<3} (2)若集合 A= x|x -9x<0 ,B= x|1<2 <8 ,则集合 A∩B=__________.
? ? ? ? ?

2

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

x

? ? ? ? ?

解析
? ? ? ? ?

因为 A= x|x -9x<0 = x|0<x<9 ,
? ? ? ? ?

2

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

B= x|1<2 <8 = x|0<x<3 ,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

x

所以A∩B={x|0<x<3}.
思维升华 解析答案

跟踪演练 1 {-1} ________.

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 1 = 0} , B = { - 1,2,5} ,则 A∩B =

解析

A ={x|x2-1=0}={x|x=±1}={1,-1},

A∩B={-1}. {1,3} (2)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5},则A∩B=_______. 解析 因为A={x|x=2k+1,k∈Z}为奇数集, 所以A∩B={1,3}.

解析答案

热点二

四种命题与充要条件

1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假. 2.若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p?q,则p,q互为 充要条件.

例2 (1)下列命题:

①已知 m , n 表示两条不同的直线, α , β 表示两个不同的平面,并且
m⊥α , n?β ,则 “α⊥β” 是 “m∥n” 的必要不充分条件;②不存在

x∈(0,1),使不等式log2x<log3x成立;③“若am2<bm2,则a<b”的逆命
题为真命题.

① 其中正确的命题序号是_____.

解析

答案

必要不充分 条件.(填“充分不 (2) “M>N”是“log2M>log2N”成立的____________ 必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析 因为如果0>M>N,不能推出log2M>log2N,所以不是充分条件, 因为log2M>log2N,y=log2x是增函数, 所以M>N,故“M>N”是“log2M>log2N”成立的必要不充分条件.

思维升华

解析答案

跟踪演练2

1 (1)下列四个结论中正确的个数是____.

①“x2+x-2>0”是“x>1”的充分不必要条件;

②命题:“?x∈R,sin x≤1”的否定是“?x0∈R,sin x0>1”; π ③“若x= 4 ,则tan x=1”的逆命题为真命题; ④若f(x)是R上的奇函数,则f(log32)+f(log23)=0.

解析

答案

充分不必要 条件. (2) “a>1”是“(a+1)x>2对x∈(1,+∞)恒成立”的___________ (填“充分不必要、必要不充分、充要”) 解析 a>1时,a+1>2,而x>1,因此(a+1)x>2,既充分性成立; 反之,a=1时,(a+1)x>2对x∈(1,+∞)也恒成立,因此必要性不成立.

解析答案

热点三

逻辑联结词、量词

1.命题 p∨q ,只要 p , q 有一真,即为真;命题 p∧q ,只有 p , q 均为真, 才为真;綈p和p为真假对立的命题. 2.命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q);命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q). 3.“?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈p(x0)”;“?x0∈M,p(x0)” 的否定为“?x∈M,綈p(x)”.

例3 解析

假 命题, (1)设p,q是两个命题,如果綈(p∨q)是真命题,那么p是_____ 由綈(p∨q)是真命题可得p∨q是假命题,由真值表可得 p是假命题

假 命题. q是____
且q是假命题. (2)已知命题p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“?x0∈R,x2 0+2ax0+2-a (1,+∞) =0”.若命题“(綈p)∧q”是真命题,则实数a的取值范围是__________. 解析 命题p为真时a≤1;“?x0∈R,x2 +2ax0+2-a=0”为真, 0 即方程x2+2ax+2-a=0有实根,故Δ=4a2-4(2-a)≥0, 解得a≥1或a≤-2. (綈p)∧q为真命题,即(綈p)真且q真,即a>1.
思维升华 解析答案

跟踪演练3

(1)已知命题p:存在x∈[1,2],使得x2-a≥0,命题q:指
? ? ? ? ? ? ? ?

数函数y=(log2a)x是R上的增函数,若命题“p且q”是真命题,则实数

2,4 a的取值范围是______.
解析
? 2? 1 , 2 当 p 为真时, a≤x 在 x∈ 上有解, 所以 a≤??x ??max=4,

2

? ? ? ?

? ? ? ?

当命题 q 为真时,应有 log2a>1,所以 a>2,
由于命题“p 且 q ”是真命题,所以 p,q 都真,从而 a∈ 2,4 .
? ? ? ? ? ? ? ?

解析答案

(2)命题p:?b∈R,使直线y=-x+b是曲线y=x3-3ax的切线.若綈p为 1 (-∞,3) 真,则实数a的取值范围是__________.
解析 由 y=x3-3ax 得 y′=3x2-3a≥-3a.因为命题“?b∈R 使直线 y =-x+b 是曲线 y=x3-3ax 的切线”是假命题,
1 所以直线 y=-x+b 的斜率-1?[-3a,+∞),即-1<-3a,解得 a<3.

解析答案

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高考押题精练

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1 1.已知函数 f(x)= g(x)=ln(1+x)的定义域为 N, 2的定义域为 M, 1 -x

{x|x<1} 则 M∪(?RN)=_________. 押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要,已成为送分必
考试题.集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等

式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇.
解析 M={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},N={x|1+x>0}={x|x>-1}, ∴?RN={x|x≤-1}, ∴M∪(?RN)={x|-1<x<1}∪{x|x≤-1}={x|x<1}.
押题依据 解析答案

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2. 已知集合 M = {(x , y)|y = f(x)} ,若对于任意 (x1 , y1)∈M ,存在 (x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“Ω集合”.给出下列四 个集合:
1 ①M={(x,y)|y= x}; ③M={(x,y)|y=cos x}; ②M={(x,y)|y=ex-2}; ④M={(x,y)|y=ln x}.

②③ 其中是“Ω集合”的所有序号为________. 押题依据 以新定义为背景,考查元素与集合的关系,是近几年高考

的热点,解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口.
押题依据 解析 答案

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3. 设 φ∈R , 则 “φ = 0” 是 “f(x) = cos(x + φ)(x∈R) 为 偶 函 数 ” 的 充分不必要 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 ______________ “既不充分也不必要”) 押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点,该类问题

必须以其他知识为载体,综合考查数学概念. 解析 当φ=0时,f(x)=cos(x+φ)=cos x为偶函数成立;
但当f(x)=cos(x+φ)为偶函数时,φ=kπ,k∈Z,

所以φ=0时,必要性不成立.
押题依据 解析答案

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2 4.给出下列四个命题,其中正确的命题的个数为___.
①函数 y=sin 2x+cos 2x 在
? ? π? π? ? ? ? ? x∈?0,2?上的单调递增区间是?0,8?; ? ? ? ?

②a1, a2, b1, b2 均为非零实数, 集合 A={x|a1x+b1>0}, B={x|a2x+b2>0}, a 1 b1 则“a =b ”是“A=B”的必要不充分条件; 2 2
③若p∨q为真命题,则p∧q也为真命题;
2 ④命题?x0∈R,x2 0+x0+1<0的否定为?x∈R,x +x+1<0.

押题依据

解析

答案

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