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黑龙江省齐齐哈尔市2013届高三第二次高考模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

时间:2013-05-31


齐齐哈尔市 2013 届高三第二次高考模拟考试数学(理)试题

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一. 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? x x ? 1 ? 2, x ? Z , B ? y y ? x 3 ,?1 ? x ? 1 ,则 A ? B ? ( A. ?? ?,1? 2.若复数 B. ?? 1,1? C. ? D. ?? 1,0,1?

?

?

?

?



a?i ( a, b ? R )对应的点在虚轴上,则 ab 的值是( ) b ? 3i A. ?15 B. 3 C. ?3 D.15 ? 3.废品率 x % 和每吨生铁成本 y (元)之间的回归直线方程为 y ? 2 x ? 256 ,这表明 ( A. y 与 x 的相关系数为 2 B. y 与 x 的关系是函数关系的充要条件是相关系数为 1
C.废品率每增加 1%,生铁成本增加 258 元 D.废品率每增加 1%,生铁成本平均每吨增加 2 元 4.已知等差数列 ?an ? 中 a4 ? a7 ? 42,则前 10 项和 S10 ? ( A.420 B.380 C.210 D.140 ) )



5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6.设 a ? (? sin15 ,cos15 ) ,则 a 与 x 轴正方向的夹角为
? ?
? ?
? ?

?

?





A. ?15 B. 15 C. 75 D. 105 7.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,则恰有两个球同色 的概率为 ( ) A.

8.设 f ?x ? 是定义在正整数集上的函数,且 f ?x ? 满足:“当 f ?k ? ? k ? 1 成立时,总可推出

1 5

B.

3 10

C.

3 5

D.

4 5

f ?k ? 1? ? k ? 2 成立”,那么,下列命题总成立的是 A.若 f ?1? ? 2 成立,则 f ?10? ? 11成立





B.若 f ?3? ? 4 成立,则当 k ? 1 时,均有 f ?k ? ? k ? 1 成立 C.若 f ?2? ? 3 成立,则 f ?1? ? 2 成立 D.若 f ?4? ? 5 成立,则当 k ? 4 时,均有 f ?k ? ? k ? 1 成立 9.在 (1 ? x)3 (1 ? x)8 的展开式中,含 x2 项的系数是 n ,若 (8 ? nx)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ??

?an xn ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?
A.1 B.0 C. ?1 D. 15
7





log2 ?8 ? x ?, x ? 0 ,则 f ? 2013? ? ( ) ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 1?, x ? 0 A.1 B.2 C. ? 2 D. ? 3 2 2 x y 11.已知 F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,O 为原点,A 为右顶 a b 2 PF2 点, P 为双曲线左支上的任意一点,若 存在最小值为 12a,则双曲线离心率 PF1 ? OA ( ) e 的取值范围是 A. ?5 ? ? ? B. ?2,5? C. ?1,5? D. ?1,2? a x 12.函数 f ( x) ?| e ? x | ( a ? R) 在区间 ?0,1? 上单调递增,则 a 的取值范围是 ( ) e ? 1 ? A. a ? ?? 1,1? B. a ? [?1,0] C. a ? [0,1] D. a ? ?? , e? ? e ? 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
10.定义在 R 上的函数 f ?x ? ? ?

?

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某几何体的三视图如图所示,俯视图是边长为 4 的 正三角形,则此几何体的表面积为 . 2 正视图 侧视图

俯视图 14.在四面体 ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AB= 3 ,AD=2,AC= 5 ,则该四面体外 接球的表面积为 . 15.曲线 y ? 4 x 与直线所围成的封闭图形的面积为
2



? x ? 3y ? 0 ? 2 2 16.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 8 ? 0 且不等式 axy ? x ? y 恒成立,则实数 a 的最小值 ? y?7 ?
是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

已知向量 m ? sin x, 3 sin x , n ? ? sin x,cos x ? ,设函数 f ?x? ? m ? n .

??

?

?

?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式,并求 f ? x ? 在区间 ??

? ? ?? , ? 上的最小值; ? 4 6?
3 , 2

(Ⅱ) ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,A 为锐角, f ? A ? ? f ? ? A ? ? 在 若

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a .
18.(本小题满分 12 分) 一个不透明的袋子中装有 4 个形状相同的小球,分别标有不同的数字 2,3,4, x ,现 从袋中随机摸出 2 个球,并计算摸出的这 2 个球上的数字之和,记录后将小球放回袋中 搅匀,进行重复试验。记 A 事件为“数字之和为 7”.试验数据如下表 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 摸球总次数 1 9 14 24 26 37 58 82 109 150 “和为 7”出现的频数 “和为 7”出现的频率 0.10 0.45 0.47 0.40 0.29 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 (参考数据: 0.33 ?

1 ) 3

(Ⅰ)如果试验继续下去,根据上表数据,出现“数字之和为 7”的频率将稳定在它的 概率附近。试估计“出现数字之和为 7”的概率,并求 x 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设定一种游戏规则:每次摸 2 球,若数字和为 7,则可获得 奖金 7 元,否则需交 5 元。某人摸球 3 次,设其获利金额为随机变量? 元,求? 的 数学期望和方差。 19.(本小题满分 12 分) 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 面 ABCD ,已知 S

?ABC ? 45? , AB ? 2, BC ? 2 2, SB ? SC ? 3 (Ⅰ)求证: SA ? BC ;
(Ⅱ)在 SB 上选取点 P,使 SD//平面 PAC ,并证明; (Ⅲ)求直线 SD 与面 SAB 所成角的正弦值。 D 20. (本小题满分 12 分)

C A

B

2 ,且过点 A(-2,1) ,由椭圆上异于 A 的 P 2 点发出的光线射到 A 点处被直线 y ? 1 反射后交椭圆于 Q 点(Q 与 P 不重合).
如图,焦点在 x 轴的椭圆 C,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)求证:直线 PQ 的斜率为定值;

(Ⅲ)求 ?OPQ 的面积的最大值. 21.(本小题满分 12 分)

1 已知 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? 1 ? ln x ,且 f ( ) ?0 ,设 g ( x) ?
且a ? 2.

(a ?1 f( ) 1 2 ) x ? x ? ax , x 2

(Ⅰ)讨论 g ( x) 在区间 (0, 2) 上的单调性; (Ⅱ)求证: f ( x) ? xe x ? 2 x ; (Ⅲ)求证: 2 ln(n !) ?

(n ? 1) 2 . n

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 B 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 A, B, C , D, E 均在⊙O 上,且 AC 为⊙O 的直径。 (Ⅰ)求 ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? ?E 的值; (Ⅱ)若⊙O 的半径为 A O C

D 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为直角坐标系 xoy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的 长度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) . (Ⅰ)求 C 的直角坐标方程;

3 , AD 与 EC 交于点 M ,且 E 、 2 D 为弧 AC 的三等分点,求 MD 的长.

M E

1 ? ?x ? 2 t ? (Ⅱ)直线 l : ? ( t 为参数)与曲线 C 交于 A , B 两点,与 y 轴交于 E , ? y ? 1? 3 t ? ? 2 1 1 ? 求 的值. | EA | | EB |
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)若对任意实数 x ? [5,9] , f ( x) ? ax ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

齐齐哈尔市 2013 年高三第二次模拟考试

数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 24 ? 8 3 14. 12? 15. 9 16.

50 7

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解: (Ⅰ) f ? x ? ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 1 ?? ? ? sin 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ?3分 2 2 2 6? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?? 因为 x ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? . , 6 ? 3 6? ? 4 6? ? ? ? 1 ? ? ?? 所以当 2 x ? ? ? 时, 函数 g ?x ? 在区间 ?? , ? 上的最小值为 ? . ??6 分 6 2 2 ? 4 6? 3 ?? ?? 3 ? ? (Ⅱ)由 f ? A ? ? f ? ? A ? ? 得: 1 ? sin ? 2 A ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? . 2 6? 6? 2 ? ? 1 ? ? 化简得: cos 2 A ? ? ,又因为 0 ? A ? ,解得: A ? . ??9 分 2 2 3 1 由题意知: S ?ABC ? bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 ,又 b ? c ? 7 , 2 2 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A ? ? b ? c ? ? 2bc ?1 ? cos A ? ? 25 ,? a ? 5 . ??12 分
现数字之和为 7”的概率为

18. 解 : (1)由数据表可知,当试验次数增加时,频率稳定在 0.33 附近,所以可以估计“出

1 3

………………………2 分

? P ? A? ?

1 2 ? 2 ,? A 事件包含两种结果,则有 3 ? 4 ? 2 ? x ? 7 , x ? 5 ………5 分 3 C4 ? 1? ? 3?
1 ?1 3

(2)设 ? 表示 3 次摸球中 A 事件发生的次数,则 ? ~ B? 3, ? , E? ? 3 ?

1 2 2 D? ? 3 ? ? ? 3 3 3
则 ? ? 7? ? 5?3 ? ? ? ? 12? ? 15

………………………8 分

E? ? E?12? ? 15? ? 12E? ? 15 ? ?3 D? ? D?12? ? 15? ? 144D? ? 96

………………………10 分 ………………………12 分

(3)如图,以射线 OA 为 X 轴,以射线 OB 为 y 轴,以射线 OS 为 z 轴,以 O 为原点,建立 空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A 2,00 B 0, 2,0 .

?

? ?

?

S?0,0,1? D 2 ? 2 2,0

?

?

SD ? ( 2,?2 2,0) ? (0,0,1) ? ( 2,?2 2,?1)

SA ? ( 2,0,0) ? (0,0,1) ? ( 2,0,?1) , BA ? ( 2,0,0) ? (0, 2,0) ? ( 2,? 2,0) ? 9
分 设平面 SAB 法向量为 n ? ?x, y, z ? 有?

? 1 ? n ?SA ? 2 x ? z ? 0 令 x ? 1 ,则 y ? , z ? 2 , n ? 1,1, 2 2 ?n ? BA ? 2 x ? 2 2 y ? 0 ?

?

?
S

cos n, SD ?

n ? SD n ? SD

?

2 ?2 2 ? 2 2 ? 11 ?

??

22 11

?11 分

z

所以直线 SD 与面 SAB 所成角的正弦值为

22 ?12 分 11
C D A B y x

(Ⅲ)由(Ⅱ) ,设 PQ 的方程为 y ? ? x ? m .

? y ? ?x ? m ? 2 2 由 ? x2 y 2 联立得: 3x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 ?1 ? ? 3 ?6 令 ? ? 0 ,得 ?3 ? m ? 3 ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则
4m 2m 2 ? 6 , x1 x2 ? 3 3 2 16(9 ? m ) ?| PQ |2 ? 9 x1 ? x2 ? m2 设原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ,则 d ? 2 2 2 1 2m (9 ? m ) 9 2 ? S?OPQ ? | PQ |2 d 2 ? ? , 4 9 2 9 3 2 即当 m ? ? 时,?OPQ 面积的最大值为 . 2 2
2

??????8 分 ??????9 分 ?????10 分

??????12 分

(Ⅲ)由(2)知, ln

1 1 ? 2 ? 1(n ? N * ) 2 n n 1 1 1 1 1 1 ? ln 2 ? ln 2 ? ? ? ln 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n 1 2 n 1 2 n 1 1 1 1 ? ? (n ? 2) 又 2 ? n (n ? 1)n n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ?? ? 2? 1 2 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n n

1 (n ? 1)2 , 当 n ? 1 时取等号。…………………… 12 / 即 ?2ln n ! ? 2 ? ? n,? 2ln n ! ? n n
22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 解: (Ⅰ)连接 OA, OB, OC, OD, OE ,则 B

?A ? ?B ? ?C ? ?D ? ?E 1 ? (?COD ? ?DOE ? ?EOA ? ?AOB ? ?BOC ) 2 1 ? ? 360? ? 180? . ??????5 分 2 (Ⅱ)连接 OM 和CD ,因为 AC 为⊙O 的直径, 所以 ?ADC ? 90? ,又 E 、 D 为 ? 的三等分点,所以 AC

A

O

C

M E D

1 1 1 ?EOA ? ? ? 180? ? 30? . ???7 分 2 2 3 OA OA 3 3 ? ?1. 所以 OM ? AC .因为⊙O 的半径为 , OA ? 即 , 所以 AM ? cos A cos 30? 2 2 3 3 3 cos A ? 2 ? ? ? . 在 Rt ?ADC 中, AD ? AC ? 2 2 2 1 则 MD ? AD ? AM ? . ??????10 分 2 ?A ? ?C ?

24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5: 不 等 式 选 讲 】

? 7 ? 2 x, x ? 3 ? ,3 ? x ? 4 ,????2 分 解: f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? ?1 ?2 x ? 7, x ? 4 ?
(Ⅰ)画出函数 f ( x ) 的图像如图, f ( x) ? 2 的解 为x?

y

2 1
5 2

5 9 或x? 。 2 2

??????4 分

3 49
2

x

5 9 或 x ? } ?????5 分 2 2 (Ⅱ)? x ? [5,9] ,? f ( x) ? ax ? 1 即 2 x ? 7 ? ax ? 1 , 6 6 4 ? a ? 2 ? ,? a ? 2 ? ? . x 9 3

? f ( x) ? 2 的解集为 {x | x ?

??????7 分 ??????10 分


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