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安徽省滁州市定远县育才学校2017-2018学年高二(普通班)下学期第三次月考数学(文)试题(含精品解析)

时间:

定远育才学校 2017-2018 学年度第二学期第三次月考试卷

高二文科(普通班)数学

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.i 是虚数单位,i2013=( )

A.

B.

C. 1 D. ﹣1

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得:

.

本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.在判断两个变量 与 是否相关时,选择了 4 个不同的模型,它们的相关指数 分别为:模型 1 的相关指数 为 0.98,模型 2 的相关指数 为 0.80,模型 3 的相关指数 为 0.50,模型 4 的相 关指数 为 0.25.其中拟合效果最好的模型是 ( ). A. 模型 1 B. 模型 2 C. 模型 3 D. 模型 4
【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合相关指数的含义确定拟合最好的模型即可. 【详解】相关指数 越大,则拟合效果越好,结合题意可知,模型 1 的拟合效果最好. 本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查相关指数的实际意义,意在考查学生的转化能力和应用能力.
3.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取了 60 名高中生,通过 问卷调查,得到以下数据:

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

由以上数据,计算得到 K2 的观测值 k≈9.643,根据临界值表,以下说法正确的是( ) A. 没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B. 有 0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C. 有 99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D. 有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合独立性检验的结论和临界值表给出结论即可. 【详解】根据临界值表,9.643>7.879, 在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关, 即有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查独立性检验的思想及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
由 列联表算得 参照附表,得到的正确结论是( ). A. 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合独立性检验的结论和临界值表给出结论即可.

【详解】由独立性检验的结论,观测值

,结合临界值表:



据此可给出结论:在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”.

本题选择 A 选项.

【点睛】本题主要考查独立性检验的思想及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5.以下命题:

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;

④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意逐一分析所给命题的真假即可.

【详解】逐一分析所给命题的真假:

①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥,题中的命题错误;

②以直角梯形的直角边所在的腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台,题中的命题错误;

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆,题中的命题正确;

④一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台,题中的命题错误.

综上可得:正确命题的个数为 1.

本题选择 B 选项.

【点睛】本题主要考查旋转体的定义与性质及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6.将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

试题分析:体积最大的球是其内切球,即球半径为 1,所以表面积为

.

考点:球的表面积.
7.平行四边形 ABCD 中,点 A,B,C 分别对应复数 4+i,3+4i,3-5i,则点 D 对应的复数是( ) A. 2-3i B. 4+8i C. 4-8i D. 1+4i

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合点的坐标和中点坐标公式求解点 D 的坐标即可.

【详解】由题意可得: , ,



设平行四边形 ABCD 的对角线的交点为

,点 D 的坐标为 ,

结合中点坐标公式可得:

,解得:

,则点 D 的坐标为



点 D 对应的复数是 4-8i.

本题选择 C 选项.

【点睛】本题主要考查复数的表示方法,中点坐标公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

8.长方体的长、宽、高分别为 4,2,2,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )

A. 12π B. 24π C. 48π D. 96π

【答案】B

【解析】

【分析】

首先确定外接球半径,然后求解其表面积即可.

【详解】设长方体的外接球半径为 ,由题意可得:



据此可得: ,则外接球的表面积

.

本题选择 B 选项.

【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的

位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中

心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于

球的直径.

9.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所

示,则该几何体的侧视图为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先确定截面,据此绘制出所得的图形,最后确定侧视图即可.

【详解】如图所示,在长方体

中,由正视图和俯视图可知截面为



截去的棱锥为

,其对应的侧视图如题中选项 B 所示.

本题选择 B 选项.

【点睛】本题主要考查三视图及其应用,意在考查学生的转
化能力和空间想象能力.
10.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为 2 的半圆),则该几何体的体积 为( )

A. 80+5π B. 80+10π C. 92+14π D. 120+10π
【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定几何体的空间结构特征,然后求解其体积即可. 【详解】由三视图可知,该几何体是一个由长方体和半个圆柱组成的组合体, 其中长方体的长宽高分别为 ,圆柱的底面半径为 ,圆柱的高 ,

则长方体的体积

,半圆柱的体积



该几何体的体积

.

本题选择 B 选项.

【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线

面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常

用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.

11.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 2 ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积

为( )

A. 12π B. 28π C. 44π D. 60π

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求得底面三角形的外接圆半径,然后结合几何关系确定外接球半径,最后求解球的表面积即可.

【详解】设底面三角形的外接圆半径为 ,由正弦定理可得:

,则 ,

设外接球半径为 ,结合三棱柱的特征可知外接球半径



外接球的表面积

.

本题选择 B 选项.

【点睛】本题主要考查多面体与球的外接问题,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 4+ B. 4+
【答案】B 【解析】 【分析】

C. 4+ D. 4+π

首先确定几何体的空间结构特征,然后求解其体积即可. 【详解】由三视图可知,题中的几何体是一个组合体, 其左侧是一个半圆柱,右侧是一个长方体, 其中半圆柱的底面半径为 ,高 ,长方体的长宽高分别为 ,

则长方体的体积

,半圆柱的体积



则组合体的体积

.

本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法,组合体体积的求解等知识,意在考查学生的转化能力和 计算求解能力.
二、填空题(共 4 小题,每小题 5.0 分,共 20 分) 13.计算:1+i+i2+i3+…+i100(i 为虚数单位)的结果是________。
【答案】1 【解析】 【分析】 由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由复数的运算法则可知:

. 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.
14.圆台两底面半径分别为 2 cm 和 5 cm,母线长为 cm,则它的轴截面的面积是________cm2.
【答案】63 【解析】 【分析】 首先画出轴截面,然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果. 【详解】画出轴截面, 如图,过 A 作 AM⊥BC 于 M,

则 BM=5-2=3(cm),

AM=

=9(cm),

所以 S 四边形 ABCD=

=63(cm2).

【点睛】本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识,意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.
15.已知 x,y 取值如下表:

若 x,y 具有线性相关关系,且回归方程为 y=0.95x+a,则 a=____________
【答案】2.6 【解析】 【分析】 首先求得样本中心点,然后利用回归方程的性质求解实数 a 的值即可.

【详解】由题意可得:





由回归方程的性质可知回归方程过样本中心点,即:

解得:

.

【点睛】(1)正确理解计算 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.

(2)回归直线方程

必过样本点中心 .

(3)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若

具有线性相关关系,则可通过线性回归方程来估计和预测.

16.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上的一点,则三棱锥 A-DED1 的体积为

__________.

【答案】

【解析】

试题分析:

考点:三棱锥体积
三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分)

17.已知复数 z=

+(a2-5a-6)i(a∈R).实数 a 取什么值时,z 是

(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 【答案】(1)a=6 (2)a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞) (3)不存在
【解析】 (1)当 z 为实数时,有 a2-5a-6=0, ①



有意义, ②

解①得 a=-1 或 a=6,解②得 a≠±1, ∴a=6,即 a=6 时,z 为实数. (2)当 z 为虚数时,有 a2-5a-6≠0, ③



有意义, ④

解③得 a≠-1 且 a≠6,解④得 a≠±1, ∴a≠±1 且 a≠6, ∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.

(3)当 z 为纯虚数时,

无解, ∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. 考点:复数的有关概念.
18.某机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机测量了 20 人,得到如下数据:
(1) 若“身高大于 175 厘米”的为“高个”,“身高小于等于 175 厘米”的为“非高个”;“脚长大于 42 码”的为“大脚”,“脚长小于等于 42 码”的为“非大脚”,请根据上表数据完成下面的 2×2 列联表.
(2)根据(1)中的 2×2 列联表,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,能否认为脚的大小与身高 之间有关系?

【答案】(1)见解析(2) 有 99%的把握认为脚的大小与身高之间有关系
【解析】 【分析】 (1)由题意完成题中的列联表即可; (2)据 2×2 列联表可得 K2≈8.802>6.635,则有 99%的把握认为脚的大小与身高之间有关系. 【详解】(1)

(2)据 2×2 列联表可得 K2=

≈8.802.

∵8.802>6.635, ∴有 99%的把握认为脚的大小与身高之间有关系. 【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个 结论,因此才出现了临界值表,在分析问题时一定要注意这点,不可对某个问题下确定性结论,否则就可 能对统计计算的结果作出错误的解释.

19.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格:

其中 =1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点图; (2)求线性回归方程;(结果保留到小数点后两位)

(参考数据:

=3 245, =25, =15.43, =5 075)

(3)预测进店人数为 80 人时,商品销售的件数.(结果保留整数)

【答案】(1)见解析(2)

(3) 58

【解析】

【分析】

(1)由所给的数据绘制散点图即可;

(2)结合线性回归方程系数计算公式计算可得回归方程为



(3)利用线性回归方程的预测作用可得进店人数为 80 人时,商品销售的件数约为 58 件.

【详解】(1)散点图如图.

(2)∵

,

=5 075,7( )2=4 375,

∴b=



=

故线性回归方程为

(3)当

时,

(件)

即进店人数为 80 人时,商品销售的件数约为 58 件.

【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,

求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.二是根据回归方程进行预报,

仅是一个预报值,而不是真实发生的值.

20.三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,右面是它的正视图和侧视 图.(单位:cm)

(1)画出该多面体的俯视图;

(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.
【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)由几何体的特征绘制俯视图即可. (2)结合几何体的空间结构特征可得其体积为 cm3. 【详解】(1)作出俯视图如下.
(2)所求多面体的体积 V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6- ×( ×2×2)×2= (cm3). 【点睛】本题主要考查三视图的画法,多面体体积的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能 力.
21.如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上,AB 为圆 O 的直径,圆柱的侧面积为 16π,OA=2,∠AOP=120°,试求三棱锥 A1-APB 的体积.
【答案】 【解析】 【分析】 结合几何体的空间结构特征,以 为顶点,求得底面积和高,然后利用体积公式可得其体积为 . 【详解】S 圆柱侧=2π·OA·AA1=4π·AA1=16π,∴AA1=4, ∵∠AOP=120°,OA=OP=2, ∴AP=2 ,BP= AB=OA=2.



= S△APB·AA1= × ×2 ×2×4= .

【点睛】本题主要考查圆柱的空间结构特征,棱锥的体积公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.

22.如图,一个圆锥的底面半径为 1,高为 3,在圆锥中有一个半径为 x 的内接圆柱.

(1)试用 x 表示圆柱的高; (2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少? 【答案】(1)h=3-3x(2)当 时,它的侧面积最大为 π
【解析】 【分析】 (1)利用圆锥轴截面的特征可得圆柱的高 h 可表示为 h=3-3x. (2)由题意可得 S 圆柱侧=6π(x-x2),利用二次函数的性质可得当圆柱的底面半径为 时,它的侧面积最大为 π. 【详解】(1)设所求的圆柱的底面半径为 x,它的轴截面如图,

BO=1,PO=3,圆柱的高为 h, 由图,得 = ,即 h=3-3x. (2)∵S 圆柱侧=2πhx=2π(3-3x)x=6π(x-x2), 当 x= 时,圆柱的侧面积取得最大值为 π.
∴当圆柱的底面半径为 时,它的侧面积最大为 π. 【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构特征,二次函数的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.


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