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学会用几何法解向量题

时间:2015-06-22


中学生数学 ? 2 0 1 3年 2月 上 ? 第4 5 9 期( 高中)  

孝  
乡  

用 几 何法 解向 鼍  
河 南省 平顶 山市第 一高 级 中学 ( 4 6 7 0 0 0 )   祝 要辉 
向量题是 高 中数学 的重 点 、 热点、 考 点. 相 
( A) 1   ( B )   ( C) 2  

寸 

基 
础 
袭 口  
口 
t  

( D) 3  

对于代数法 , 几 何法 的优 势 在 于直 观 、 计 算 量 
小, 找 到 向量 的几 何 意 义 后 , 问 题 就 能 迎 刃 而  解, 它 是 求 解 向量 问题 的有 效 策 略之 一 , 对 于 

解析

结 合 条 件  一 

÷  +   , 在 边 A C 上  
取 AE—
u  

几 何法 解 向量 题 我们 应 引 起 重 视. 下 面 以平 时  训 练 中几道 向量 题 为例 , 谈 谈 几 何 法在 求 解 向  
量 题 中的应用 .  

AC, 作平 行 四边 
图 3  

形 AE DF . 又 因 为  A一 6 0 。  

例1 若l  l 一1 , l   b   l 一2 ,  
_+  

及 AD 是  A 的平 分 线 知 ,   平 行 四边 形 AE DF 是 菱 形 , 如图 3 , 由平 面 几  何 知识 易知菱 形 AE DF的边 长 为 2 , 所 以 AD  



 

+b , 且 上 , 则 向量  与 b  
) .  
( B) 6 0 。   ( D) 1 5 0 。   图1   ( A) 3 0 。   ( C) 1 2 O 。  

的夹角 为 (  



2   +2   一2×2×2 c o s 1 2 0 。 一2   , 选( c) .  

例 4 已知 平 面 向量 ,  


解析

结 合条 件 l  l = = = 1 , l  l 一2 ,  一 +6 - - >  

(   ≠r 0 , 卢 ≠  ) , 满足 l  { 一1 ,   l 的取 值范 围是 

—+

 

÷  

作 出平 行 四 边 形 AB C D, 又 因 为  _ _ L  , 所 以 
BAC= 9 0 。 , 于 是 AB一 1 , AD - 7 -2 , AC一  ,  

且  与 —  的夹 角 1 2 0 。 , 则 

易 得   与 b的 夹 角 为 1 2 0 。 . 选( C ) .  
一  

解析

结 合 条 件  与 
图4  

例 2   AABC 的 外 接 
圆的 圆心为 0 点 , 半 径为 2 ,  
+ 


的夹角 1 2 0 。 及l  l 一1作 

AABC, 如图 4 , 在 A AB C中, s i n   AC B一 6 0 。 .  
C 

+ 

, 且 l  

l  

根据 正 弦 定 理 得 到 外 接 圆 的直 径 为 2 R一  
一  

l 蕊 『 , 则向量砑 在商 方 
) .  
( B) 一 3   图 2   ( A) 3  



进 而 联 想 到 圆 中 同弧 所 对 圆 周 

向上 的投 影为 (  

角相等 , 结合 图 3 , 点 C 在 三角 形 AABC外 接 
圆 的优 弧 AC B 上 滑动 , 经分 析知 , 过 A 点 的直  径 的两 个 端 点 , 一个 取 得 最 小值 , 一 个 取 得 最 
9 / 5 -  

( c ) d g  
解析 再 由   + 

( D) 一 
+  作 出 平 行 四 边 形  l —l   l 知 AO AB为 

结 合题 意 , 先 作 出半径 为 2的 圆 0,  

大值 , 于是有 0 <l  l ≤ 

.  

AB O C, 进 而 由条件 l  

当然 , 以 上 几 个 例 子 还 有 相 应 的 代 数 解  法, 这里 不 再 赘 述. 通 过 这 些 例 子 我 们 会 发 现 

等边 三 角形 , 如图 2 , 易 知 向量蕊 在商 方 向上 
的投 影 为 2 ×s i n   一   , 故选 ( c ) .  
I )  

借 助几 何 法 来 解 决 向量 问题 的 关 键 是 结 合 题 
意作 出几 何 图形 , 找 到式 子 的 几何 意 义 , 这 样 

例 3   AAB C中,   A一 6 o 。 , /A 的 平 分 

在解题 中就能有 效 减 小计 算 量 , 达 到 事半 功 倍 
的效果 .  
( 责审   高雪松 )  

◇  ◇  ● 

线 AD 交 边 B C于 D点 , 已知 AB=3 , 且  一   +   (  ∈R) , 则 AD 的长为 (   ) .  

N ] t l k : z x s s . c b p t . c n k i . n e t

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