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2015-2016学年高中数学 1.1第2课时 余弦定理课件 新人教A版必修5

时间:2015-12-05


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章 解三角形

第一章
1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 余弦定理

1

自主预习学案

2

课堂探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

1.会用向量法证明余弦定理. 2 .记住余弦定理及其推论,并能用它们解决一些简单的 三角度量问题.

中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命.某时某中
国海监船位于中国南海的 A处,与我国海岛 B相距sn mile.据观 测得知有一外国探油船位于我国海域 C处进行非法资源勘探, 这艘中国海监船奉命以vn mile/小时的速度前去驱逐.假如能测 得∠BAC=α,BC=mn mile,你能根据上述数据计算出它赶到

C处的时间吗?

1.判断(正确:T,错误:F).
(1)已知两个三角形两边及其夹角对应相等,则两个三角形 全等. (2) 已知两个三角形三边分别对应相等,则两个三角形全 等.

(3)已知两边和其中一边的对角解三角形,可能有一解、两
解或无解. 2.在△ABC中,正弦定理的表达式是______________. a b c [答案] 1.(1)T (2)T (3)T 2.sinA=sinB=sinC

1.在△ABC 中,若 AB=4,AC=6,A=60° . (1)这个三角形能确定吗? (2)你能利用正弦定理求出 BC 吗? 6 4 BC 由正弦定理得sin60° =sinB=sinC, 又 sinC=sin(120° -B), 6sin60° 4sin60° ∴BC= sinB ,或 BC= sin?120° -B? 据此可以先求出角 B(或 sinB),再求 BC.

(3)能否利用平面向量求边 BC?如何求得? → → → ∵BC=BA+AC →2 →2 →2 → → ∴|BC| =|BA| +|AC| +2BA· AC → → → → =|BA|2+|AC|2-2|BA||AC|cosA =4+9-2×2×3cos60° =7. → ∴|BC|= 7. (4)(2)和(3)哪种方法简便? 利用(3)的方法,能否推导出用 b,c,A 表示 a?

2.余弦定理 在三角形中,任何一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即 a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. 你能否建立坐标系,结合解直角三角形的知识用解析法证 明余弦定理? 如图,以点 A 为原点,以△ABC 的边 AB 所在直线为 x 轴, 以过点 A 与 AB 垂直的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(0,0),C(bcosA,bsinA),B(c,0).由两点间的距离公式得

BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2, 即 a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A, a2=b2+c2-2bccosA. 同理可证 b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC.

在 △ ABC 中 , AB = 4 , BC = 3 , B = 60° , 则 AC 等 于

________.

[答案]
[解析]

13
由条件已知三角形的两边及其夹角,故可以直接

利用余弦定理求得边 AC,即 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB= 1 16+9-2×4×3×2=13. ∴AC= 13.

3.余弦定理的变形 b2+c2-a2 根据余弦定理, 可以得到以下推论: cosA= 2bc , cosB a2+c2-b2 a2+b2-c2 = 2ac ,cosC= 2ab .

边长为5、7、8的三角形中,最大角与最小角的和是

________.
[答案] 120°

[解析] 设中间角为 θ,由于 8>7>5,故 θ 的对边长为 7, 52+82-72 1 由余弦定理,得 cosθ= = .所以 θ=60° ,故另外两角 2×5×8 2 和为 180° -60° =120° .

4.余弦定理与勾股定理有何关系? 在△ABC 中,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,若角 C =90° ,则 cosC=0,于是 c2=a2+b2-2a· b· 0=a2+b2,这说明 勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 设 c 是△ABC 中最大的边(或 C 是△ABC 中最大的角),则 a2+b2<c2?△ABC 是钝角三角形,且角 C 为钝角; a2+b2=c2?△ABC 是直角三角形,且角 C 为直角; a2+b2>c2?△ABC 是锐角三角形,且角 C 为锐角.

在 △ ABC 中 , sinA?sinB?sinC = 3?5?7 , 则 △ ABC 是

(

)
A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.无法确定

[答案] C

[解析] 由正弦定理,得 a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶ 5∶7. 设 a=3k,b=5k,c=7k(k>0),由于 c>b>a,故角 C 是△ ABC 中最大的角, b2+a2-c2 ?5k?2+?3k?2-?7k?2 因为 cosC= 2ab = 2×5k×3k 1 =-2<0, 所以 C>90° ,即△ABC 为钝角三角形

课堂探究学案

已知两边和夹角解三角形
在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45° , 解三角形.

[分析]

已知两边及其中一边的对角,先由余弦定理列方

程求c,然后求A,C.

[解析] 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB, 2 则 2=3+c -2 3× 2 ×c,即 c2- 6c+1=0,
2

6+ 2 6- 2 解得 c= 2 ,或 c= 2 . 6+ 2 当 c= 2 时,由余弦定理得 6+ 2 2 b2+c2-a2 2+? 2 ? -3 1 cosA= 2bc = =2. 6+ 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ,∴A=60° , ∴C=180° -(A+B)=180° -(60° +45° )=75° .

6- 2 b2+c2-a2 当 c= 时 , 由 余 弦 定 理 得 cosA = = 2 2bc 6- 2 2 2+? 2 ? -3 1 =-2. 6- 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ,∴A=120° , ∴C=180° -(A+B)=180° -(120° +45° )=15° . 6+ 2 故 c= 2 时,A=60° ,C=75° ; 6- 2 c= 2 时,A=120° ,C=15° .

[方法规律总结] 已知两边及一角解三角形的方法: (1) 当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三 边,再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一 解; (2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元 二次方程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要 注意解的情况的讨论.利用余弦定理求解相对简便.

(1)已知△ABC 中, a=1, b=1, C=120° , 则边 c=________. 9 (2)在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cosC=10,则 BC =________.

[答案] (1) 3 (2)4 或 5

[解析] (1)由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC=1+1- 1 2×1×1×(-2)=3,∴c= 3. 9 (2) 由余弦定理得 ( 5) = 5 + BC - 2×5×BC× 10 ,所以
2 2 2

BC2-9BC+20=0, 所以 BC=4 或 5.

已知三边解三角形
在△ABC 中, 已知 a=2 6, b=6+2 3, c=4 3, 求角 A,B,C.

[解析] 在△ABC 中,由余弦定理的推论得, a2+b2-c2 ?2 6?2+?6+2 3?2-?4 3?2 cosC = = = 2ab 2×2 6×?6+2 3? 24? 3+1? 2 = . 24 2? 3+1? 2

2 asinC ∴ C = 45° , sinC = 2 . 由 正 弦 定 理 得 , sinA = c = 2 2 6× 2 1 =2. 4 3 ∵a<c,∴A<C,∴A=30° . ∴B=180° -(A+C)=180° -(30° +45° )=105° .

[方法规律总结] 已知三边解三角形的方法 (1) 先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个 角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出 第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求三角的余弦,进而求得三个角.

在△ABC 中,a=3,b=4,c= 37,求最大角.
[分析] 利用余弦定理的推论求角.

[解析] ∵ 37>4>3,边 c 最大,则角 C 最大, a2+b2-c2 32+42-37 1 又 cosC= 2ab = =-2. 2×3×4 ∴最大角 C=120° .

判断三角形的形状
在 △ ABC 中 , 若 b2sin2C + c2sin2B =

2bccosBcosC,试判断△ABC的形状.
[ 分析 ] 思路一,利用正弦定理将已知等式化为角的关 系;思路二,利用余弦定理将已知等式化为边的关系.

[解析] 解法一:∵b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC, ∴利用正弦定理可得 sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinB· sinC· cosB· cosC, ∵sinBsinC≠0,∴sinB· sinC=cosBcosC, ∴cos(B+C)=0,∴cosA=0, π ∵0<A<π,∴A=2,∴△ABC 为直角三角形.

解法二:已知等式可化为 b2-b2cos2C+c2-c2· cos2B=2bccosBcosC, 由余弦定理可得
2 2 2 ?a2+b2-c2? a + c - b ? ?2 2 2 b2+c2-b2· - c · ( ) ? 2ac 2ab ? ? ?

a2+b2-c2 a2+c2-b2 =2bc· 2ab · 2ac ∴b2+c2=a2,∴△ABC 为直角三角形.

解法三:已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB· cosC, ∴b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosB· cosC, ∵b2cos2C+c2cos2B+2bccosBcosC =(bcosC+ccosB)2=a2, ∴b2+c2=a2,∴△ABC 为直角三角形.

[方法规律总结]

已知三角形的边或角的关系式解三角形

或判断三角形的形状,可先观察条件式的特点,再依据此特点 选取变形方法, 当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形, 当等式两边含有角的正弦的同次幂时,常用正弦定理变形,当 含有边的积式及边的平方和与差的形式时,常考虑用余弦定理 变形,可以化边为角,通过三角变换求解,也可以化角为边, 通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等.

在△ABC 中,已知 a∶b∶c=1∶ 3∶2,试判断三角形的 形状.
[解析] 在△ABC 中,设 a=x(x>0),则 b= 3x,c=2x. 显然 c 最大,故角 C 最大. 根据余弦定理, a2+b2-c2 x2+? 3x?2-?2x?2 x2+3x2-4x2 cosC= 2ab = = =0. 2· x· 3x 2 3x2 π ∴C=2,即△ABC 是直角三角形.

正弦、余弦定理的综合应用 在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD , AD = 10 ,

AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长.

[分析] 欲求 BC,在△BCD 中,已知∠BCD,∠BDC 可 求, 故须再知一条边; 而已知∠BDA 和 AB、 AD, 故可在△ABD 中,用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中,由正 弦定理可求 BC.

[解析] 在△ABD 中,设 BD=x,由余弦定理:BA2=BD2 +AD2-2BD· AD· cos∠BDA 即 142=x2+102-2· 10x· cos60° , 整理得:x2-10x-96=0, 解得 x1=16,x2=-6(舍去), BC BD 由正弦定理,得 = , sin∠CDB sin∠BCD 16 ∴BC=sin135° · sin30° =8 2.

(2015· 昆明市质检)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分 a2+b2 π c 别是 a,b,c,若 C=4,AB 边上的高为2,则 ab =________.

[答案] 2 2

1 c 1 1 π 2 [解析] 由已知得:S△ABC=2· c· = ab sin C = ab · sin 得: c 2 2 2 4 a2+b2-c2 a2+b2- 2ab = 2ab,又由余弦定理得:cosC= 2ab = = 2ab a2+b2 2 2 2ab - 2 = 2 , a2+b2 ∴ ab =2 2.

设 2a + 1 , a,2a - 1 为钝角三角形的三边,求实

数a的取值范围.
[错解] ∵2a+1,a,2a-1 为三角形的三边, 1 解得 a>2.2a+1 是三边长的最大值,设其

?2a+1>0, ? ∴?a>0, ?2a-1>0, ? 对角为 θ.

∵2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边, a2+?2a-1?2-?2a+1?2 a?a-8? 1 ∴cosθ<0,即 = <0,解得2 2a?2a-1? 2a?2a-1? <a<8, 1 ∴a 的取值范围是2<a<8.

1 [辨析] 错解中求得的 a>2不是 2a+1,a,2a-1 能构成三 角形的充要条件.如当 a=1 时,a+(2a-1)<2a+1,此时 2a +1,a,2a-1 就不能作为三角形的三边,本题实质上是求 2a+ 1,a,2a-1 能构成钝角三角形的充要条件,除了要保证三边长 均为正数外,还应满足“两边之和大于第三边”.

[正解] ∵2a+1,a,2a-1 为三角形的三边, ?2a+1>0, ? ∴?a>0, ?2a-1>0, ? 1 解得 a>2,此时 2a+1 最大.

∵2a+1, a,2a-1 表示三角形的三边, 还需 a+(2a-1)>2a + 1 , 解 得 a>2. 设 最 长 边 所 对 角 为 θ , 则 cosθ = a2+?2a-1?2-?2a+1?2 a?a-8? 1 = <0,解得2<a<8.∴a 的取值 2a?2a-1? 2a?2a-1? 范围是 2<a<8.

[警示]

解三角形时要牢记:(1)内角和定理;(2)大边对大

角; (3)两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边; (4)在△ABC 中,A>B?sinA>sinB.

? ? 定理及推导 ?定理的内容? ? ? ? ?定理的几个变式 余? ? ? 弦? ?两边和夹角 ? 解三角形类型? 定? ? ? ?三边 ? 理 定理的作用? ? ? 三角形形 ?常见类型 ? ? ? ? ? 状的判断? ?判断方法 ? ?


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