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2014届浙江省各地高考模拟数学文理科原创题汇编

时间:2013-11-02


2014 届浙江省各地高考模拟数学文理科原创题汇编
(2013.8~2013.10)
一、选择题
1.如果复数 (i ? 2b)i (其中 b ?R )的实部与虚部互为相反数,则 b =( A. ) D. 1 )

1 2

B. ?

1 2

C. ?1

2.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 0 。若 S 2 ? 2a3 ,则 q 的取值范围是( A. (?1, 0) ? (0, ) C. (??, ? ) ? (1, ??)
2 2 3 3

1 2

B. (? , 0) ? (0,1) D. (??, ?1) ? ( , ??) )

1 2

1 2

1 2

3.设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a ? b ? 0 ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? 个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变横坐标压 4

4.先将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图像向左平移 缩为原的

1 ,得到函数 g (x) 的图像.则使 g (x) 为增函数的一个区间是( 2

)

A. (?? ,0)

B. (0,

?
2

)

C. (

?
2

,? ) 1 2

D. (

? ?

, ) 4 2

5.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,满足 f (1 ? x) ? f ( x) ,( x ? ) f ?( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 1 , 则有( ). B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不能确定

A. f ( x1 ) ? f ( x2 )

6.对两个实数 x, y ,定义运算“ ? ” x ? y ? 1 ? x ? y .若点 P( x ? y, (? x) ? y) 在第四象限,点 ,

Q( x ? y, (? x) ? (3 ? x ? y)) 在第一象限,当 P, Q 变动时动点 M ( x, y) 形成的平面区域为 ? ,则使
{( x, y) | ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? r 2 (r ? 0)} ? ? 成立的 r 的最大值为(
A. 2 7.已知 ? ∈( B. 5 )

C.

5 5

D.

2 2

? 3 ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于 5 2 4 1 1 A. -7 B. - C. 7 D. 7 7 8.设 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题错误的是 ..
A.若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n C.若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? B.若 n ? ? , n // m , 则 m ? ? D.若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ?
1

9.设数列 {an } 和 {bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4 , a4 ? b4 ? 1 ,则以下结论正确的是 A. a2 ? b2 B. a3 ? b3 C. a5 ? b5 D. a6 ? b6

10.某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则该四棱锥的体积等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.设等差数列 ?an ?的前 n 项和是 Sn ,若 ?am ? a1 ? ?am ?1 ( m?N*,且

13

正视图

1 侧视图

1

m ? 2 ),则必定有 A. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0
C. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 12.要得到函数 y ? s in ( 2 x ?

B. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 D. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0
2 俯视图

π ) 的图象,只需将函数 y ? cos2x 的图象 3 5 π π A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 1 2 6 5 π π C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 1 2 3 1 3 2 13.已知 f ( x) ? x ? x ? ax ? m ,其中 a ? 0 ,如果存在实数 t ,使 f ?(t ) ? 0 , 3 2t ? 1 则 f ?(t ? 2) ? f ?( ) 的值 3
A.必为正数 B.必为负数 C.必为非负 D.必为非正

14.若命题 p : a ? 0 , q : 方程 A.充分不必要条件 C.充要条件

x2 y2 ? ? 1表示双曲线 ,则 p 是 q 的( ▲ ) a ?1 a
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15.等差数列 ?a n ? 的前 n 项之和为 S n ,若 a 2 ? a 6 ? a10 为一个确定的常数,则下列各数中也可以确 定的是( ▲ ) A. S 6 B. S11 C. S12 D. S13

16.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a ) ,则实数 a 的 取值范围是( ▲ ) A. (?1, 2) C. (??, ?1) ? (2, ??) 17. 已知函数 f ( x) ? B. (?2,1) D. (??, ?2) ? (1, ??)

1 3 ,3 1 , x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从1 2,三个数中任取的一个数, b 是从 0,2 三 3
B.

个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( ▲ ) A.

7 9

1 3

C.

5 9

D.

2 3

18. 式子 ? (a, b, c) 满足 ? (a, b, c) ? ? (b, c, a ) ? ? (c, a, b) ,则称 ? (a, b, c) 为轮换对称式.给出如
2

下三个式子:① ? (a, b, c) ? abc ; ② ? (a, b, c) ? a 2 ? b 2 ? c 2 ; ③

? ( A, B, C ) ? cos C ? cos( A ? B) ? cos 2 C ( A, B, C 是 ?ABC 的内角).其中,为轮换对称式的个
数是( ▲ ) A. 0 19.若复数 z ? B. 1 C. 2 D. 3

3?i ( i 为虚数单位), z 为其共轭复数,则 z ? ( ▲ ) 1? i A. 1 ? 2i B. 2 ? 2i C. ? 1 ? 2i D. ? 2 ? 2i 2 2 20.若 a, b 都是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 ”的( ▲ )
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

21.定义在 (1,??) 上的函数 f ( x) 满足下列两个条件: ⑴对任意的 x ? (1,??) 恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; ⑵当 x ? (1, 2] 时, f ( x) ? 2 ? x ; 记函数 g (x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,若函数 g (x) 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是( ▲ ) A. ?1,2 ?

B. ? ,2? ?3 ?

?4 ?

C. ? ,2 ?

?4 ?3

? ?

D. ? ,2 ? ?3 ?

?4

?

22.对于任意实数 x , [x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [1.1] ? 1,[ ?2.1] ? ?3 .定义在 R 上的函数

f ( x ) ? [2 x ] ? [4 x ] ? [8 x ] ,若 A ? ? y y ? f ( x ),0 ? x ? 1? ,则 A 中所有元素的和为( ▲ )
A.65 B.63 C.58 ) D.55

1 ? 2i 23.在复平面内,复数 对应的点的坐标为( 2?i
A. ?0,1? B. ?0,?1? C. ?

?4 3? ,? ? ?5 5?

D. ?

?4 3? , ? ?5 5?
)

24.已知 ?a n ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为(

A. 25. ? ? “

3 2

B. ? ”是“ cos 2? ?

3 2

C.

1 2
(

D. ?

1 2

?
6

1 ”的 2

)

A.充分必要条件 C.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

26.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 ( x ? 2) f ?( x) ? 0, 又 a ? f (log 1 3) ,

1 b ? f (( ) 0.3 ), c ? f (ln 3), 则( ) 3 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a
27.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) ( x ? R )的图像的一部分如图所示,
3

其中 A ? 0, ? ? 0 , ? ?

,为了得到函数 f ( x) 的图像,只要将函数 2 x x g ( x) ? 2 cos 2 ? 2sin 2 ( x ? R )的图像上所有的点( ) 2 2 ? 1 A.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移

?

? ?

6 3 3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把得所各点的横坐标缩短到原来的

?

1 倍,纵坐标不变 2

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

28.已知函数 f ( x) ?

1 ? 1 ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 6 个不同的实数解,则 b, c x
) B. 1 ? b ? c ? 0, c ? 0 D. 1 ? b ? c ? 0, 0 ? c ? 1 )

的取值情况不可能的是( A. ?1 ? b ? 0, c ? 0 C. 1 ? b ? c ? 0, c ? 0

29.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为( A.20 B.22 C.24 D.28
2

30.已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点 ?1, 0 ? 对 称. 若对任意的 x, y ? R ,不等式 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立,则当
2

?

? ?

?

x ? 3 时, x 2 ? y 2 的取值范围是(
A. ? 3, 7 ? B.

) C. ?13, 49 ? D.

? 9, 25?

? 9, 49 ?
)

31.已知等比数列 ?a n ? 中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? B. 1 ? 2

a ? a9 1 等于( a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 2 a6 ? a7
D. 3 ? 2 2

2

C. 3 ? 2 2

32. A 为三角形的内角,则 sin A ?

1 3 的 是 cos A ? 2 2

(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 33. 已知 e1 和 e2 是平面上的两个单位向量, e1 ? e2 ? 1 ,OP ? me1 , OQ ? ne2 , O 为坐标原点, 且 若

??

?? ?

?? ?? ?

??? ?

?? ???? ?

?? ?

??? ???? 2 ? m, n 均为正常数,则 OP ? OQ 的最大值为(

?

?

)
2

A. m 2 ? n 2 ? mn 34.函数 y ? A、2

B. m 2 ? n 2 ? mn

C. (m ? n)

D. (m ? n)

2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x( ?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于( x ?1
B、3 C、4 D、6

)

35. 已知两个非零向量 a 与 b ,定义 a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角.
4

若 a = ? ?3, 4 ? , b = ? 0, 2 ? ,则 a ? b 的值为( A. ?8 B. ?6 C.8

) D.6 )

36.已知函数 f ( x) ? sin(? ? 2 x), g ( x) ? 2 cos 2 x ,则下列结论正确的是( (A)函数 f ( x) 在区间 [

? ?

, ] 上为增函数 4 2

(B) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期为 2? (C) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图象关于直线 x ? (D) 将函数 f ( x) 的图象向右平移

?
8

对称

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 g ( x) 的图象 2 37.已知集合 A ? ?( x, y ) x( x ? 1) ? y ( y ? 1) ? r ? ,集合 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 ,若 A ? B ,则实

?

?

?

数 r 可以取的一个值是( A.

) B.

2 ?1

3 C. 2

D. 1 ?

2 2
)

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 38.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的零点的个数为( f ( x ? 2), x ? [2, ??) ? ?2
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 39.设非空集合 S ? x m ? x ? n 满足:当 x ? S 时,有 x 2 ? S ,给出如下三个命题: ①若 m ? 1, 则 S ? ?1? ;②若 m ? ? 其中正确命题的是( ) A.① B.①②

?

?

2 1 1 1 ? m ? 0. , 则 ? n ? 1 ; ③若 n ? , 则 ? 2 2 4 2
C.②③ D.①②③

二、填空题
40.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 4 2

?





41.若 a, b 是两个非零向量,且 | a |?| b |? 围是 ▲ .

? | a ? b |, ? ? [

3 ,1] ,则 b 与 a ? b 的夹角的 取值范 3

42. 设 g ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [0,1] 上的值域 为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为 ▲ .

43.已知 l1 和 l2 是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为 A ,动点 B, C 分别在 l1 和 l2 上,且

BC ? 3 2 ,则过 A, B, C 三点的动圆扫过的区域的面积为 ..





5

1 1 ? a an ?1 1 1 44.设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N* ,有 2 ? ? n ? 2? , an ?1 1 ? 1 an n n ?1
则 a10 ? ▲ .

45.已知 f ( x) ? log 4 (4 ? 值域是 ▲ .

4x ), x ? R ,定义 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 y ? [ f ( x)] 的 1 ? x2

46.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是正方形 ABCD 所在平面内的 一个动点,且满足 PM ? 2 , P 到直线 A1 D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹是
x





47.已知函数 f ( x) ? 2 且 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,其中 g (x) 为奇函数, h(x ) 为偶函数,若不等式

2a ? g ( x) ? h(2 x) ? 0 对任意 x ? [1,2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是
48.已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ?
2





1 ,则 x ? y ? ___▲__. 3
___▲__.

49.已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? ?5 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ?

50.求“方程 ( ) x ? ( ) x ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ,则 f ( x) 在 R 上单调 递减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思路,类比上述解题思路,方程

3 5

4 5

3 5

4 5

x 6 ? x 2 ? x3 ? 6 x 2 ? 13x ? 10 的所有实数解之和为
51.等差数列 {a n } 中 a1 ? 2013 ,前 n 项和为 S n ,



. ▲ 。

S12 S10 ? ?2 ,则 S 2013 的值为 ? 12 10

52.设函数 f ( x) ? ln x ,且 x 0 , x1 , x 2 ? (0, ? ?) ,下列命题: ①若 x1 ? x 2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? x2 x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? x0 x1 ? x 2

②存在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) , ( x1 ? x 2 ) ,使得

③若 x1 ? 1 , x 2 ? 1 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?1 x1 ? x 2
x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2
6

④对任意的 x1 , x 2 ,都有 f (

其中正确的是

▲ 。(填写序号)

53. P 是 ?ABC 所在平面上的一点,满足 PA ? PB ? 2 PC ? 0 ,若 ?ABC 的面积为 1 ,则 ?ABP 的 面积为 ▲ 。 54.已知 x ? 0, y ? 0 , x ? y ? xy ,则 ( x ? 1)( y ? 1) 的最小值为
2 2

▲ 。

55.设曲线 y ? x n ?1 (n ? N *) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? log 2 xn ,则

a1 ? a2 ? ... ? a15 的值为





56.设函数 f ( x) ? log a x (0 ? a ? 1) 的定义域为 [m, n](m ? n ) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小 值为 ,则实数 a 的值为

1 3





57.一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长 的最大值为 ▲ . 58.若 sin(? ?

?

f (b) ? f (a) ,则称 b?a 2 x0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 上的一个均值点。 已知函数 f ( x) ? ? x ? mx ? 1 在区间 ? ?1,1? 上存在 均值点,则实数 m 的取值范围是 ▲ .
59.定义:如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足 f ( x0 ) ? 60.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:? x∈R 恒有 f(x+2)=f(x)-f(1).且当 x∈[2,3]时,f(x)=- 2(x-3)2.若函数 y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

) ? 3 sin( ? ? ) ,则 tan 2? ? 6 2

?





三、解答题
61.(本小题满分 15 分) 设 x ? m 和 x ? n 是函数 f ( x) ? ln x ? 其中 m ? n , a ? R . (1) 求 f (m) ? f (n) 的取值范围; (2)若 a ?

1 2 x ? (a ? 2) x 的两个极值点, 2

e?

1 ? 2 ,求 f (n) ? f (m) 的最大值. e

注:e 是自然对数的底数

7

62.(本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1(0 ? a ? 1) , 3

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的极大值; (II)记 f ( x) 的导函数为 g ( x) ,若 x ? ?1 ? a,1 ? a ? 时,恒有 ? a ? g ( x) ? a 成立,试确定实数 a 的取 值范围。

63.(本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? b .
3

(Ⅰ)当 a ? 1, b ? 2 时,求函数 f (x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (Ⅱ)当 b ? 2 时,若 f ( x) ? 0 对任意的 x ? ? 0, ?? ? 都成立,求实数 a 的取值范围; (III)若 f ( x) ? 0 对任意的 x ? ? 0, 2? 均成立,求 a ? b 的最大值.

8

64.(本小题满分 14 分)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ⊥底面 ABC ,侧棱 AA1 与 底面 ABC 成 60 的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点, E 是线段 BC1
0

1 BC1 . 3 (Ⅰ)求证: GE //侧面 AA1 B1 B ; ?
上一点,且 BE ? (Ⅱ)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值.

第 64 题图

65.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ?

1 1 ? 2 ,( a ? R 且 a ? 0 )。 a a x

(1)设 mn ? 0 ,令 F ( x) ? af ( x) ,试判断函数 F (x) 在 [m, n] 上的单调性并证明你的结论; (2)若 0 ? m ? n 且 a ? 0时,f (x) 的定义域和值域都是 [m, n] ,求 n ? m 的最大值; (3)若不等式 | a f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

9

2014 届浙江省各地高考模拟数学文理原创题汇编参考答案
(2013.8~2013.10)
一、选择题 题号 1 答案 B 题号 11 答案 A 题号 21 答案 D 题号 31 答案 C 二、填空题
45. {0,1} 40. 46.两个点 53.

2 B 12 C 22 C 32 A

3 B 13 B 23 B 33 A

4 D 14 A 24 D 34 C

5 A 15 B 25 C 35 D

6 C 16 B 26 D 36 C

7 A 17 D 27 C 37 A

8 D 18 C 28 B 38 C

9 B 19 A 29 C 39 D

10 B 20 A 30 C

1 2

59. ? 0, 2 ? 60. ? 0,

54.9 55. ? 4 56. 或 57. 2 58. ?

17 47. [? ,??) 12
41. 48. 42. 43.18π 44. 100

? 3

2 3

3 4

? ? ?

3? ? 3 ? ?

49.1 50.1 51.2013 52.②③④

5 3 11

三、解答题
61.(Ⅰ)解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 . ? x ? (a ? 2) ? x x

依题意,方程 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根 m , n (其中 m ? n ).故

?(a ? 2) 2 ? 4 ? 0 ? a ? 0, ? ?a ? 2 ? 0
并且

m ? n ? a ? 2, mn ? 1 .

1 所以, f (m) ? f (n) ? ln mn ? (m2 ? n2 ) ? (a ? 2)(m ? n) 2 1 1 ? [(m ? n)2 ? 2mn] ? (a ? 2)(m ? n) ? ? (a ? 2)2 ? 1 ? ?3 2 2
故 f (m) ? f (n) 的取值范围是 (??, ?3) . (Ⅱ)解当 a ? ????7 分

e?

1 1 n ? 2 时, (a ? 2)2 ? e ? ? 2 .若设 t ? (t ? 1) ,则 e m e
(m ? n)2 1 1 ?t ? ?2?e? ?2. mn t e
10

(a ? 2)2 ? (m ? n)2 ?

于是有

1 1 1 t ? ? e ? ? (t ? e)(1 ? ) ? 0 ? t ? e t e te n 1 n 1 f (n) ? f (m) ? ln ? (n2 ? m2 ) ? (a ? 2)(n ? m) ? ln ? (n2 ? m2 ) ? (n ? m)(n ? m) m 2 m 2
? ln

n 1 2 n 1 n2 ? m2 n 1 n m ? (n ? m2 ) ? ln ? ( ) ? ln ? ( ? ) m 2 m 2 mn m 2 m n 1 1 ? ln t ? (t ? ) 2 t 1 1 1 1 1 (t ? 1)2 构造函数 g (t ) ? ln t ? (t ? ) (其中 t ? e ),则 g ?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ?0. t 2 t 2t 2 2 t e 1 所以 g (t ) 在 [e, ??) 上单调递减, g (t ) ? g (e) ? 1 ? ? . 2 2e e 1 故 f (n) ? f (m) 的最大值是 1 ? ? . ????15 分 2 2e 62.(本题满分 15 分)
解: (Ⅰ)令 f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ? ?( x ? a )( x ? 3a ) ,且 0<a<1
2 2

当 f ?( x) ? 0 时,得 a<x<3a;当 f ?( x) ? 0 时,得 x<a 或 x>3a ∴ f ( x) 的单调递增区间为(a,3a); f ( x) 的单调递减区间为 (??, a )和(3a, ??) ,故当 x=3a 时,

f ( x) 有极大值,其极大值为 f (3a ) ? 1
2

?????6 分
2 2 2

(II)∵ g ( x) ? f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ? ?( x ? 2a ) ? a

???7 分

g ( x) ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ?( x ? 3a )( x ? a )
①当 0<a ?

1 时, 1 ? a ? 2a ,∴ g ( x) 在区间 ?1 ? a,1 ? a ? 内单调递减 3
2

∴ ? g ( x) ?max ? g (1 ? a ) ? ?8a ? 6a ? 1 ,且 ? g ( x) ?min ? g (1 ? a ) ? 2a ? 1 ∵恒有 ? a ? g ( x) ? a 成立

∵?

??8a 2 ? 6a ? 1 ? a, ? 2a ? 1 ? ? a

又 0<a ?

1 ,此时, a ?? 3

?????10 分

11

63.解:(1)当 a ? 1, b ? 2 时, f ( x) ? x ? x ? 2 ,
3

f ?( x) ? 3x 2 ? 1 , f ?(1) ? 2
函数 f (x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程为 y ? 2 x (2)当 b ? 2 时, x 3 ? ax ? 2 ? 0

x3 ? 2 ? ax

a ? x2 ?

2 2 ,设 g ( x) ? x 2 ? x x

g ?( x) ? 2 x ?

2 2 x3 ? 2 ? x2 x2

? g ( x) 在 ? 0,1? 上递减,在在 ?1, ?? ? 上递增,

g ( x) min ? g (1) ? 3
?a?3
(3) f ?( x) ? 3 x ? a
2

①当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? 0, 2? 上递增,

f ( x) min ? f (0) ? b ? 0

?a ? b ? 0
②当 0 ? a ? 12 时, f ( x) 在 ? 0,

? ?

? a ? a? ? 上递减, ? , 2 ? 上递增, 3? ? 3 ?
12

f ( x) min ? f (

a 2a a )?? ?b ? 0 3 3 3 2a a a ? t (0 ? t ? 2) ,令 3 3 3

?a ? b ? a ?

设 h(t ) ? 3t 2 ? 2t 3 , h?(t ) ? 6t ? 6t 2

? h(t ) 在 ? 0,1? 上递增,在在 ?1, 2 ? 上递减,

h(t ) max ? h(1) ? 1
? a ? b 最大值是 1
③当 a ? 12 时, f ( x) 在 ? 0, 2? 上递减,

f ( x) min ? f (2) ? 8 ? 2a ? b ? 0

? a ? b ? ?4
综上所述, a ? b 的最大值是 1 64.解法 1:(1)延长 B1E 交 BC 于点 F,? ?B1 EC1 ∽△FEB,BE= 从而点 F 为 BC 的中点. ∵G 为△ABC 的重心,∴A、G、F 三点共线.且

1 1 1 EC1,∴BF= B1C1= BC, 2 2 2

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B. (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC.又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角,AA1=2,∴∠B1BH=60° ,BH=1,B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T,由三垂线定理有 B1T⊥AF, 又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF,∴∠B1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30° ,∴HT=AH sin 30? ?

FG FE 1 ? ? ,? GE // AB1 , FA FB1 3

3 BH .在 Rt△B1HT 中, tan ?B1TH ? 1 ? 2 3 , 2 HT 3
3

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 . 解法 2:(1)∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角,∴∠A1AB=60° , 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图, 则 A ? 0, ?1, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? ,C

B1 0, 2, 3 , C1

?

?

?

3,1, 3 .

?

?

3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 ,

?

?

?

uur 1 uuu r ∵G 为△ABC 的重心,∴ G ? 3 , 0, 0 ? . Q BE ? BC1 , ? ? ? 3 ? 3 ? ?
∴ E ? 3 ,1, 3 ? , ? ? ? 3 3 ?
? ?

13

uur ? uuu r ? ∴ CE ? ? 0,1, 3 ? ? 1 AB1 . ? ? 3 3 ? ?

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B.

? 3 uuu r 2 3 ?n ? B1 E ? 0, ? a ? b ? c ? 0, ? (2)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 ? uuu 得? 3 3 r ? ?n ? GE ? 0. ? ?b ? 3 c ? 0. ? 3 ?

可取 n ?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0, 0,1?

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

m?n 21 . ? | m |?| n | 7

由于 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 7 ,进而 tan ? ? 2 3 . 7 3 故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .
3

65.解:方法一: (1)证明:任取 x1 , x2 ? [m, n], 且x1 ? x2 , F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? gkstk.Com] 当 a>0 时, F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 0 ,F(x)在 [m, n] 上单调递增; 当 a<0 时, F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 0 ,F(x)在 [m, n] 上单调递减……………5 分 方法二: F(x)=af(x)=2a+1-

1 x2 ? x1 [来源: a x2 x1

1 1 1 ,则 F ' (x)= ax a x2

当 a>0 时, F ' (x) 0 ,F(x)在 [m, n] 上单调递增;[来源:学优] ? 当 a<0 时, F ' (x) 0 ,F(x)在 [m, n] 上单调递减……………………………5 分 ? (2)由(1)知函数 af(x) 在 [m, n] 上单调递增;因为 a>0 所以 f(x)在[m,n]上单调递增,f(x)的定义域、值 域都是[m,n],则 f(m)=m,f(n)=n,即 m,n 是方程 2 ?
2 2 2

1 1 ? 2 ? x 的两个不等的正根,等价于 a a x
2 2

方程 a x ? (2a ? a ) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根,等价于 ? ? (2a ? a ) ? 4a ? 0且

2a 2 ? a x1 ? x2 ? ?0 a2

且x1 x2 ?

1 1 1 ? 0 ,则 a ? , ? n ? m ? 4a 2 ? 4a ? 3 ? 2 a 2 a

1 2 16 4 3 1 3 ?3( ? ) 2 ? , a ? ( , ??), ? a ? 时, n ? m 最大值是 ………………………10 分 a 3 3 3 2 2
(3) a 2 f ( x) ? 2a 2 ? a ?

1 1 2 , 则不等式 | a f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立, ?2 x ? 2a 2 ? a ? ? 2 x 即不等 即 x x

14

? 2 a2 ? a?2 x ? 1 ? x 式 ? 2 a2 ? a? 1 ? 2 x ? x ?

,对 x ? 1 恒成立,

1 1 令 h(x)= 2 x ? x ,易证 h(x)在 [1, ??) 递增,同理 g ( x) ? ? 2 x [1, ??) 递减。

x

? h( x) min ? h(1) ? 3, g ( x) max ? g (1) ? ?1
??

?

2 a 2 ? a ?3 2 a 2 ? a ??1

??

3 ? a ? 1 …………………………………………………15 分 2

? 3 ? ? a ? 0,? a ? ? ? , 0 ? ? ? 0,1? 。 ? 2 ?

15


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