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金版教程2017高考数学文二轮复习第三编考前冲刺攻略第一步考前必看八大提分笔记二函数与导数3-1-2_图文

时间:2017-04-05

第三编 考前冲刺攻略
第一步 考前必看 八大提分笔记 二、函数与导数

1 函数是数集到数集的映射,作为一个映射,就必须满 足映射的条件,只能一对一或者多对一,不能一对多. 2 求函数的定义域,关键是依据含自变量 x 的代数式有 意义来列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根,被开方 数一定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应 列出所有的不等式,不应遗漏. 3 用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函 数的定义域问题.

4 分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的 式子来表示对应关系的函数,它是一个函数,而不是几个函 数. 5 判断函数的奇偶性, 要注意定义域必须关于原点对称, 有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影 响. 6 弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单 调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调 性,则其单调性恰恰相反.

(2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. “f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条 件. 7 求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号 “∪”和“或”连接, 可用“及”连接, 或用“, ”隔开. 单 调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.

8 函数图象的几种常见变换 (1)平移变换:左右平移——“左加右减”(注意是针对 x 而言);上下平移——“上加下减”. (2)翻折变换:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|). (3)对称变换: ①证明函数图象的对称性, 即证图象上任 意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上; ②函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对 称;

③函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于直线 x=0(y 轴)对 称;函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于直线 y=0(x 轴) 对称.

9 求函数最值(值域)常用的方法 (1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数. (2)图象法:适合于己知或易作出图象的函数. (3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数. (4)导数法:适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围). (6)分离常数法:适用于一次分式. (7)有界函数法:适用于含有指、对数函数或正、余弦函 数的式子.无论用什么方法求最值,都要考查“等号”是否 成立,特别是基本不等式法,并且要优先考虑定义域.

10 二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合. 二次函数在闭区 间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向, 二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式, 要考虑到二次项系数可能为零的情形.

11 有关函数周期的几种情况必须熟记:(1)f(x)=f(x+ 1 a)(a>0),则 f(x)的周期 T=a;(2)f(x+a)= (f(x)≠0)或 f(x f ?x ? +a)=-f(x),则 f(x)的周期 T=2a. 12(1)指数运算性质:aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r= arbr(a>0,b>0,r,s∈Q).

(2)对数运算性质 已知 a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0. 则 loga(MN)=logaM+logaN, M loga N =logaM-logaN, logaMn=nlogaM, logbN 对数换底公式:logaN= log a . b n 1 推论:logamN =mlogaN;logab=log a. b
n

(3)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑, 特别注意底数的取值对有关性质的影响,另外,指数函数 y =ax(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点(0,1),对数函数 y=logax 的图象恒过定点(1,0).

13 幂函数 y=xα(α∈R) (1)①若 α=1,则 y=x,图象是直线. ②当 α=0 时, y=x0=1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线. ③当 0<α<1 时,图象过(0,0)与(1,1)两点,在第一象限内 是上凸的. ④当 α>1 时,在第一象限内,图象是下凸的. (2)增减性:①当 α>0 时,在区间(0,+∞)上,函数 y =xα 是增函数;②当 α<0 时,在区间(0,+∞)上,函数 y =xα 是减函数.

14 函数与方程 (1)对于函数 y=f(x), 使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点.事实上,函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实 数根. (2)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲 线, 且有 f(a)f(b)<0, 那么函数 y=f(x)在区间[a, b]内有零点, 即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,此时这个 c 就是方程 f(x) =0 的根.反之不成立.

15 求导数的方法 (1)基本导数公式:c′=0(c 为常数);(xm)′=mxm-1(m ∈Q);(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(ex)′=ex;(ax)′ 1 1 =a ln a;(ln x)′=x;(logax)′=xln a(a>0 且 a≠1). (2)导数的四则运算:(u± v)′=u′± v′;
x ?u? u′v-uv′ ? ? (uv)′=u′v+uv′;?v?′= (v≠0). 2 v ? ?

(3)复合函数的导数:yx′=yu′· ux′. 如求 f(ax+b)的导数,令 u=ax+b,则 (f(ax+b))′=f′(u)· a.

16 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数是曲线 y=f(x)在 P(x0,f(x0))处的切线的斜 率 f′(x0),相应的切线方程是 y-y0=f′(x0)· (x-x0). 注意:过某点的切线不一定只有一条. 17 利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在某个 区间内可导,如果 f′(x)>0,那么 f(x)在该区间内为增函数; 如果 f′(x)<0,那么 f(x)在该区间内为减函数;如果在某个 区间内恒有 f′(x)=0,那么 f(x)在该区间内为常函数. 注意:如果已知 f(x)为减函数求字母取值范围,那么不 等式 f′(x)≤0 恒成立, 但要验证 f′(x)是否恒等于 0.增函数 亦如此.

18 导数为零的点并不一定是极值点, 如: 函数 f(x)=x3, 有 f′(0)=0,但 x=0 不是极值点.

函数概念不清致误
2 x 2 已知函数 f( x -3)=lg 2 , 求 f(x)的定义域. 例1 x -4 2 x [正解] 由 f(x2-3)=lg 2 ,设 x2-3=t,则 x2=t x -4

t+3 +3,因此 f(t)=lg . t-1 x2 ∵ 2 >0,即 x2>4,∴t+3>4,即 t>1. x -4 ∴f(x)的定义域为{x|x>1}.

x2 [错解] 由 2 >0,得 x>2 或 x<-2. x -4 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x>2 或 x<-2}. x2 [错因分析] 错把 lg 2 的定义域当成了 f(x)的定义 x -4 域.

[防范措施] 失分的原因是将 f(x2-3)的定义域与 f(x)的
2 x 定义域等同起来了.事实上,f(x2-3)=lg 2 与 f(x)是两个 x -4

不同的函数,它们有不同的法则和定义域,造成错误的原因 在于未弄清函数的概念.求函数定义域,首先应弄清函数的 特征或解析式,可避免出错.

补救训练 1

[2016· 河南郑州一模]若函数 y=f(x)的定义

f?2 x ? [0,1) . 域为[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是________ x-1

解析 ∵0≤2x≤2,∴0≤x≤1,又 x-1≠0,即 x≠1, ∴0≤x<1,即函数 g(x)的定义域是[0,1).

分段函数的意义理解不准确致误 例2
2 ? ax ? +1,x≥0, 函数 f(x)=? 2 在(-∞,+∞) ax ? ??a -1?e ,x>0

(-∞,- 2]∪(1, 2] . 上单调,则 a 的取值范围是_____________________

[正解] 若函数在 R 上单调递减,则有
?a<0, ? 2 ?a -1>0, ? 2 0 ? a - 1 ? e ≥1, ?

解之得 a≤- 2;若函数在 R 上单调递增,则有
?a>0, ? 2 ?a -1>0, ? 2 0 ? a - 1 ? e ≤1, ?

解得 1<a≤ 2,

故 a 的取值范围是(-∞,- 2 ]∪(1, 2].

[错解 1]

? ?a<0, 若 f(x)在 R 上单调递减,则有? 2 ? ?a -1>0,

? ?a>0, 解得 a<-1;若 f(x)在 R 上单调递增, 则有? 2 ? ?a -1>0,

解得 a>1. [错解 2]
?a<0, ? 2 ∵f(x)在 R 上单调,所以有?a -1>0, ? 2 0 ? a - 1 ? e ≥1, ?

解得 a≤- 2.

[错解 3] ∵f(x)在 R 上单调,
?a>0, ? 2 所以有?a -1>0, ? 2 0 ??a -1?e ≤1,

解得 1<a≤ 2.

[错因分析] 对分段函数的意义理解不准确或情况考虑 不全致误.

[防范措施] 上述错解 1 是对分段函数在 R 上单调的限 制条件不全而造成失分;错解 2、3 简单的认为单调只是增 或减,没有进行分情况讨论.对此类问题的求解一定要考虑 周全.

补救训练 2
? 1 ? ?x 3 ,x≥8, ? x-8 ?2e ,x<8,

[2016· 陕西高三质检]设函数 f(x)= 则使得 f(x)≤3 成立的 x 的取值范围是

(-∞,27] . ___________

解析 当 x≥8 时,x ≤3,∴x≤27,即 8≤x≤27;当 x<8 时,2e
x-8

1 3

≤3 恒成立,故 x<8.综上,x∈(-∞,27].

忽视函数的定义域致误 例3
(________ -∞,2) .

函数 y=log1 (x2-5x+6)的单调递增区间为
2

[正解] 由 x2-5x+6>0 知{x|x>3 或 x<2}.令 u=x2- 5x+6, 则 u=x2-5x+6 在(-∞, 2)上是减函数, ∴y=log1
2

(x2-5x+6)的单调增区间为(-∞,2).

[错解]

? 5? ? ? - ∞ , ? 2? ? ?

[错因分析] 忽略了 x2-5x+6>0,即函数的定义域. [防范措施] 本题失分的原因就在于忽略了函数的定义 域这一隐含条件.在研究函数问题时,不论什么情况,首先 研究函数的定义域,这是研究函数的一条最基本原则.

补救训练 3

[2016· 辽宁沈阳质检]已知偶函数 f(x)在区
?1 ? ? f(2x-1)<f? ? ?的 ?3?

间[0,+∞)上单调递增,则满足 围是( )
?1 2? ? B.?3,3? ? ? ? ?1 ? 2 ? D.? ? , ? 3? ?2

x 的取值范

?1 2? ? A.?3,3? ? ? ? ?1 ? 2 ? C.? ? , ? 3? ?2

解析 ∵f(x)是偶函数,∴其图象关于 y 轴对称,又 f(x) 在[0,+∞]上单调递增,
?1? 1 1 2 ? ? ∴f(2x-1)<f?3??|2x-1|<3?3<x<3.故选 ? ?

A.

混淆“过点”和“切点”致误
3 求过曲线 y = x -2x 上的点(1,-1)的切线方程. 例4

[正解] 设 P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为 y′
? ? ?x=x0 ?

2 =3x0 -2.

2 ∴切线方程为 y-y0=(3x0 -2)(x-x0), 2 即 y-(x3 - 2 x ) = (3 x 0 0 0-2)(x-x0). 又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得 3 -1-(x0 -2x0)=(3x2 0-2)(1-x0),

整理,得(x0-1)2(2x0+1)=0, 1 解得 x0=1 或 x0=-2. 故所求切线方程为 y-(1-2)=(3-2)(x-1), 或
? ?3 ?? 1 ? 1? ? ? ? ?? y-?-8+1?=?4-2??x+2? ?, ? ? ? ?? ?

即 x-y-2=0,或 5x+4y-1=0.

[错解] ∵y′=3x2-2,∴k=y′|x=1=3×12-2=1. ∴切线方程为:y+1=x-1 即 x-y-2=0. [错因分析] 错把(1,-1)当切点.

[防范措施] 过曲线上的点?1, -1?的切线与曲线的切点 可能是?1,-1?,也可能不是?1,-1?.本题错误的根本原因 就是把?1,-1?当成了切点.解决这类题目时,一定要注意区 分“过点 A 的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”的不同. 虽只有一字之差, 意义完全不同, “在”说明这点就是切点, “过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点.

补救训练 4 已知函数 f(x)=aln x-2ax+b, 函数 y=f(x) 的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 y=2x+1,则 a+b 的 -3 值是________ .

a 解析 因为 f′(x)=x-2a,函数 y=f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线的斜率为 2,所以 f′(1)=-a=2,所以 a= -2,f(x)=-2ln x+4x+b,由切线方程可得 f(1)=3,所以 f(1)=4+b=3,可得 b=-1.所以 a+b=-3.

极值的概念不清致误 例5 已知 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为
-7 10,则 a+b=________. [正解] f′(x)=3x2+2ax+b,由 x=1 时,函数取得极

值 10,
? ?f′?1?=3+2a+b=0, 得? 2 ? f ? 1 ? = 1 + a + b + a =10, ?

① ②

? ? ?a=4, ?a=-3, 联立①②得? 或? ? ? ?b=-11 ?b=3.

当 a=4,b=-11 时,f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x -1)在 x=1 两侧的符号相反,符合题意. 当 a=-3,b=3 时,f′(x)=3(x-1)2 在 x=1 两侧的符 号相同,所以 a=-3,b=3 不符合题意,舍去. 综上可知 a=4,b=-11,∴a+b=-7.

[错解] 由已知 f′(x)=3x2+2ax+b,则
2 ? f ? 1 ? = 1 + a + b + a =10, ? ? 解得 a=4,b=-11 或 a= ? ?f′?1?=3+2a+b=0,

-3,b=3, 故 a+b=-7 或 a+b=0. [错因分析] x=1 是 f(x)的极值点?f′(1)=0; 忽视了“f′(1)=0? / x=1 是 f(x)的极值点”的情况.

[防范措施] “函数 y=f?x?在 x=x0 处的导数值为 0”是 “函数 y=f?x?在点 x=x0 处取极值”的必要条件,而非充分 条件,但解题中却把“可导函数 f?x?在 x=x0 处取极值”的 必要条件误作充要条件. 对于可导函数 f?x?:x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧 导数异号,即 f′?x?在方程 f′?x?=0 的根 x0 的左右的符号: “左正右负”?f?x?在 x0 处取极大值;“左负右正”?f?x? 在 x0 处取极小值,而不仅是 f′?x0?=0.f′?x0?=0 是 x0 为极 值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大?小?值的条件, 一定要既考虑 f′?x0?=0,又考虑检验“左正右负”?“左负 右正”?的转化,否则易产生增根.

补救训练 5

[2016· 兰州质检]函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a

+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是
(-∞,-1)∪(2,+∞) . ________________________

解析 f′(x)=3x2+6ax+3(a+2), 因为 f(x)既有极大值 又有极小值,所以 Δ>0,即 36a2-4×3×3(a+2)>0,解得 a>2 或 a<-1.即 a 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).

函数零点求解讨论不全致误 例6 函数 f(x)=mx2-2x+1 有且仅有一个正实数零 ) B.(-∞,0]∪{1}

点,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,1] C.(-∞,0)∪{1}

D.(-∞,1) 1 [正解] 当 m=0 时,x=2为函数的零点;当 m≠0 时, 若 Δ=0,即 m=1 时,x=1 是函数唯一的零点,若 Δ≠0, 显然 x=0 不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数 零点等价于方程 f(x)=mx2-2x+1=0 有一个正根一个负 根,即 mf(0)<0,即 m<0.故选 B.

1 [错解] 若 Δ=0,解得 m=1;若 Δ>0,则 x1· x2=m<0, 解得 m<0,故选 C. [错因分析] 没有对 m 是否为零进行讨论. [防范措施] 解决此类问题的关键是对参数的讨论要全 面,对函数零点的定理使用要正确,如本题错解中忽略了对 m=0 的讨论.

补救训练 6 [2016· 东三省联考]已知在区间[-4,4]上 f(x) ? 4 ?log2?x+5?+ ?x+1?,-4≤x≤-1, 1 2 3 ? = g(x)=-8x -x+ ? ?2|x-1|-2,-1<x≤4, 2(-4≤x≤4),给出下列四个命题: ①函数 y=f[g(x)]有三个零点; ②函数 y=g[f(x)]有三个零点; ③函数 y=f[f(x)]有六个零点; ④函数 y=g[g(x)]有且只有一个零点. 其中正确命题的个数是( ) A.1 C.3 B.2 D.4

解析 如图,画出 f(x),g(x)的草图.

①设 t=g(x),则由 f[g(x)]=0,得 f(t)=0,则 t=g(x)有 三个不同值,由于 y=g(x)是减函数,所以 f[g(x)]=0 有 3 个 解,所以①正确;

②设 m=f(x), 若 g[f(x)]=0, 即 g(m)=0, 则 m=x0∈(1,2), 所以 f(x)=x0∈(1,2),由图象知对应 f(x)=x0∈(1,2)的解有 3 个,所以②正确; ③设 n=f(x),若 f[f(x)]=0,即 f(n)=0,n=x1∈(-3, -2)或 n=0 或 n=x2=2,而 f(x)=x1∈(-3,-2)有 1 个解, f(x)=0 对应有 3 个解, f(x)=x2=2 对应有 2 个解, 所以 f[f(x)] =0 共有 6 个解,所以③正确; ④设 s=g(x),若 g[g(x)]=0,即 g(s)=0,所以 s=x3∈ (1,2),则 g(x)=x3,因为 y=g(x)是减函数,所以方程 g(x)= x3 只有 1 个解,所以④正确.

导数与单调性的关系理解不准致误
3 2 函数 f ( x ) = ax - x +x-5 在 R 上是增函数, 则a 例7 1 a≥3 . 的取值范围是________

[正解] f(x)=ax3-x2+x-5 的导数 f′(x)=3ax2-2x+
? ?a>0, 1 ? 1,由 f′(x)≥0,得 解得 a≥3. ? ?Δ=4-12a≤0,

[错解] 由 f(x)=ax3-x2+x-5 得 f′(x)=3ax2-2x+1,
? ?a>0, 1 ? 由 f′(x)>0,得 解得 a>3. ? ?Δ<0,

[错因分析] f(x)在 R 上是增函数等价于 f′(x)≥0 在 R 上恒成立.漏掉了 f′(x)=0 的情况.

[防范措施] f′?x?>0?<0??x∈?a,b??是 f?x?在?a,b?上单 调递增?递减?的充分不必要条件.实际上,对可导函数 f?x?而 言,f?x?在?a,b?上为单调增?减?函数的充要条件为:对于任 意 x∈?a,b?,有 f′?x?≥0?≤0?且 f′?x?在?a,b?的任何子区 间上都不恒为零.在解题时,若求单调区间,一般用充分条 件即可.若由单调性求参数,一般用充要条件即 f′?x?≥0?或 f′?x?≤0?,否则容易漏解.

?1 ? 1 2 ? ? , 2 补救训练7 已知函数f(x)=2x +2ax-ln x在区间?3 ? ? ?

上是增函数,则实数a的取值范围为(
? 4? ? A.?-∞,3? ? ? ? ?4 ? ? ? , 2 C.?3 ? ? ? ?1 4? ? B.?3,3? ? ? ? ?4 ? ? ? ,+∞ D.?3 ? ? ?

)

解析

?1 ? ? 因为函数 f(x)在区间?3,2? 所以 f′(x) ?上是增函数, ? ?

?1 ? ? 1 1 ? ? ? ?1 =x+2a-x ≥0 在?3,2?上恒成立, 即 2a≥-x+x在?3,2? ?上 ? ? ? ? ? ? 1? 1 ? ?1 ? ? 恒成立, 易知 y=-x+x在?3,2?上单调递减, 所以?-x+x? ?max ? ? ? ?

8 8 4 =3,所以 2a≥3,解得 a≥3.选 D.


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