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2012年广州一模理科数学试题以及解答(Word精美版)

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试卷类型:A

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2012.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ? 方差 s ?
2

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

2 2 2 1? x ? x ? ? ? xn x1 ? x ? x2 ? x ? ??? ? xn ? x ? ,其中 x ? 1 2 . ? ? ? n? n

?

? ?

?

?

?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. ?2 B. ?1 C.0 D.2

2.已知全集 U ? R ,函数 y ? 集合 ? A ? B ? U A. ? ?2, ?1?

1 的定义域为集合 A ,函数 y ? log 2 ? x ? 2? 的定义域为集合 B ,则 x ?1

?

?

B. ? ?2, ?1?

C. ? ??, ?2 ?

D. ? ?1, ?? ?

3.如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A.3

? ?

?? ? ? ?? ? 0 ? 的相邻两个零点之间的距离为 ,则 ? 的值为 6? 12
C.12
2 2 2

B.6

D.24
2

4.已知点 P ? a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O : x ? y ? r 内一点,直线 l 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ,那么直 线 l 与圆 O 的位置关系是 A.相离 B.相切
数学(理科)试题 A

C.相交
第 1 页 共 4 页

D.不确定

5.已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ,对于任意正数 a , x1 ? x2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a 成立的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知两个非零向量 a 与 b , 定义 a ? b ? a b sin ? , 其中 ? 为 a 与 b 的夹角. a = ? ?3, 4 ? , b = ? 0, 2 ? , 若 则 a ? b 的值为 A. ?8 B. ?6
?

C.8

D.6

7.在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为钝角三角形的 概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

8.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的 坐标 ? x, y , z ? ,若 x ? y ? z 是 3 的倍数,则满足条件的点的个数为 A.252 B.216 C.72 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 2 9.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为 . D.42 2

2

2

10.已知 2≤

?

2

1

? kx ? 1?dx≤4 ,则实数 k 的取值范围为

2 . 正(主)视图

2 侧(左)视图

11.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2

?

?

m2 ?6

在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增, 2

则实数 m 的值为



12.已知集合 A ? x 1≤x≤2 , B ? x x ? a ≤1 ,若 A I B ? A ,

?

?

?

?

2

图1 俯视图 则实数 a 的取值范围为 . 13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,?, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个五角形数记作

a3 ? 12 , 第4个五角形数记作 a4 ? 22 , ??, 若按此规律继续下去, a5 ? 则

, an ? 145 , n ? 若 则



1

5

12 图2

22

数学(理科)试题 A

第 2 页 共 4 页

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为 5 cm ,点 P 是弦 AB 的中点,

B C A O P D

CP 1 ? ,则 CD 的长为 OP ? 3 cm ,弦 CD 过点 P ,且 CD 3

cm .

15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的 参数方程分别为 l : ?

? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, ( s 为参数)和 C : ? ( t 为参数) , 2 ? y ? 1? s ?y ? t


图3

若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 AB ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? tan ? 3 x ?

? ?

?? ?. 4?

(1)求 f ?

??? ? 的值; ?9? ? ? 3? ? ? ,若 2 ? ?? ?? ?? ? f ? ? ? ? 2 ,求 cos ? ? ? ? 的值. 4? ? 3 4? ?

(2)设 ? ? ? ?,

17. (本小题满分12分) 如图 4 所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中 甲组 乙组 的数学成绩.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示. 9 7 8 7 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同. (1)求 a 的值; 6 6 9 a 3 (2)求乙组四名同学数学成绩的方差; 图4 (3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,记这两名同学数学 成绩之差的绝对值为 X ,求随机变量 X 的分布列和均值(数学期望) . (温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明. ) 18. (本小题满分14分) 如图 5 所示, 在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ?

5

6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,PD ? AC 于点 D ,

AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 .
(1)证明△ PBC 为直角三角形; (2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

A

D B
图5

C

数学(理科)试题 A

第 3 页 共 4 页

19. (本小题满分 14 分) 等比数列 ? an ? 的各项均为正数, 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,且 a3 ? 2a2 .
2

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2n ? 5 a ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

20. (本小题满分14分) 已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1 的左,右两个顶点分别为 A 、 B .曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点,离心率为 5 4

的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 P 、 T 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,证明: x1 ? x2 ? 1 ; (3)设 ?TAB 与 ?POB (其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S1 与 S 2 ,且 PAgPB≤15 ,求 S1 ? S 2
2

uur uur

2

的取值范围.

21. (本小题满分14分) 设函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数), g n ( x) ? 1 ? x ?
x

x 2 x3 xn * ? ?L ? ( n ?N ) . 2! 3! n!

(1)证明: f ( x) ≥g1 ( x ) ; (2)当 x ? 0 时,比较 f ( x) 与 g n ( x) 的大小,并说明理由;

?2? ? 2? ? 2? ? 2 ? * (3)证明: 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? . ? ≤g n ?1? ? e ( n ?N ) 2? ? 3? ? 4? n ?1? ? ?

1

2

3

n

数学(理科)试题 A

第 4 页 共 4 页

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2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标 准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其 中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题仅填对 1 个,则给 3 分. 9.

4 3 3

10.? , 2 ? 3

?2 ?

? ?

11. 3

12.?1, 2 ?

13. 10 35,

14.6 2

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识,考 查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解: f ? 分

??? ?? ?? ? ? tan ? ? ? ?????????????????????????????1 ?3 4? ?9?

? ? ? tan 3 4 ???????????????????????????? ? ? ? 1 ? tan tan 3 4 tan
3分

?
?4 分 (

3 ?1 ? ?2 ? 3 .?????????????????????????? 1? 3
) 解
·5·

2







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3? ? ? ?? ?? ? f ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ????????????????????????5 分 4 4? ? 3 4? ?
? tan ?? ? ? ? ?????????????????????????
?6 分 ?????????????????????????? ? tan ? ? 2 . 7分 所以

sin ? ? 2 ,即 sin ? ? 2cos ? . cos ?
2 2

① ②

因为 sin ? ? cos ? ? 1 , 由①、 ②解得 cos ? ?
2

1 . ?????????????????????????????? 5

9分 因为 ? ? ? ?, 10 分 所以 cos ? ? ? 11 分

? ?

5 2 5 3? ? , sin ? ? ? .???????????????? ? ,所以 cos ? ? ? 2 ? 5 5

? ?

? ? ?? ? ? cos ? cos ? sin? sin ????????????????????? 4? 4 4
5 2 ? 2 5? 2 3 10 ? ??? ?? ? ? 2 ? ? 10 .?????????????? 5 2 ? 5 ?

??
12 分

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值(数学期望)等知识,考查或然与必然的 数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解: 依题意, 得 1分 解 得 a ? 3 .?????????????????????????????????????2 分 (2) 根据已知条件, 解: 可以求得两组同学数学成绩的平均分都为 x ? 92 .???????????3 分 所以乙组四名同学数学成绩的方差为

1 1 ??????????? ? (87 ? 89 ? 96 ? 96) ? ? (87 ? 90 ? a ? 93 ? 95) , 4 4

·6·

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s2 ?

1? 2 2 2 2 ?87 ? 92? ? ? 93 ? 92? ? ? 93 ? 92? ? ? 95 ? 92? ? ? 9 . ? 4?
??????????

?5 分 (3)解:分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,共有 4 ? 4 ? 16 种可能的结果.????? 6分 这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有情况如下表:
X 乙 甲

87 0 6 6 8

89 2 4 4 6

96 9 3 3 1

96 9 3 3 1

87 93 93 95

所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,6,8,9.??????????????????? 8分

1 2 1 4 , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , 16 16 16 16 2 3 1 2 P( X ? 4) ? , P( X ? 6) ? , P( X ? 8) ? , P( X ? 9) ? . 16 16 16 16 所以随机变量 X 的分布列为:
由表可得 P( X ? 0) ?

X
P
随机变量 X 的数学期望为

0

1

2

3

4

6

8

9

1 16

2 16

1 16

4 16

2 16

3 16

1 16

2 16

????????10 分

EX ? 0 ?
11 分

1 2 1 4 2 3 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ?8 ? ? 9 ? ?????????? 16 16 16 16 16 16 16 16

?

68 17 ? .?????????????????????????????????? 16 4

12 分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明 1:因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC ,

PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC . ???????????????????????????????
1分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中, AB ? BC ,所以 BE ? AC . 因为 AB ? BC ?
2 2 6 ,AC ? 4 , 所以 BE ? BC ? CE ?

? 6?

2

? 22 ? 2 . ??????

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3分 因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 3 , CD ? 3 , 所以 PC ?

P

PD2 ? CD2 ?

? 3?

2

? 32 ? 2 3 .???4 分
2 , DE ? 1 ,

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 BE ? 所以 BD ?

A

E D B
C

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .????5 分

因为 PD ? 平面 ABC , BD ? 平面 ABC ,所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 PD ? 3 , BD ? 3 , 所 以

PB ? PD2 ? BD2 ?

? 3? ? ? 3?
2
2

2

? 6 .???????????????????6 分
6 , PC ? 2 3 ,

在 ?PBC 中,因为 BC ? 6 , PB ? 所以 BC ? PB ? PC .
2 2

所 以 为 直 角 三 角 ?PBC 形.??????????????????????????????7 分 证明 2:因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC I 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC ,

PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC . ???????????????????????????????
1分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC ,所以 BE ? AC . 因为 AB ? BC ? 3分 连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ?
o

2 2 6 ,AC ? 4 , 所以 BE ? BC ? CE ?

? ?
6

2

?????? ? 22 ? 2 .

2 , DE ? 1 ,




B ?

2

? 2?
2 2

2

.?????????????????????4分 D

?

在△ BCD 中,因为 CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 , 所以 BC ? BD ? CD , 所以 BC ? BD . ???????????????????????
2

5分 因为 PD ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD . ??????????????????????????????????
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6分 因为 BD ? PD ? D ,所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . 所 以 为 直 角 ?PBC 形.??????????????????????????????7分 (2)解法1:过点 A 作平面 PBC 的垂线,垂足为 H ,连 PH , 则 为 直 线 与 平 面 ?APH AP 角.??????????????????????8 分 由(1)知,△ ABC 的面积 S?ABC ? 9分 因为 PD ? 3 ,所以 VP ? ABC ? 10 分 由(1)知 ?PBC 为直角三角形, BC ? 6 , PB ? 所以△ PBC 的面积 S?PBC ? 11 分 因为三棱锥 A ? PBC 与三棱锥 P ? ABC 的体积相等,即 VA? PBC ? VP ? ABC , 即 ? 3 ? AH ? 12 分 在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 , 所以 AP ? 13 分 三 角

PBC







1 ? AC ? BE ? 2 2 .???????????????? 2

1 2 6 1 .?????????? ? S?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 3 ? 3 3 3

6,

1 1 ? BC ? PB ? ? 6 ? 6 ? 3 .?????????????? 2 2

1 3

2 6 2 6 , 所以 AH ? . ??????????????????????? 3 3

PD2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 .?????????????????????

AH ? 因为 sin ?APH ? AP

2 6 3 ? 6. 2 3
6 .??????????????????? 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

14 分 解法 2:过点 D 作 DM∥AP ,设 DM ? PC ? M , 则 DM 与平面 PBC 所成的角等于 AP 与平面 PBC 所成的角. ??????????????
·9·

P

M

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8分 由(1)知 BC ? PD , BC ? PB ,且 PD ? PB ? P , 所以 BC ? 平面 PBD . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PBD . 过点 D 作 DN ? PB 于点 N ,连接 MN , 则 DN ? 平面 PBC . 所以 ?DMN 为直线 DM 与平面 PBC 所成的角.??10 分 在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 , 所以 AP ?

PD2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 .?????????????????????

11 分因为 DM∥AP ,所以

DM CD DM 3 ,即 ? ? ,所以 AP CA 2 4

DM ?

3 .????????????12 分 2
6 ,且 PD ? 3 ,

由(1)知 BD ? 3 , PB ? 所以 DN ? 13 分

PD ? BD 3? 3 6 ? ? .??????????????????????? PB 2 6

6 DN 6 因为 sin ?DMN ? , ? 2 ? 3 DE 3 2
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .??????????????????? 3

14 分 解法 3:延长 CB 至点 G ,使得 BG ? BC ,连接 AG 、 PG ,?????????????? 8分 P 在△ PCG 中, PB ? BG ? BC ?
o

6,

所以 ?CPG ? 90 ,即 CP ? PG . 在△ PAC 中,因为 PC ? 2 3 , PA ? 2 , AC ? 4 , 所以 PA ? PC ? AC ,
2 2 2

K A E D B
G
·10·

C

所以 CP ? PA . 因为 PA I PG ? P ,

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所以 CP ? 平面 PAG .??????????????????????????????? 9分 过点 A 作 AK ? PG 于点 K , 因为 AK ? 平面 PAG , 所以 CP ? AK . 因为 PG I CP ? P , 所以 AK ? 平面 PCG . 所以 ?APK 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角.???????????????????? 11 分 由(1)知, BC ? PB , 所以 PG ? PC ? 2 3 . 在△ CAG 中,点 E 、 B 分别为边 CA 、 CG 的中点, 所以 AG ? 2 BE ? 2 2 .?????????????????????????????? 12 分 在△ PAG 中, PA ? 2 , AG ? 2 2 , PG ? 2 3 , 所以 PA ? AG ? PG ,即 PA ? AG .???????????????????????
2 2 2

13 分 因为 sin ?APK ?

AG 2 2 6 ? ? . PG 2 3 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 14 分

6 .??????????????????? 3

解法 4:以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直角坐 标系 ????????????????????????????????????? E ? xyz , 8分 则 A ? 0, ?2, 0 ? , B 于是 AP ? 0,1,

??? ?

?

? 2, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0? , P ? 0, ?1, 3 ? . ??? ? ??? ? 3 ? , PB ? ? 2,1, ? 3 ? , PC ? ? 0,3, ? 3 ? .
A
·11·

P

z

设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

E D B

C y

x

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 则 ? ??? ? ?n ? PC ? 0. ?
即?

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? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ?3 y ? 3z ? 0. ?

取 y ? 1,则 z ? 3 , x ? 2 . 所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?

?

2,1, 3 .????????????????????

?

12分 设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? . ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .??????????????????? 3

14 分 若第(1)(2)问都用向量法求解,给分如下: 、 (1)以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直角坐标 系 ????????????????????????????????????? E ? xyz , z P 1分 则B

?

2, 0, 0 , C ? 0, 2, 0 ? , P 0, ?1, 3 .

?

?

?

于是 BP ? ? 2, ?1, 3 , BC ? ? 2, 2, 0 .

??? ?

?

?

??? ?

?

?

??? ??? ? ? 因为 BP ?BC ? ? 2, ?1, 3 ? ? 2, 2, 0 ? 0 ,

?

??

?

A

E D B

C y

所以 BP ? BC . 所以 BP ? BC . 所 以 为 直 角 ?PBC 形.??????????????????????????????7分 (2)由(1)可得, A ? 0, ?2, 0 ? . 于是 AP ? 0,1, 3 , PB ? 三 角

??? ?

??? ?

x

??? ?

?

?

??? ?

?

??? ? 2,1, ? 3 , PC ? 0,3, ? 3 .

?

?

?

·12·

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设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ? 则 ? ??? 即? ? ?n ? PC ? 0. ?3 y ? 3z ? 0. ? ?
取 y ? 1,则 z ? 3 , x ? 2 . 所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?

?

2,1, 3 .????????????????????

?

12分 设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? . ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .??????????????????? 3

14 分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:设等比数列 ? an ? 的公比为 q ,依题意,有

2a4 ? 4a5 ? , ? a3 ? 2 ? ? a ? 2a 2 . 2 ? 3
? a3 ? a4 ? 2a5 , ? ??????????????????????????2 分 ? 2 ? a3 ? 2a2 . ?





3 1 2

? a1q 2 ? a q ? 2a q , ? ??????????????????????????????3 分 ? 2 ? a1q ? 2a1 q . ?

1 ? ? a1 ? 2 , ? a1 ? 1 , ? ? 由于 a1 ? 0 ,q ? 0 ,解之得 ? 或? 2 ???????????????????? ? q ? 1 . ? q ? ?1. ? ? ? 2
5分
·13·

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又 a1 ? 0, q ? 0 , 所以 a1 ? 6分

1 1 , q ? ,????????????????????????? 2 2
n

?1? * 所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ? ? ( n ?N ) .??????????????????? 2? ?
7分 (2)解:由(1) bn ? ,得 8分 所以 bn ? ?

2n ? 5 2n ? 5 1 ? an ? ? n .???????????? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2

1 ? 1 ? 2 ? ?? n ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? 2

?
10 分

1 1 .????????????????????????? ? n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n

所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn

? ? 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? 1 ?? ? ? ?L ? ? ? ??? 2 ? n ?1 n ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3 5?2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2

?

1 1 ? . 3 ? 2n ? 3 ? 2 n
1 1 ? .????????????????????? 3 ? 2n ? 3 ? 2 n

故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?

14 分 20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形 结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:依题意可得 A(?1, 0) , B(1,0) .????????????????????????? 1分 设双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ?b ? 0? , b2
1 ? b2 ? 5 ,即 b ? 2 . 1
·14·

因为双曲线的离心率为 5 ,所以

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线

C









x2 ?

y2 ? 1 .??????????????????????????3 分 4

(2)证法 1:设点 P( x1 , y1 ) 、T ( x2 , y2 )( xi ? 0 , yi ? 0 ,i ? 1, 2 ) ,直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0 ) , 则 直 线

AP









y ? k ( x ? 1) ,???????????????????????????4 分
联 立 方 程 组

? y ? k ? x ? 1? , ? ??????????????????????????????5 分 ? 2 y2 ? 1. ?x ? ? 4
整理,得 4 ? k

?

2

?x

2

? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ,





x ? ?1



x?

4 ? k2 4 ? k2







4 ? k2 x2 ? .??????????????????????6 分 4 ? k2
同理可得,x1 ? 7分 所 以

4 ? k2 . ??????????????????????????????? 4 ? k2

x1 ? x2 ? 1 .???????????????????????????????????8 分

证法 2:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 k AP ? 4分 因为 k AP ? k AT , 所以 5分

y1 y2 ,k AT ? . ???????????????????????????? x1 ? 1 x2 ? 1

y12 y2 2 y1 y ? ? 2 , 即 . ?????????????? 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1? ? x2 ? 1?

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因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x1 ?
2

y12 y2 ? 1 , x2 2 ? 2 ? 1 . 4 4

即 y1 ? 4 x1 ? 1 ,y2 ? 4 1 ? x2
2 2 2

?

?

?

2

????????????????????????? ?.

6分 所以 7分 所 以

4 ? x12 ? 1?

? x1 ? 1?

2

?

4 ?1 ? x2 2 ?

? x2 ? 1?

2

,即

x1 ? 1 1 ? x2 .???????????????????? ? x1 ? 1 x2 ? 1

x1 ? x2 ? 1 .???????????????????????????????????8 分
证法 3: 设点 P( x1 , y1 ) , 直线 AP 的方程为 y ? 4分 联 立 方 程 组

y1 ??????????????? ( x ? 1) , x1 ? 1

y1 ? ? y ? x ? 1 ? x ? 1? , ? 1 ????????????????????????????5 分 ? y2 ? x2 ? ? 1. ? ? 4
整理,得 ? 4( x1 ? 1) ? y1 ? x ? 2 y1 x ? y1 ? 4( x1 ? 1) ? 0 , ? ?
2 2 2 2 2 2

4( x1 ? 1) 2 ? y12 解得 x ? ?1 或 x ? .?????????????????????????6 4( x1 ? 1) 2 ? y12
分 将 y1 ? 4 x1 ? 4 代入 x ?
2 2

4( x1 ? 1) 2 ? y12 1 1 ,得 x ? ,即 x2 ? . 2 2 4( x1 ? 1) ? y1 x1 x1

所以 x1 ? x2 ? 1 . ??????????????????????????????????8 分 (3)解:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 PA ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , PB ? ?1 ? x1 , ? y1 ? .
2 2 因为 PA ? PB ? 15 ,所以 ? ?1 ? x1 ??1 ? x1 ? ? y1 ? 15 ,即 x1 ? y1 ? 16 .??????????
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

9分
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因为点 P 在双曲线上,则 x1 ?
2

y12 ? 1 ,所以 x12 ? 4 x12 ? 4 ? 16 ,即 x12 ? 4 . 4

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 ? x1 ? 2 .???????????????? 10 分

1 1 1 | AB || y2 |?| y2 | , S2 ? | OB || y1 |? | y1 | , 2 2 2 1 所以 S12 ? S2 2 ? y2 2 ? y12 ? ? 4 ? 4 x2 2 ? ? ? x12 ? 1? ? 5 ? x12 ? 4 x2 2 . ???????????11 4
因为 S1 ? 分 由(2)知, x1 ? x2 ? 1 ,即 x2 ? 设 t ? x1 ,则 1 ? t ? 4 ,
2

1 . x1

S12 ? S2 2 ? 5 ? t ?
设 f ?t ? ? 5 ? t ?

4 . t

4 ? 2 ? t ?? 2 ? t ? 4 ,则 f ? ? t ? ? ?1 ? 2 ? , t t2 t

当 1 ? t ? 2 时, f ? ? t ? ? 0 ,当 2 ? t ? 4 时, f ? ? t ? ? 0 , 所以函数 f ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增,在 ? 2, 4 ? 上单调递减. 因为 f ? 2 ? ? 1 , f ?1? ? f ? 4 ? ? 0 , 所以当 t ? 4 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2
2

?

2

?

min

? f ? 4 ? ? 0 .?????????????????

12 分 当 t ? 2 ,即 x1 ? 13 分 所以 S1 ? S 2 的取值范围为 ? 0,1? .??????????????????????????
2 2

2 时, ? S12 ? S 2 2 ?

max

? f ? 2 ? ? 1 .??????????????????

14 分 说明:由 S1 ? S 2 ? 5 ? x1 ? 4 x2
2 2 2

?

2

? ? 5 ? 4x x

1 2

? 1 ,得 ? S12 ? S 2 2 ?

max

? 1 ,给 1 分.

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识,考查数形结合、化归与
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转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)证明:设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? e ? x ? 1 ,
x





?1? ( x ? e x ? .?????????????????????????????????1 )分
当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 . 即函数 ?1 ( x) 在 (??,0) 上单调递减, (, ?? 上单调递增, x ? 0 处取得唯一极小值, 在0 ) 在 ??? 2分 因为 ?1 (0) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有 ?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 . 即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 , 所 以

f ( x) ≥g1 ( x) .?????????????????????????????????3 分
(2) 解: x ? 0 时, f ( x) ? g n ( x) . 当 ??????????????????????????? 4分 用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x) ? g1 ( x ) .
* ②假设当 n ? k ( k ? N )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x) ? g k ( x) ,?????????????

5分 令 ?k ( x) ? f ( x) ? g k ( x) , ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ?1 ( x) ,

? 因为对任意的正实数 x , ? k ?1? ( x) ? f ? ? x ? ? g k ?1 ? x ? ? f ( x ) ? g k ( x ) ,

? 由归纳假设知, k ?1? ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) ? 0 . ??????????????????????
6分 即 ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,亦即 ?k ?1 ( x) ? ?k ?1 (0) , 因为 ?k ?1 (0) ? 0 ,所以 ?k ?1 ( x) ? 0 . 从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? g k ?1 ( x) ? 0 . 即对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? g k ?1 ( x) .
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这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x ? 0 ,也有 f ( x) ? gk ?1 ( x) . 由①、②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? g n ( x) .????????????????????? 8分 (3)证明 1:先证对任意正整数 n , g n ?1? ? e . 由(2)知,当 x ? 0 时,对任意正整数 n ,都有 f ( x) ? g n ( x) . 令 x ? 1 ,得 g n ?1? ? f ?1? = e . 所 以

g n ?1? ? e .???????????????????????????????????9 分

1


2 3




n









n



1 1 1 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? g n ?1? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? . 2! 3! n! ? 2? ? 3? ? 4? ? n ?1?
1 ? 2 ? 要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ? ? ? 成立. n! ? n ?1?
即要证明对任意正整数 n ,不等式 n ! ? ? 分 以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*) : 方法 1(数学归纳法) :
n

? n ?1? ? (*)成立.??????????????10 ? 2 ?
n

? 1?1? ①当 n ? 1 时, 1! ? ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ?
1

②假设当 n ? k ( k ? N )时,不等式(*)成立,
*

即 k!? ? 11 分

? k ?1? ? .????????????????????????????????? ? 2 ?
k k ?1

? k ?1 ? ? k ?1? 则 ? k ? 1? ! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
k



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k ?1

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?k ?2? k ?1 k ?1 k ?1 ? ? 1 1 ? ? 2 ? ? ? k ? 2 ? ? ?1 ? 1 ? ? C0 ? C1 k ?1 ? ? ? ? Ck ?1 ? 因为 k ?1 k ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ,? k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? k ? 1? ? k ? 1? ? k ?1 ? ? ? ? 2 ?
12 分

? k ?1? 所以 ? k ? 1? ! ? 2 ? ? ? 2 ?

k ?1

?k ?2? ?? ? ? 2 ?

k ?1

.???????????????????????

13 分 这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立. 由①、②知,对任意正整数 n ,不等式(*)都成立. 综上可知,对任意正整数 n ,不等式 1 ? ?

?2? ? 2? ? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? g n ?1? ? e 成立. ?2? ? 3? ? 4? ? n ?1?
?????????????

1

2

3

n

?14 分 方法 2(基本不等式法) : 因为 n ?1 ? 11 分

n ?1 ,???????????????????????????????? 2 n ?1 , 2

? n ? 1? ? 2 ?
??,

1? n ?

n ?1 , 2
n

? n ?1? 将以上 n 个不等式相乘, n ! ? ? 得 ??????????????????????? ? . ? 2 ?
13 分 所以对任意正整数 n ,不等式(*)都成立. 综上可知,对任意正整数 n ,不等式 1 ? ?

?2? ? 2? ? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? g n ?1? ? e 成立. ?2? ? 3? ? 4? ? n ?1?
?????????????

1

2

3

n

?14 分

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