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高三理科数学一轮总复习第九章 圆锥曲线与方程

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第九章 圆锥曲线与方程 高考导航 考试要求 1. 了解圆锥 曲线的实 际 背景, 了解圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的 作用; 2.掌握椭圆、抛物线的定 义、几何图形、标准方程及简 单性质; 3.了解双曲线的定义、几 何图形和标准方程, 知道它的 简单几何性质; 4. 了解圆锥 曲线的简 单 应用; 5.理解数形结合的思想; 6. 了解方程 的曲线与 曲 线的方程的对应关系. 重难点击 命题展望 本章重点:1.椭圆、双曲 圆锥曲线与函数、方程、 线、 抛物线的定义、 几何图形、 不等式、三角形、平面向量等 标准方程及简单性质;2.直线 知识结合是高考常考题型 .极 与圆锥曲线的位置关系问题; 有可能以一小一大的形式出 3. 求曲线的方程或曲线的轨 迹;4.数形结合的思想,方程 的思想, 函数的思想, 坐标法. 本章难点: 1. 对圆锥曲 线的定义及性质的理解和应 用;2.直线与圆锥曲线的位置 关系问题;3.曲线与方程的对 应关系. 现, 小题主要考查圆锥曲线的 标准方程及几何性质等基础 知识、 基本技能和基本方法运 用; 解答题常作为数学高考的 把关题或压轴题, 综合考查学 生在数形结合、等价转换、分 类讨论、 逻辑推理等方面的能 力. 知识网络 1 9.1 椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 4 5 【例 1】已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 和 3 2 5 ,过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 3 4 5 2 5 【解析】由椭圆的定义知,2a= + =2 5,故 a= 5, 3 3 4 52 2 52 5 10 由勾股定理得,( ) -( ) =4c2,所以 c2= ,b2=a2-c2= , 3 3 3 3 x2 3y2 3x2 y2 故所求方程为 + =1 或 + =1. 5 10 10 5 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两 种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n); (2)在求椭圆中的 a、b、c 时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练 1】已知椭圆 C1 的中心在原点、焦点在 x 轴上,抛物线 C2 的顶点在原点、焦点在 x 轴上. 小明从曲线 C1,C2 上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x,y).由于记录失误,使得 其中恰有一个点既不在椭圆 C1 上,也不在抛物线 C2 上.小明的记录如下: 据此,可推断椭圆 C1 的方程为 . 【解析】方法一:先将题目中的点描出来,如图,A(-2,2),B(- 2,0),C(0, 6),D(2,-2 2), E(2 2, 2),F(3,-2 3). 通过观察可知道点 F,O,D 可能是抛物线上的点.而 A,C,E 是椭圆上的点,这 时正好点 B 既不在椭圆上,也不在抛物线上. x2 y2 显然半焦距 b= 6,则不妨设椭圆的方程是 + =1,则将点 m 6 x2 y2 A(-2,2)代入可得 m=12,故该椭圆的方程是 + =1. 12 6 方法二:欲求椭圆的解析式,我们应先求出抛物线的解析式,因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一 些. y2 x1 1 2 不妨设有两点 y2 1=2px1,①y2=2px2,② 2= , y2 x2 则可知 B(- 2,0),C(0, 6)不是抛物线上的点. 而 D(2,-2 2),F(3,-2 3)正好符合. 2

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