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变化率问题教学设计(广水市一中数学组 王伟)

时间:2014-10-28


高中数学选修 2-2 第一章 导数及其应用

§1.1.1 变化率问题
广水市一中 王伟 2012 年 04 月 15 日

一.教材分析
(一)教学内容解析
本节内容是高中数学(选修 2-2)第一章第一节变化率与导数中的第一课时 变化率问题。 通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题,总结归纳出一般函 数的平均变化率概念,在此基础上,要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步 骤。

(二)教材的地位和作用
平均变化率是个核心概念,它在本章占有及其重要的地位,是研究瞬时变化 率及其导数概念的基础。在这个过程中,注意特殊到一般、数形结合等数学思想 方法的渗透。

(三)教材的处理
在教材的处理上,做到了“尊重”与“超越”的平衡。教学的实践证明,对 教材的彻底反叛和完全盲从都不利于学生的发展和教学目标的全面实现。 用教材教,不能简单地把教学目标锁定在完成教材上。在这节课的开始时, 抓住学生的心理,利用姚明的身高曲线问题,将学生轻松带入课堂,通过气球的 膨胀率和位移的变化率,采用类比的方式得到一般函数平均变化率的概念,最后 通过例题帮助学生理解平均变化率的概念,并总结出函数平均变化率的求法和步 骤,进而完成本节课的教学目标。

(四)教学重难点诊断分析
本模块中导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。引导学生经 历由平均变化率到瞬时变化率的过程,体会函数的思想内涵。根据以上分析,本 节课教学重点: 1、通过平均膨胀率与平均速度两个实例,从特殊到一般,让学生经历平均 变化率概念的形成过程。 2、理解平均变化率的概念,体会平均变化率的几何意义,会计算函数在某 个区间的平均变化率。 教学难点:如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。这 里通过气球的膨胀率和平均速度 (即位移的变化率) , 采用类比的方式得到一般函 数的平均变化率。

二.学情分析
本节课的教学对象是高二年级的理科生, 在物理中, 学生已经学过平均速度、 瞬时速度、加速度等概念这些都直接和间接地涉及到平均变化率的思想,这些都

有利于本节课的顺利进行。但是学生没有明确系统的学习过平均变化率,需要高 度的概括能力和深刻的思维能力,对学生的思维是一次挑战,因此,平均变化率 的理解和转化是本节课的重点。

三.教学目标分析
根据课程标准的要求,结合教材分析、学情分析特制定以下三维教学目标。 (一)知识与技能目标 理解函数平均变化率的概念,掌握求平均变化率的一般步骤。 (二)过程与方法目标 在目标的设置上,做到了“过程”与“结果”的平衡,本节课大篇幅设计了 “平均变化率”概念的形成过程,通过“气球的膨胀率问题”和“高台跳水问题” 的生活实例,引导学生自主探究,不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的 机会, 从特殊到一般, 找出刻画变量变化快慢的数学方法, 进而自然而然的对 “平 均变化率”的概念有本质的理解。 (三)情感和价值观目标 通过通过生活中实际问题探究式的学习,激发学生对数学的好奇心以及严谨 的学习态度,引导学生从数学的角度发现和提出问题,正确地用数学语言表达问 题,形成应用数学的意识。

四、教学对策分析
(一)教法、学法分析
本堂课以问题串的形式层层设疑,不断地激发和调动学生去自主探究,逐步 完成学习任务。 在方法的运用上,做到了“探究”与“接受”的平衡。探究学习注重学生的 独立思考,接受性学习可以在较短的时间内让学生吸收更多的信息,但不容易激 发学生探索的精神,在实际的教学中,尽量做到平衡。

(二)教学支持条件分析
利用多媒体辅助教学,突出重点提高学习效率。在信息技术环境下,可以使 两个实例的背景更形象、更逼真,从而激发学生的学习兴趣,通过演示平均变化 率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。

五.教学过程设计
1.问题情景 从生活述语和学生比较熟悉的姚明身高曲线引入课题。 设计意图:使学生了解生活中的变化率问题,为归纳函数平均变化率提供更多的 实际背景。 2.新课讲授 (一)问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们回忆一下吹气球的过程 ,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

设计意图:通过熟悉的吹气球问题的生活体验,提炼出数学模型,从而为归 纳函数平均变化率概念提供具体背景。上课分别定性(函数图象)和定量(计算) 地分析了气球半径增加越来越慢问题。 师生活动:由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式,然后先通过函 数图象分析,进而再通过计算,用数据来回答问题,解释上述现象。 ? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) = ? 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) =
3

4 3 pr 3

3V 4p

分析: r (V ) =

3

3V ? r 4p

3

3 1 ? V3, 4p

⑴ 当 V 从 0L 增加到 1L 时,气球半径变化量为 r (1) - r (0) ? 0.62(dm) 气球的半径相对于体积的变化率为
r (1) - r (0) ? 0.62(dm / L) 1- 0

⑵ 当 V 从 1L 增加到 2L 时,气球半径变化量为 r (2) - r (1) ? 0.16(dm)
r (2) - r (1) ? 0.16(dm / L) 2- 1 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的半径的变化率逐渐变小了.

气球的半径相对于体积的变化率为

思考:(1)怎样理解气球的半径增加得越来越慢? 随着气体体积逐渐增大,当气体体积增加量相同时,相应半径的增加量越来 越小。 设计意图:通过阐述气球膨胀问题的数学描述帮助学生更好地理解变化率。 (2)当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的半径的变化率(即平均膨胀率)是 多少?
r (V2 ) - r (V1 ) V2 - V1

设计意图:把问题中的具体数据运算提升到一般的字母表示,体现从特殊到 一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

法国《队报》网站的文章称:刘翔以不可思议的速度统治了赛场。当时 这名 21 岁的中国人跑得几乎比炮弹还快,...... ,他得平均速度达到 8.52m/s。 平均速度的数学意义是什么? 设计意图:通过刘翔比赛的报道引出有关对平均速度的问题的研究,即高台 跳水的问题。 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内 的平均速度 v 粗略地描述其运动状态? 设计意图:高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度,而运 动速度是学生非常熟悉的物理知识,这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的 对数学知识学习的干扰。为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。 师生活动:学生通过计算回答问题,说明其物理意义。 思考计算: 0 #t 在 0 #t 在 1 #t
0.5 和 1 #t 2 的平均速度 v

h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) ; 0.5 - 0 h(2) - h(1) 2 这段时间里, v = = - 8.2(m / s ) 2- 1
0.5 这段时间里, v =

65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49 ⑴运动员在这段时间内是静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

探究:计算运动员在 0 #t

探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像,结 h 合图形可知: 65 h( ) = h(0) , 49 65 h( ) - h(0) 所以 v = 49 = 0(m / s) , 65 - 0 49 o 65 t 虽然运动员在 0 #t 这段时间里的平均速度为 0(m / s) , 49 实际情况是运动员并非静止,平均速度只能粗略描述运动员在某段时间内的运动 状态,并不能反映运动员在某时刻的运动状态。

思考: 当时间从t1增加到t2时, 高台跳水运动员的位移的变化率是多少?

v=

h (t2 )- h (t1 ) t2 - t1

设计意图:把问题 2 中的具体数据运算提升到一般的字母表示,体现从特殊 到一般的数学思想(体现化归的数学思想)。并为归纳函数平均变化率概念作铺 垫。 师生活动:教师播放多媒体,学生可以直接回答问题,教师板书其正确答案。 通过引导,使学生逐步归纳出问题 1、2 的共性。 定义:平均变化率概念: 1. 一般地,对于函数f (x)

令D x= x2 - x1表示自变量x的变化量 D y = f ( x2 ) - f ( x1 )表示函数值y的变化量
D y f ( x2 )- f ( x1 ) = Dx x2 - x1 设计意图:归纳概念的过程,体现了从特殊到一般的数学思想。 则函数f(x)从 x1到 x2的平均变化率为
2.对平均变化率补充增加几点评注: 设计意图:加深对概念内涵的理解。

1).D x, D y可正可负,D x不为0,D y的值可以为0. 2).分子和分母是对应的,即函数值的变化量是在自变量的
变化量上产生的。
3).求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的变化量D x =x2 - x1,D y=f(x2 ) - f ( x1 ); D y f ( x2 )- f ( x1 ) (2)计算函数平均变化率 = Dx x2 - x1

3.典例分析 例.计算函数 f ( x) = 2 x + 1在区间 [- 3, - 1] 上的平均变化率。 设计意图:概念的简单应用,进一步加深对概念的理解,突出求平均变化率 的一般步骤。 师生活动:教师适当点拨,学生回答,教师板书。
f ( x2 ) - f ( x1 ) D y = 表示什么? x2 - x1 D x

思考:观察函数 f(x)的图象平均变化率

设计意图:从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义,体 现数形结合的数学思想。

4.回顾总结 (1)函数平均变化率的概念是什么? (2)求函数平均变化率的一般步骤是怎样的? 师生活动:最后师生共同归纳总结:函数平均变化率的概念,求函数平均变 化率的一般步骤 设计意图:复习重点知识、思想方法,完善学生的认知结构。 5.布置作业 课后习题

六.教学反思
教材通过实际生活中的吹气球现象,提出问题,吹气球过程中,可以发现随 着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢,从数学角度如何刻画描述 这种现象呢? 如何使得平均变化率概念的引入显得流畅自然,故选择先结合函数图象,让 学生有一个直观的认识,再求气球体积增加量相同的条件下的半径变化量,接着 探求气球体积增加量改变的条件下的半径变化率,从数学的角度,描述这种现象 就一目了然了。


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