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北京师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题带答案

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北京师大附中 2015——2016 学年度第二学期期末考试

高二数学(理科)试卷 第 I 卷(模块卷)

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
1.数字 0,1,2,3,4 可以组成( A.96 B.120 )个无重复数字的五位数 C.625 D.1024
2

n 2.二项式 (x+1) (n ? N * ) 的展开式中的 x 系数为 15,则 n=(



A.5 B.6 C.7 D.8 3.抛掷一枚均匀的硬币 4 次,则恰有 2 次正面向上的概率( A.



1 2

B.

1 16

C.

3 8

D.

5 8

4.抛掷一枚均匀的骰子 2 次,在下列事件中,与事件“第一次得到 6 点”不相互独立的是 ( ) A.“第二次得到 6 点” B.“第二次的点数不超过 3 点” C. “第二次的点数是奇数” D.“两次得到的点数和是 12” 5.在兴趣小组的 4 名男生和 3 名女生中选取 3 人参加某竞赛,要求男生女生都至少有 1 人, 则不同的选取方法有( )种。 A.20 B.30 C.35 D.60 6.一个口袋中装有 4 个红球,2 个白球。每次从袋中随机摸出一个球,不放回地摸两次,在 摸出的第一个是红球的条件下,磨出的第二个球是白球的概率是( ) A.

1 3

B.

2 5

C.

3 5

D.

2 3

7.设某一随机变量 X ~ N (0,1) ,记 P 1 ? P(?2 ? X ? ?1) , P 2 ? P(0 ? X ? 1) 则 P 1, P 2 的关 系是( A. P 1 ? P 2 ) B. P 1 ? P 2 C. P 1 ? P 2 D.无法确定

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? 1? t ? ? (t 为参数)与曲线 ? y ? 4 ? 2t ?


? x ? 2 ? r cos ? ? C2 : ? ? ( ? 为参数,r ? 0)有一个公共点在 y 轴上,则 r =( ? y ? 1 ? r sin ? ?
A.

5

B.2

C.

2

D.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
9.二项式 (3 x ?1) 的展开式中各项系数的和是________。
6

10.某次联欢会的抽奖规则如下:观众从一个装有 8 个红球和 2 个白球的箱子中一次摸出两 个球,若都是白球,则为一等奖,若恰有一个白球,则为二等奖。那么,这名观众中奖的概 率是__________. 11.在极坐标系下,限定

(?,?) ? 0, 0 ? ? ? 2?, WV ? S5 ? (0, 0, ?? 0,?? , 0),U ,V ? Sn , d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) ? 2 ??
n个 0

17 ? 8 5 o ( 2, ) 60 45 4 5 U ? (a1 , a2 , a3 , ?, an ) ?,
线 2 ? sin ? =1 对称的极坐标是___________。

则点(1,0)关于直

12.已知圆的极坐标方程 ? =2cos ? ,直接的极坐标方程为 ? cos ? -2 ? sin ? +7=0 ,则圆心 到该直线的距离为__________。 13.如图, AB 是圆 O 的直径, 且 AB=6, CD 是弦, BA、CD 的延长线交于点 P,PA=4,PD=5,则 ? COD=_____________。

14.已知集合 A={1,2,3,4},函数 f ( x ) 的定义域、值域都是 A,且对于任意 i ? A, f (i) ? i , 设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,3,4 的任意的一个排列, 定义数表 ?

? a1 ? f (a1 )

a2 f (a2 )

a3 f (a3 )

a4 ? ?, f (a4 ) ?

若两个数表的对应位置上至少有一个数不同, 就说这是两张不同的数表, 那么满足条件的不 同的数表的张数为_________。

三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分。
15.某篮球运动员在上赛季的三分球命中率为 25%,场均三分球出手 10 次,教练建议他在新 赛季减少三分球出手次数, 若在新赛季的第一场比赛中该球员计划出手 3 次, 每次出手均相 互独立,设其命中 X 次。 (1)若将频率视为概率,求 X 的分布列; (2)请给该队员一些建议,如何才能提高他在一场比赛中的三分球得分的期望?

16.在某校开展的“阳光体育”系列活动中,甲、乙两班之间进行了一次 200 米跑的团体比

赛。每个班各派出 5 名同学比赛,讲每名同学的 200 米成绩记录以后(单位:秒,且已知每 个成绩都是整数) ,总用时少的班级获胜, 成绩记录如下表所示: 队员编号 甲班成绩 乙班成绩 1 31 27 2 34 31 3 33 30 4 29 X 5 28 31

表格中的 x ?[30, 40) (1)若 x ? 36 ,从甲班的 5 名同学中任取 3 名,记这 3 人中用时少于乙队平均用时的人数 为随机变量? ,求? 的分布列; (2)若最终乙班获胜,那么当乙班同学的成绩方差最大时, x 的取值是多少(直接写出结 果,不用证明)?

17.北京市人社局今日发布了“关于公布 2015 年度北京市职工平均工资的通知” ,透露 2015 年度全市职工平均工资为 85038 元,月平均工资 7086 元,某网站整理了 2011-2015 年北京 市职工年平均工资,如下表,网友纷纷吐槽: “对不起,我又拖后腿了” “还没赶上去年的平 均值,你们又涨了。 。 。 ” “我周围很多人这 5 年工资都没变过,这数据肯定有问题” 2011-2015 年北京市职工年平均工资(税前:单位:元) 时间 2011 2012 2013 2014 2015 平均年薪 56061 62677 69521 77560 85038

(1)根据上表所给信息估计:到 2020 年,北京市职工税前平均年薪能否比 2011 年翻翻?, 并简要说明。 (2)使用你所学的概率统计知识,解释大多数人认为自己工资为达到平均值的理由: (3)你能否向人社局提出一些建议来改进统计方案,是大部分人认为公布的结果与自己的 实际工资水平相差不大。

第 II 卷(综合卷)

四、填空题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分。 18.从集合 U={a,b,c} 的子集中任意选出两个不同集合 A, B, 要求 A ? B , 那么, 有________ 种不同的选法。 19.已知函数 f ( x) ? x2 ? cos x, 则 f (?0.5), f (0), f (0.6) 这三个函数值从小到大分别为 ___________。 20.某地采用摇号买车的方式,共有 20 万人参加摇号,每个月有 2 万个名额,如果每个月摇 上的退出摇号, 没有摇上的继续进行下月摇号, 则每个人摇上号平均需要__________个月的 时间。 五、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分。 21.设函数 f ( x ) ?

ax (a ? 0, b ? 0) x ?b
2

(1)若函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值-2,求 a , b 的值 (2)若函数 f ( x ) 在区间(-1,1)内单调递增,求 b 的取值范围

x 22.已知函数 h( x) ? ae 的一条切线为 y ? ex

(1)求 a 的值 (2)设 x ? 0 ,求证: h( x ) ? 1 ? x ?

1 2 x 2

23.已知 Sn ? {A | A ? ( a1, a2, a3, ?, an), a1 ? 0 或 1,i ?1,2, ? ,n }( n ?2) 对于

U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的不同元素的个数。
(I)令 U ? (0,0,0,0,0) ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,写出 m 的值 (II)令 W ? (0, 0, 0, ?, 0) ,若 U ,V ? Sn ,求证: d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V )

?? ?? ?
n个 0

(III)令 U ? (a1 , a2 , a3 ,?, an ) ? Sn , 若 V ? Sn ,求所有 d (U ,V ) 之和

北京师大附中 2015——2016 学年度第二学期期末考试

高二数学(理科)试卷答案

一、 选择题 1 A 二、 填空题 9. 64
o

2 B

3 C

4 D

5 B

6 B

7 A

8 A

10.

17 45

11. ( 2,

?
4

)

12.

8 5 5

13. 60

14.216

三、 解答题 15.(1)解:设 X 可以取 0,1,2,3.

27 0 3 3 P(X=0) =C ( )= 3 4 64 1 3 27 1 1 2 P(X=1) =C ( ) ( ) = 3 4 4 64 9 2 1 2 3 1 P(X=2) =C( ) ( )= 3 4 4 64 1 3 1 3 3 0 P(X=3) =C ( ) ( )= 3 4 4 64
所以 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

27 64

27 64

9 64

1 64

(2)该队员应减少三分出手次数,以提高 3 分得分期望。 通过球员 3 分命中率以及得分期望来看,球员命中率为 0.25,当出手次数 1 个增加时,其命中零次的概率需要乘以 0.75,而与得分乘以零,导致总得分 期望会持续降低。

16.解: (1)乙队平均用时为:

则随机变量? 可取 0,1,2

27 ? 31 ? 30 ? 36 ? 31 =31 5

P(? =0) =

C3 1 3 = 3 C5 10
2 1 C3 C2 6 3 = = C3 10 5 5

P(? =1) =

2 C1 3 3C2 P(? =2) = 3 = C5 10

则? 的分布列为

?
P

0

1

2

1 10

3 5

3 10

(2)35

17.(1)可以。每年平均工资增长约

85038-56061 =7269 ,2011 至 2020 年,共 9 年 4

所以到 2020 年工资相对增长 65421 元,肯定可以翻倍。 (2)因为平均值是整体除以个数来计算的,当某些人工资特别高,也计算在内的时 候会平均值把平均值拉高很多。 而工资少的人占大部分群体, 则会觉得离年平 均工资差的很远。 (3)我建议将所有收入分层计算工资月收入一万以下计算平均数,月收入 1 至 3 万计算平均数,五万以上计算平均数。然后按照约为比例 6:3:1 比例相乘再 相加,再除以 10 即可。 四、填空题 18.19 19. f (0) ? f (?0.5) ? f (0.6) 20. 5.5 五、解答题 21.(1)因为函数 f ( x ) ?

ax (a ? 0, b ? 0) x ?b
2

函数 f ( x ) 咋 x=-1 处取得值为-2,

f’ ( x)=

( a b ? x2 ) 2 ( x 2 ? b)
f’ (-1)=0 a =4 ?{ f (-1)=-2 b ?1

依题意: {

(2) f ’ ( x)=

( a b ? x2 ) 2 ( x 2 ? b)

?a ? 0
内不可能增,舍去; ( x) ? 0 ,函数 f ( x)在(-1,1) ? 当 b ? 0时f ’ 当 b ? 0 时, f ’ ( x)=

( a b ? x2 ) 若 x ? (? b , b ) 时, f ’ ( x) ? 0 , 2 ( x 2 ? b)

f ( x) 递增,

?(?1,1) ? (? b , b )
? b ? ?1 ?{ ? b ?1 b ?1
故所求范围为 [1, ??) 。

22.(1)根据题意可设切点为 ( x0 , y0 )

? h( x0 ) ? ae x0 ? x0 ? 1 ? 则? 解得 ? y0 ? ex0 ? a ?1 ? h '( x ) ? ae x0 ? e 0 ?
故 a=1 (2)当 x ? 0 ,时 h( x) ? 1 ? x ?

1 2 1 x ? ae x ? 1 ? x ? x 2 2 2

1 1 ? x ? x2 2 ( x ? 0) 则a ? x e 1 1 ? x ? x2 2 ,并求其最大值 令 g ( x) ? ex
则 g '( x ) ?

(1 ? x)e x ? (1 ? x ? (e x ) 2

1 2 x x )e 2

1 ? x2 ? 2x e 所以在 x ? 0 , g ( x) 恒减,所以 g ( x) MAX ? g (0) ? 1

故a ?1 23.


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