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最新2012数学高中巧学巧解大全(57页超全)

时间:2012-04-03


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最新 2011 数学高中巧学巧解大全 第一部分 高中数学活题巧解方法总论

一、代入法 若动点 P( x, y) 依赖于另一动点 Q( x0 , y 0 ) 而运动,而 Q 点的轨迹方程 已知(也可能易于求得)且可建立关系式 x0 ?
f ( x) , y 0 ? g ( x) ,于是将这

个 Q 点的坐标表达式代入已知(或求得)曲线的方程,化简后即得 P 点 的轨迹方程,这种方法称为代入法,又称转移法或相关点法。
x 【例 1】 (2009 年高考广东卷) 已知曲线 C :y ? x 2 与直线 l : ? y?2?0

交于两点 A( x A , y A ) 和 B( xB , y B ) ,且 x A ? x B ,记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那 一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.设点 P(s, t ) 是 L 上 的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.若点 Q 是线段 AB 的中点, 试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; 【巧解】联立 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, xB ? 2 ,则 AB 中点 Q( 1 , 5 ) ,
2 2 1 5 ?s ?t 2 2 设线段 PQ 的中点 M 坐标为 ( x, y) ,则 x ? , ,y ? 2 2 即 s ? 2 x ? 1 , t ? 2 y ? 5 ,又点 P 在曲线 C 上, 2 2 ∴ 2 y ? 5 ? (2 x ? 1 ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? 11 ,又点 P 是 L 上的任一点, 2 2 8 且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2 ,即 ? 1 ? x ? 5 , 2 4 4 11 1 5 ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x 2 ? x ? ( ? ? x ? ). 8 4 4

【例 2】 (2008 年,江西卷)设 P( x0 , y0 ) 在直线 x ? m ( y ? ?m,0 ? m ? 1) 上,
1 过点 P 作双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条切线 PA 、PB , 切点为 A 、B , 定点 M ( m ,0) 。

过点 A 作直线 x ? y ? 0 的垂线,垂足为 N,试求 ?AMN 的重心 G 所在的曲 线方程。
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【巧解】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由已知得到 y1 y2 ? 0 ,且 x12 ? y12 ? 1 , x22 ? y22 ? 1 , (1)垂线 AN 的方程为: y ? y1 ? ? x ? x1 , 由? ?
? y ? y1 ? ? x ? x1 x? y ?0

得垂足 N ( x1 ? y1 , x1 ? y1 ) ,设重心 G( x, y)
2 2

3 ? 9x ? 3y ? ? m ? x1 ? ? 4 解得 ? 1 ? 9 y ? 3x ? ?y ? m ? 1 ? 4 由 x12 ? y12 ? 1 可得 (3x ? 3 y ? 1 )(3x ? 3 y ? 1 ) ? 2 m m 1 2 2 即 ( x ? ) ? y 2 ? 为重心 G 所在曲线方程 3m 9
1 1 x1 ? y1 ? ? x ? 3 ( x1 ? m ? 2 ) 所以 ? ? ? y ? 1 ( y ? 0 ? x1 ? y1 ) 1 ? 3 2 ?

巧练一: (2005 年,江西卷)如图,设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动 点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB, 且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.,求△APB 的重心 G 的轨迹方程.

巧练二:2006 年, ( 全国 I 卷) 在平面直角坐标系 xOy 中, 有一个以 F1 (0,? 和 F2 (0,
2

3)

3 ) 为焦点、离心率为 3 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲

线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点分别为 A、B,
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且向量 OM
? OA ? OB ,求点

M 的轨迹方程

二、直接法 直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、 法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从 而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来 看,绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项 特点”灵活做题,一边计算,一边对选项进行分析、验证,或在选项 中取值带入题设计算,验证、筛选而迅速确定答案。 【例 1】 (2009 年高考全国 II 卷)已知双曲线 C : x 2
a
2

?

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右 b2

焦点为 F,过 F 且斜率为 C 的离心率为( (A) 6
5

3 的直线交

C 于 A、B 两点。若 AF ? 4FB ,则

) (B) 7
5

(C) 8

5

(D) 9

5

【巧解】设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,F (c,0) ,由 AF ? 4FB ,得 (c ? x1 ,? y1 ) ? 4( x2 ? c, y2 ) ∴ y1 ? ?4y2 ,设过 F 点斜率为
3 的直线方程为 x ?

y 3

?c,

y ? 2 2 x? ?c ? 由? 消去 x 得: ( b ? a 2 ) y 2 ? 2b c y ? b 4 ? 0 , 3 3 3 ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ? 0 ?

? 6b 2 c ? y1 ? y 2 ? ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) ∴? ? 3b 4 ? y1 y 2 ? 2 ? b ? 3a 2 ?

, 将

? 6b 2 c ?? 3 y 2 ? ? ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) 化简得 y1 ? ?4y 2 代入得 ? 4 ? ? 4 y 2 ? 3b 2 ? b 2 ? 3a 2 ?

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? 2b 2 c y2 ? ? ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) ? 3b 4 ?y2 ? ? ? 2 4(b 2 ? 3a 2 ) ?

,∴

4b 4 c 2 3b 4 ?? , 3(b 2 ? 3a 2 ) 2 4(b 2 ? 3a 2 )

化简得: 16c 2 ? 9(3a 2 ? b 2 ) ? 9(3a 2 ? c 2 ? a 2 ) ,∴ 25c 2 ? 36a 2 , e 2 ? 36 ,即 e ? 6 。
25 5

故本题选(A) 【例 2】 2008 年, ( 四川卷) 设定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 , 若
f (1) ? 2 ,则 f (99) ? (

) (C) 13
2

(A)13

(B)2

(D)

2 13

【巧解】∵ f ( x ? 2) ?

13 ,∴ f ( x ? 4) ? 13 ? 13 ? f ( x) 13 f ( x ? 2) f ( x) f ( x)
f (4 ? 24 ? 3) ? f (3) ? 13 13 ? f (1) 2

∴函数 f (x) 为周期函数,且 T ? 4 ,∴ f (99) ? 故选(C)

巧练一: (2008 年,湖北卷)若 f ( x) ? ? 1 x 2 ? b ln( x ? 2)在(?1,??) 上是减函数,
2

则 b 的取值范围是( A. [?1,??)

) C. (??,?1] D. (??,?1)

B. (?1,??)

巧练二: (2008 年,湖南卷)长方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点在同 一个球面上,且 AB=2,AD= ( )
3,AA1=1,则顶点

A、B 间的球面距离是

A. 2

2?

B.

2?

C.

2? 2

D.

2? 4

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三、定义法 所谓定义法,就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对 圆锥曲线定义的考查,凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及 离心率的取值范围等问题,用圆锥曲线的第一和第二定义解题,是一 种重要的解题策略。 【例 1】 (2009 年高考福建卷,理 13)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 450 的直线交抛物线于 A、B 两点,线段 AB 的长为 8, 则p? .
p ? ?y ? x ? ,由 ? 2 消去 y 得: ? y 2 ? 2 px ?

【巧解】依题意直线 AB 的方程为 y ? x ? p 2
x 2 ? 3 px ?

p2 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,∴ x1 ? x2 ? 3 p ,根据抛物线的定义。 4

| BF |? x 2 ?

p , | AF |? x1 ? p ,∴ | AB |? x1 ? x2 ? p ? 4 p ? 8 ,∴ p ? 2 , 2 2

故本题应填 2。 【例 2】 (2008 年,山东卷,理 10)设椭圆 C1 的离心率为
5 ,焦点在 13

x 轴上且长轴长为 26. 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的 差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( (A) x 2
4
2


x2 y2 ? 2 ?1 13 2 5 x2 y2 ? 2 ?1 13 2 12

?

y2 ?1 32 y2 ?1 42

(B) (D)

(C) x 2
3

2

?

【巧解 】由题意椭圆的半焦距为 c ? 5 ,双曲线 C 2 上的点 P 满足
|| PF1 | ? | PF2 ||? 8 ?| F1 F2 |,

∴点 P 的轨迹是双曲线, 其中 c ? 5 ,a ? 4 , b ? 3 , ∴

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故双曲线方程为 x 2
4
2

?

y2 ? 1 ,∴选(A) 32

巧练一: (2008 年,陕西卷)双曲线 x 2
a

2

?

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分 b2

别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( A.
6

) D.
3 3

B.

3

C.

2

巧练二: (2008 年,辽宁卷)已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最 小值为( (A)
17 2

) (B)3 (C)
5

(D) 9

2

四、向量坐标法 向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之 间的关系转化成坐标之间的关系,使问题易于解决,并从一定程度上 揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用, 则可源源不断地开发出自己的解题智慧,必能收到事半功倍的效果。 【例 1】 (2008 年,广东卷)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 AC =a,
BD =b,则 AF =(


3

A. 1 a + 1 b
4 2

B. 2 a + 1 b
3

C. 1 a + 1 b
2 4

D. 1 a + 2 b
y

3

3

【巧解】如图所示,选取边长为 2 的正方形 ABCD D
6 A

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C

B

x

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则 B(2,0) , C(2,2) , D(0,2) , O(1,1) , E ( 1 , 3 ) ,
2 2

∴直线 AE 的方程为 y ? 3x ,联立 ? ?
3

y ? 3x

? y?2

得 F ( 2 , 2)
3

∴ AF ? ( 2 ,2) ,设 AF ? x AC ? y BD ,则 AF ? x(2,2) ? y(?2,2) ? (2 x ? 2 y,2 x ? 2 y)
2 ? 2 1 2 1 2 1 ?2 x ? 2 y ? ∴? 3 解之得 x ? , y ? ,∴ AF ? AC ? BD ? a ? b ,故本题选 3 3 3 3 3 3 ? 2x ? 2 y ? 2 ?

B

【例 2】已知点 O 为 ?ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0,则 ?AOB 、 ?AOC 、
?BOC 的面积之比等于





A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3 【巧解】不妨设 ?ABC 为等腰三角形, ?B ? 90 0
y A O

AB ? BC ? 3 ,建立如图所示的直角坐标系,则点 B(0,0)
A(0,3) , C (3,0) ,设 O( x, y ) ,
B

C

x

∵ OA ? 2OB ? 3OC ? 0,即 (? x,3 ? y) ? 2(? x,? y) ? 3(3 ? x,? y) ? (0,0) ∴?
?6 x ? 9 解之得 x ? 3 , y ? 1 ,即 O( 3 , 1 ) ,又直线 AC 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 2 2 2 2 ?6 y ? 3

则点
S ?AOB ?

O

到直线

AC

的距离

3 1 ? ? 3| 2 h? 2 2 ? 2 12 ? 12 |

,∵

| AC |? 3 2

,因此 C

1 9 1 3 1 3 | AB | ? | x |? , S ?BOC ? | BC | ? | y |? , S ?AOC ? | AC | ?h ? ,故选 2 4 2 4 2 2

巧练一: (2008 年,湖南卷)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、 AB 上的点,且 DC ? 2 BD, CE ? 2 EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF与BC ( )

A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 巧练二:设 O 是 ?ABC 内部一点,且 OA ? OC ? ?2OB ,则 ?AOB 与 ?AOC 面积 之比是 .
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五、查字典法 查字典是大家比较熟悉的,我们用类似“查字典”的方法来解决 数字排列问题中数字比较大小的问题,避免了用分类讨论法时容易犯 的重复和遗漏的错误,给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法” 解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法” (从最高位 到个位) ,查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况;查前“2”位 时只考虑前“2”位中第“2”个数应满足条件的情况;依次逐步讨论, 但解题中既要注意数字不能重复,又要有充分的理论准备,如奇、偶 问题,3 的倍数和 5 的倍数的特征,0 的特性等等。以免考虑不全而出 错。 【例 1】 (2007 年,四川卷)用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有 重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( )

(A)288 个 (B)240 个 (C)144 个 (D)126 个 【巧解】本题只需查首位,可分 3 种情况,① 个位为 0,即
1 首位是 2,3,4,5 中的任一个,此时个数为 A4 A43 ;

? ? ? ?0 型,

②个位为

2, ? ? ? ?2 , 此种情况考虑到万位上不为 0, 即 则万位上只能排 3, 4,5,所以个数为 A31 A43 ;③个位为 4,
? ? ? ?4 型,此种特点考虑

到万位上不为 0,则万位上只能排 2,3,5,所以个数为 A31 A43 ;
1 故共有 A4 A43 ? 2 A31 A43 ? 240 个。故选(B)

【例 2】 (2004 年全国 II 卷)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没 有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有 ( )
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A.56 个 B.57 个 C.58 个 D.60 个 【巧解】 (1)查首位:只考虑首位大于 2 小于 4 的数,仅有 1 种情况: 即 3 ? ? ? ? 型, 此特点只需其它数进行全排列即可。 A44 种, 有 (2)查前2位:只考虑前“2”位中比3既大又小的数,有 4 种情况:
24 ? ? ? , 25 ? ? ? , 41 ? ? ? , 42 ? ? ? 型,而每种情况均有 A33 种满足条件,故

共有 4A33 种。 (3)查前3位:只考虑前“3”位中既比1大又小于 5 的数,有 4 种 情况:
2 234 ? ? , 235 ? ? , 431 ? ? , 432 ? ? 型,而每种情况均有 A2 种满足条件,故

共有 4 A22 种。 (3)查前 4 位:只考虑前“4”位中既比 4 大又小于 2 的数,此种情 况只有 23154 和 43512 两种情况满足条件。故共有 A44 ? 4 A33 ? 4 A22 ? 2 ? 58 个,故 选C 巧练一:用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且不大于 4310 的 四位偶数共有( ) C.108 种 D.107 种

A.110 种 B.109 种

巧练二: (2007 年,四川卷)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字, 并且比 20000 大的五位偶数共有( (A)48 个 (B)36 个 (C)24 个 )

(D)18 个

六、挡板模型法 挡板模型法是在解决排列组合应用问题中,对一些不易理解且复
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杂的排列组合问题,当元素相同时,可以通过设计一个挡板模型巧妙 解决,否则,如果分类讨论,往往费时费力,同时也难以解决问题。 【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中, 要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法有 ( A.8 种 ) C.12 种 D.16 种

B.10 种

【巧解】先在 2 号盒子里放 1 个小球,在 3 号盒子里放 2 个小球,余 下的 6 个小球排成一排为:OOOOOO , 只需在 6 个小球的 5 个空位之间 插入 2 块挡板,如:OO | OO | OO ,每一种插法对应着一种放法,故共有 不同的放法为 C52 ? 10 种. 故选 B 【例 2】两个实数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a50 ? ,B ? ?b1 , b2 ,? b25 ? ,若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中每个元素都有原象,且 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ? ? f ? a50 ? ,则这样的 映射共有(
24 A. A50

)个
24 B. C49 25 C. C50 25 D. A49

【巧解】不妨设 A和B 两个集合中的数都是从小到大排列,将集合 A 的 50 个数视为 50 个相同的小球排成一排为: OOOOOOO ??OO ,然后在 50 个小球的 49 个空位中插入 24 块木板, 每一种插法对应着一种满足
24 条件 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ? ? f ? a50 ? 对应方法,故共有不同映射共有 C 49 种. 故选

B 巧练一:两个实数集合 A={a1, a2, a3,?, a15}与 B={b1, b2, b3,?, b10},若 从 A 到 B 的是映射 f 使 B 中的每一个元素都有原象, f(a1)≤f(a2) ≤? 且 ≤f(a10)<f(a11)<?<f(a15), 则这样的映射共有
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5 A. C10 个

B. C94 个

C.1015 个

10 D. 510 ? A15

巧练二:10 个完全相同的小球放在标有 1、2、3、4 号的四个不同盒 子里,使每个盒子都不空的放法有( A.24 B.84 C.120 七、等差中项法 等差中项法是根据题目的题设条件(或隐含)的特征,联想到等 差数列中的等差中项,构造等差中项,从而可使问题得到快速解决, 从而使解题过程变得简捷流畅,令人赏心悦目。 【例 1】 (2008 年,浙江卷)已知 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2 ,则( (A) ab ? 1
2

)种 D.96



(B) ab ? 1

2

(C) a 2 ? b 2 ? 2

(D) a 2 ? b 2 ? 3

【巧解】根据 a ? b ? 2 特征,可得 a,1, b 成等差数列,1为 a 与 b 的等差 中项。可设
a ?1 ? x , b ?1 ? x ,其中 ? 1 ? x ? 1 ;则 ab ? 1 ? x 2 , a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 x 2 ,

又 0 ? x 2 ? 1,故 0 ? ab ? 1 , 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 ,由选项知应选(C) 【例 2】 (2008 年,重庆卷)已知函数 y ? 小值为 m,则 m 的值为(
M
1 ? x ? x ? 3 的最大值为

M,最

) (C)
2 2

(A) 1

4

(B) 1

2

(D) 为
1? x

3 2

【巧解】由 y ? 令
2
2

1 ? x ? x ? 3 可得,

y 2



x ? 3 的等差中项,

1? x ?

y y y ? t , x ? 3 ? ? t ,其中 | t |? 2 2 2 2


y2 4

则 ( y ? t ) 2 ? ( y ? t ) 2 ? 1 ? x ? x ? 3 ? 4 ,即 t 2 ? 2 ?
y2 0?t ? 4

,又 | t |? y ,则
2
2 ,即 M ? 2 2 , m ? 2

y2 y2 ,故 0 ? 2 ? ? 4 4

,解之得 2 ? y ? 2

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∴m
M ? 2 2 2 ? 2 2

,故选(C)
y2 x, y, z ? R*, x ? 2 y ? 3z ? 0, xz

巧 练 :( 2008 年 , 江 苏 卷 ) 值 .

的最小

八、逆向化法 逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个 是符合题目要求的都是解题重要的信息。 逆向化策略是把四个选项作 为首先考虑的信息, 解题时, “盯住选项” 着重通过对选项的分析, 要 , 考查,验证,推断进行否定或肯定,或者根据选项之间的关系进行逻 辑分析和筛选,找到所要选择的,符合题目要求的选项。 【例 1】 (2008 年,湖北卷)函数 f ( x) ? 1 ln(
x x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的

定义域为(

) B. (?4,0) ? (0,1) D. [?4,0) ? (0,1)

A. (??,?4] ? [2,??) C. [?4,0) ? (0,1]

【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可,取 x ? 1,出现函数的 真数为 0,不满足,排含有 1 的答案 C,取 x ? ?4 代入计算解析式有意 义,排不含有 ? 4 的答案 B,取 x ? 2 出现二次根式被开方数为负,不满 足,排含有 2 的答案 A,故选 D 评析:求函数的定义域只需使函数解析式有意义,凡是考查具体函数 的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。 【例 2】 (2008 年,江西卷)已知函数 f ( x) ? 2mx 2 ? 2(4 ? m) x ? 1, g ( x) ? mx ,若 对于任一实数 x, f ( x) 与 g (x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取 值范围是( )
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A. (0,2) C. (2,8) B. (0,8) D. ? ? ,0) (

【巧解】观察四个选项中有三个答案不含 2,那么就取 m ? 2 代入验证 是否符合题意即可, 取 m ? 2 ,则有 对
x?R且 x ?
1 恒成立,现只需考虑 g ( x) ? 2x 当 x ? 1 时函数值是否为正数即 2 2
f ( x) ? 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? (2 x ? 1) 2 ,这个二次函数的函数值 f ( x) ? 0

可。这显然 为正数。故 m ? 2 符合题意,排除不含 m ? 2 的选项 A、C、D。所以选 B 巧练一: (2007 年,湖北卷)函数 y ? 2 x ? 1 (x<0)的反函数是(
x

2 ?1



x ?1 (x<-1) x ?1 C. y ? log 2 x ? 1 (x<-1) x ?1

A. y ? log

2

B. D.

y ? log 2

x ?1 (x>1) x ?1 x ?1 (x>1) y ? log 2 x ?1

巧练二: (2004 年,重庆卷)不等式 x ? A. (?1,0) ? (1, ??) C. (?1,0) ? (0,1)

2 ? 2 的解集是( x ?1



B. (??, ?1) ? (0,1) D. (??, ?1) ? (1, ??)

九、极限化法 极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们 对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置, 并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值 来解选择题的方法是一种极限化法. 【例 1】正三棱锥
AE CF ? ? ? (? ? 0) , EB FD
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A ? BCD

中,

E

在棱

AB

上,

F

在 棱 CD 上 , 使

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设 ? 为异面直线 EF 与 AC 所成的角, ? 为异面直线 EF 与 BD 所成的 角,则 ? ? ? 的值是 A.
? 6


4

) C. ?
3

B. ?

D. ?

2

【巧解】当 ? ? 0 时, E ? A ,且 F ? C ,从而 EF ? AC 。因为 AC ? BD , 排除选择支 A, B, C 故选 D(或 ? ? ?? 时的情况,同样可排除 A, B, C ) ,所 以选 D 【例 2】若 a ? ( 2 ) , b ? x 3
x 3 2

, c ? log 2 x
3

,当 x >1 时, a, b, c 的大小关系是



) B. c ? a ? b C .
c?b?a

A. a ? b ? c D. a ? c ? b

【巧解】当 x ? 0 时, a ? 2 , b ? 1 , c ? 0 ,故 c ? a ? b ,所以选 B
3

巧练一:若 0 ? x ? ? , 则2 x与3 sin x 的大小关系
2





A. 2x ? 3sin x B. 2x ? 3sin x C. 2x ? 3sin x D.与 x 的取值有关 巧练二:对于任意的锐角 ? , ? ,下列不等关系式中正确的是( (A) sin(? ? ? ) ? sin? ? sin ? (C) cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (B) sin(? ? ? ) ? cos? ? cos ? (D)
cos( ? ? ) ? cos? ? cos ? ?



十、整体化法 整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从 题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况 的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定 义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整 体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对 4 个选项进
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行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等 等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法. 【例 1】已知 ? 是锐角,那么下列各值中, sin? ? cos? 可能取到的值是 ( ) A.
3 4

B. 4
3 2 sin(? ?

C. 5
?
4

3

D. 1

2

【巧解】∵ sin ? ? cos? ?
?
4 ?? ?

) ,又 ? 是锐角,∴ 0 ? ? ?

?
2

?
4

?

3? 4

,∴

2 ? ? ? sin(? ? ) ? 1 ,即 1 ? 2 sin(? ? ) ? 2 ,故选 2 4 4

B

【例 2】(2002 年,全国卷)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府 工作报告》指出“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上一年增长 7.3%.”如果“十· 五”期间(2001-2005 年)每年的国内生产总值按此年增长 率增长,那么,到“十· 五”末,我国国内生产总值约为( (A)115000 亿元 (C) 127000 亿元 )

(B)120000 亿元 2 (D)135000 亿元 0
8 5 3 0

【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001 年国内生产总值 0 达到 95933 亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确 2 到千亿元,即后三位都是 0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的 细节. 把 95933 亿元近似地视为 96000 亿元,又把 0.0732 近似地视为 0.005 ,这样一 来,就有
95933 ? ?1 ? 7.3% ? ? 96000 ?1 ? 4 ? 0.073 ? 6 ? 0.0732 ?
4

巧练一:

2 0 ? 96000 ? (1 ? 0.292 ? 6 ? 0.005) ? 126720 ? 127000. 0 8 如图所示为三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) , | ? |? ? , A ? 0) 的图象的一 ( 0 2 5 y 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 2 15 3 2

3?

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部分,则此函数的周期 T 可能是( A. C. ?
4?



B. 2? D. 11?
8

巧练二: (全国卷)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长
E 为 3 的正方形,EF∥AB,EF ? 3 ,EF 与面 ACF 的距离为 2,则该多面体

2

的体积为( (A) 9 (C)6
2

) (B)5 (D) 15
2
A

D C

B

十一、参数法 在解题过程中, 适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量, 使得原式中仅含有这些新变量,以此作为媒介,在进行分析和综合, 然后对新变量求出结果,从而解决问题的方法叫参数法。 【例 1】 (2008 年,安徽卷)设椭圆 C : x 2 ? y2
a b
2 2

? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且

左焦点为 F1 (?

2, 0)

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A, B 时, 在线段 AB 上取点 Q ,满足
??? ??? ? ? ???? ??? ? AP ? QB ? AQ ? PB

,证明:点 Q 总在某定直线上。

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?c 2 ? 2 ? 【巧解】(1)由题意: ? 22 ? 12 ? 1 ? ?a b ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?
x2 y 2 ? ?1 4 2

,解得 a2 ? 4, b2 ? 2 ,所求椭圆方程为

(2) 由

??? ??? ? ? ???? ??? ? AP ? QB ? AQ ? PB

得:| AP | ? | AQ | 设点 Q、A、B 的坐标分别
| PB | | QB |
??? ??? ???? ??? ? ? ? AP , PB , AQ , QB

为 ( x, y), ( x1, y1 ), ( x 2 , y2 ) 。由题设知

??? ? ???? AP AQ 均不为零,记 ? ? ??? ? ??? ? ? PB QB
??? ? ??? ???? ? ??? ?

,

则 ? ? 0 且 ? ? 1 ,又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ? QB , 于是
4? x1 ? ? x2 1? ?



1?

y1 ? ? y2 1? ?



x?

x1 ? ? x2 1? ?



y?

y1 ? ? y2 1? ?

从而

x12 ? ? 2 2 2 x ? 4 x , ?? ① 2 1? ?

y12 ? ? 2 2 2 y ? y , ?? ② 2 1? ?

又点 A、B 在椭圆 C 上,即
x12 ? 2 y12 ? 4,??



2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,?? ④

① ? ② ? 2 并 结 合 ③ , ④ 得 4 x ? 2 y ? 4 , 即 点 Q( x, y)总 在 定 直 线
2 x ? y ? 2 ? 0 上。

【例 2】 (2004 年,辽宁卷)设椭圆方程为 x 2 ? y

2

4

? 1 ,过点

M(0,1)
2

的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点,点 P 满足 OP ? 1 (OA ? OB) , 点N 的坐标为 ( 1 , 1 ) ,当 2 2 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程;

【巧解】直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y ? kx ? 1. 记 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ), 由题设可得点 A、B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、( x2 , y 2 ) 是 方程组
?y ? kx?1 ① ? ? 2 y2 ?1 ② ?x ? 4 ?
17

的解.

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将①代入②并化简得, (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,所以
2k ? x1 ? x 2 ? ? , ? ? 4? k2 于是 ? 8 ?y ? y ? . 2 ? 1 4? k2 ?

OP ?

x ? x2 y1 ? y 2 1 ?k 4 (OA ? OB) ? ( 1 , )?( , ). 2 2 2 2 4? k 4? k2

设点 P 的坐标为 ( x, y), 则
?k ? x? , ? ? 4? k2 消去参数 ? 4 ?y ? . ? 4? k2 ?

k 得 4x 2 ? y 2 ? y ? 0



当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程 ③,所以点 P 的轨迹方程为 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0. 巧练一: (2008 年,全国 I 卷)直线 x ? y ? 1 通过点 M (cos? , sin? ) ,则有
a b

( A. a 2 ? b 2 ? 1 B. D.
1 1 ? 2 ?1 2 a b


a2 ? b2 ? 1

C



1 1 ? 2 ?1 2 a b

巧练二: 如图,已知直线 l 与抛物线 x 2 ? 4 y 相切于点 P(2,1),且与 x 轴交于点 A,O 为坐标原点,定点 B 的坐标为(2,0). (I)若动点 M 满足 AB ? BM ?
2 | AM |? 0 ,求点

M 的轨迹 C;

(II)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交 于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

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十二、交轨法 如果所求轨迹是两条动曲线(包括直线)的交点所得,其一般方 法是恰当地引进一个参数,写出两条动曲线的方程,消去参数,即得 所求的轨迹方程,所以交轨法是参数法的一种特殊情况。 【例 1】已知椭圆 C: x 点 F 的距离为
3.
2

a2

?

y2 6 ? 1 (a ? b ? 0)的离心率为 3 b2

,短轴一个端点到右焦

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 经过椭圆的焦点 F 交椭圆 C 交于 A、 两点,分别过 A、 B B 作椭圆的两条切线,A、B 为切点,求两条切线的交点 P 的 轨迹方程。
?c 6 , ? ? 【巧解】 (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 解之得 c ? 2 ?a ? 3, ?

?b ? 1 ,?所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)由(I)知 F ( 求导:
y ? y1 ? ?

2 ,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , P( x0 , y 0 ) ,对椭圆

2x ? 2 yy ? ? 0 3

,即

y? ? ?

x 3y

,则过 A 点的切线方程

PA



x1 ( x ? x1 ) 3 y1

整理得 x1 x ? 3 y1 y ? 3

① 同理过 B 点的切线方程 PB 为

x2 x ? 3 y 2 y ? 3

②,又 P( x0 , y 0 ) 在两切线 PA 、 PB 上,∴ x1 x0 ? 3 y1 y 0 ? 3
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因此,A( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) 两点在均在直线 x0 x ? 3 y 0 y ? 3 上, x 2 x0 ? 3 y 2 y 0 ? 3 , B 又∵ F (
2 ,0) 在直线 x 0 x ? 3 y 0 y ? 3 上,∴ x 0 2 ? 3 y 0 ? 0 ? 3 ,即 x 0 ?

3 2 2

为交点 P

的轨迹方程 【例 2】过抛物线 C: y ? x 2 上两点 M,N 的直线 l 交 y 轴于点 P(0,b). (Ⅰ)若∠MON 是钝角(O 为坐标原点) ,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)若 b=2,曲线 C 在点 M,N 处的切线的交点为 Q.证明:点 Q 必在一条定直线上 运动. 【巧解】 (Ⅰ) 设点 M, 坐标分别为 ( x , x N
1 2 1 2 2 ), ( x 2 , x 2 )( x1 ? x 2 ), 则OM ? ( x1 , x12 ), ON ? ( x 2 , x 2 ).

由题意可设直线 l 方程为 y=kx+b,由? y ? x ?
? ?MON是钝角,? cos ?MON ? OM ? ON | OM | ? | ON |

?? ? k 2 ? 4b ? 0 ? 消去y得x 2 ? kx ? b ? 0,? ? x1 ? x2 ? k ? y ? kx ? b ? x ? x ? ?b ? 1 2
2

? 0, 且 cos ?MON ? ?1.

2 由OM ? ON ? x1 x2 ? x12 x2 ? ?b ? b 2 ? 0, 得0 ? b ? 1.

此时O, M , N三点不共势, cos ?MON ? ?1不成立. ? b的取值范围是(0,1).? 6分 ?

(Ⅱ)当 b=2 时,由(Ⅰ)知 ? x ? ∵函数 y=x2 的导数 y′=2x,

1

? x2 ? k ,

? x1 ? x 2 ? ?b ? ?2,

抛物线在 M ( x1 , x12 ), N ( x2 , x22 ) 两点处切线的斜率分别为 k M 点 M,N 处的切线方程分别为
lM : y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ),
2 l N : y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ). 2 ? ? y ? x1 ? 2 x1 ( x ? x1 ), 由? ( x1 ? x2 ), 解得交点Q的坐标( x, y )满足 2 ? y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ) ? x1 ? x2 ? k ? , ?x ? , ?x ? 即? 2 2 ? ? y ? x1 ? x2 , ? y ? ?2, ? ?

? 2 x1 , k N ? 2 x2 , ∴在

? Q点在定直线y ? ?2上运动.

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巧练一:已知定点 A(1,0)和定直线 x ? ?1 上的两个动点 E、F,满足
AE ? AF ,动点

P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 O 为坐标原点).

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过点 M (1,0) 与轨迹 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B 作轨迹 C 的两条切线,A、B 为切点,求两条切线的交点 P 的 轨迹方程。 巧练二:如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD ⊥AB,P 是半圆弧上一点,∠POB=30°. 曲线 C 是满足||MA|-|MB|| 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F. 分别过 E、F.作轨迹 C 的两条切线,E、F.为切点, 求两条切线的交点 Q 的轨迹方程。

十三、几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规 律,然后得出题目结论的方法叫做几何法。 【例 1】(2008 年,浙江卷)已知 a 、 b 是平面内两个互相垂直的单位向 量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0, 则 | c | 的最大值是( (A)1 (B)2 (C)
2


2 2

(D)

【巧解】不妨设以 a 、 b 所在直线为 x 轴, y 轴,且 a ? (1,0) , b ? (0,1) , y
c ? ( x, y ) 由已知 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 得 a ? b ? (a ? b) ? c? | c | 2 ? 0 ,
O 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 21 C

|c|
x

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整理得 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 即 ( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 1 ) 2 ? 1 ,所以向量 c 的坐标是以 ( 1 , 1 ) 为圆心,
2 2 2 2 2
2 2

为半径的一个圆且过原点, | c | 的最大值即为圆的直径为 故

故本 2,

题选(C) 【 例 2 】 2008 年 , 江 苏 卷 ) 若 AB=2 , AC= ( 值 .
2 BC
2 BC, 则S ?ABC

的最大

【巧解】 建立如图平面直角坐标系, C ( x, y) ,A(0,0) ,B(2,0) , AC ? 设 由 即 | AC |?
2 | BC | ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 2) 2 ? y 2



y

C ( x, y )

化简得 x 2 ? 8x ? y 2 ? 8 ? 0
A

D(4,0)
B(2,0) x

配方得 ( x ? 4)

2

? y ? 8 ,所以 C 点轨迹是以 D(4,0) 为圆心,
2

2 2 为半径的一个圆(除去与 x 轴的两个交点) ,所以当 C 点纵坐标绝对

值为 2

2 ,即 | y |? 2 2 时, S ?ABC 有最大值为
A(m ? 1 1 ,m ? ) m m

2?2 2 ? 2 2 ,所以答案为 2 2 2

巧练一:已知 为 .

, B(1,0) , 其 中 m ? 0 , 则 | AB | 的 最 小 值

巧练二:已知实数 x 、 y 满足 大值等于 .

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 6 ,则 2 x ? y 的最

十四、弦中点轨迹法 有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦; 平行弦的中点轨迹;过定点的弦重点轨迹。 “点差法”解决有关弦中点 问题较方便,要点是巧代斜率。 【例 1】 (2009 年高考海南、 宁夏卷) 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,
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焦点为 F (1,0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的 中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为 .

【巧解】由 F (1,0) 知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 代入抛物线方程则有: y12 ? 4x1 , y 22 ? 4x2 ,两式相减有 y12 ? y 22 ? 4( x1 ? x2 ) , 即 y1 ? y 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 4 ,又
x1 ? x 2

y1 ? y 2 ? 4 ,∴ 4k ? 4 ,即 k ? 1 。

故 l AB : y ? 2 ? x ? 2 ,即 y ? x ,∴本题应填 y ? x 【例 2】椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A 、 B 两点,若过原点与线 段 AB 中点的直线的倾斜角为 30 0 ,则 a 的值为
b


3



(A)

3 4

(B)

3 3

(C)

3 2

(D)

【巧解】设 AB 的中点为 M ( x0 , y 0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2x0
?ax 2 ? by12 ? 1 y1 ? y 2 ? 2 y 0 ,又 ? 12 ,两式相减,得 2 ax2 ? by2 ? 1 ?

a( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? b( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ,

即 2ax0 ( x1 ? x2 ) ? 2by0 ( y1 ? y 2 ) ? 0 ,∴ ∴
ax0 y 3 ? 1 ,又 0 ? tan 30 0 ? x0 3 by 0

ax y1 ? y 2 ? ? 0 ? ?1 x1 ? x 2 by0
3 ,故选(B) 3

,∴ a ?
b

巧练一:若椭圆 mx 2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点,过原点 与线段 AB 中点的直线的斜率为 巧练二:若椭圆 x 率是为 .
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2

2 2

,则 n 的值为
m

.

36

?

y2 ? 1 的弦被点 P(4,2) 平分,则此弦所在直线的斜 9

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十五、比较法 现实世界的同类量之间,有相等关系,也有不等关系。两个可以 比较大小的量 a 和 b , a ? b ? 0 ,a ? b ? 0 ,a ? b ? 0 , 若 则它们分别表示 a ? b ,
a ? b ,a ? b ,我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相

等的方法叫做差式比较法;当两个量均为正值时,有时我们又可以根 据 a ? 1 ,a ? 1 或 a ? 1 来判断 a ? b ,a ? b ,a ? b , 这个方法叫做商式比较法。
b b b

这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。 比较法之一(作差法 0 步骤:作差——变形——定号——结论 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 (2)变形:常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成 “积” 。 (3)定号:就是确定是大于 0 ,还是等于 0 ,还是小于 0 ,最后下结 论。 概括为“三步,一结论” ,这里的“定号”是目的, “变形”是关键。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以把式子灵活变形,通过作 商或将它们的平方差来比较大小。 【例 1】已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上 (1)求 ?a n ?的通项公式; (2)若函数 f (n) ? 值. 【巧解】 (1)?点 P(an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,即 an?1 ? an ? 1且 a1 ? 1
?数列 {a n } 是以 1为首项, 1 为公差的等差数列
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1 1 1 ? ? ... ? (n ? N , n ? 2) ,求函数 f (n) 的最小 n ? a1 n ? a 2 n ? an

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? an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n

? an ? n

1 1 1 , ? ? ?? n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? ? ? ?? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2 n ? 2 2 n ? 2 n ? 1 7 ? f (n) 是单调递增的,故 f (n) 的最小值是 f (2) ? 12

(2)? f (n) ?

【例 2】 (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ?3x 2 ? 6 x ? 2.S n 是数列 {a n } 的前 n 项和, 点(n,Sn) (n∈N*) ,在曲线 y ? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 bn
f ( x) ? 2 上,求

an. ,且 Tn 是数列{cn}的前

a ?b 1 ? ( ) n ?1 , c n ? n n 2 6

n 项和.试问 Tn 是否存在最大值?若存在, 请求出 Tn 的最大值, 若不存 在,请说明理由. 【巧解】 (Ⅰ)点(n,Sn)在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,所以 sn ? ?3n2 ? 6n. 当 n=1 时,a1= S1=3,当 n≥2 时,an= Sn- Sn-1=9-6n,
? an ? 9 ? 6n.

1 1 9 ? 6n 1 n?1 1 bn ? ( )n?1 , cn ? anbn ? ( ) ? (3 ? 2n)( ) n , 2 6 6 2 2 1 1 1 ?Tn ? c1 ? c1 ? ? ? cn ? ? ( )2 ? ? ? (3 ? 2n)( ) n . 2 2 2 利用错位相减法,? Tn ? (2n ? 1)( 1 )n ? 1. 2 1 n 1 ? Tn ? 1 ? (2n ? 1)( ) ? 0, Tn?1 ? 1 ? (2n ? 3)( ) n ?1 ? 0, 2 2 1 (2n ? 1)( ) n Tn ? 1 2 ? 1, ? ? Tn ?1 ? 1 (2n ? 3)( 1 ) n ?1 2

(Ⅱ)?

? Tn ?1 ? 1 ? Tn ? 1, 1 ? Tn ?1 ? Tn ? ? ? T1 ? . 2
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存在最大值 T1 ? 1 .
2

巧练一: (2005 年,全国卷)若 a ? ln 2 , b ? ln 3 , c ? ln 5 ,则
2 3 5

( C .

) c<a<b

A.a<b<c D.b<a<c

B.c<b<a

巧练二:已知函数 f ( x) ? a ? 2 x ? b 的图象过点 A(1, 3 ), B(2, 5 ).
2 2

(Ⅰ)求函数 y ? (Ⅱ)记 a n 使得 (1 ?
? 2f
?1

f (x) 的反函数 y ? f
(n)

?1

( x) 的解析式;

(n ? N *) ,是否存在正数

k, k 的最

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? k 2n ? 1对n ? N * 均成立.若存在, 求出 a1 a2 an

大值;若不存在,请说明理由. 十六、基本不等式法 借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本 不等式。常用的基本不等式有下面几种形式:①若 a 、 b ? R ,则 (当且仅当 a ? b 时取等号) ,反之 ab ? a 2 ? b 2 ? 2ab , 若 a ? 0 、 b ? 0 ,则 a ? b ? 2
ab ? (
ab

a2 ? b2 2

也成立,②

, (当且仅当 a ? b 时取等号) ,反之

a?b 2 (当 ) 也成立。③若 a 、b 、c 都是正数,则 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc , 2

a3 ? b3 ? c3 且仅当 a ? b ? c 时取等号) ,反之 abc ? 2

也成立。④若 a 、 b 、

(当且仅当 a ? b ? c 时取等号) ,反之 c 都是正数,则 a ? b ? c ? 33 abc ,
abc ? ( a?b?c 3 ) 也成立。对于公式 a 2 ? b 2 ? 2ab 及公式 a ? b ? 2 ab 的理 2

解,应注意以下几点: ①两个公式成立的条件是不同的,前者只要求 a 、 b 是实数, 而后者强调 a 、 b 必须是正数。②要对两个公式的等号及“当且仅
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当 a ? b 时取等号”的含义要有透彻的理解并会在函数、三角函数、 解析几何等知识中灵活应用。 解题功能及技巧是:①二、三元不等式具有将“和式”转化为 “积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。②在创设应 用不等式的使用条件时,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技 巧。③“和定积最大,积定和最小” ,即 n 个 (n ? 2,3) 正数的和为定 值,则可求积的最大值,积为定值,则可求和的最小值。应用此 结论求某些函数最值要注意三个条件:就是“一正——各项都是 正数;二定——积或和是定值;三等——等号能否取到” ,求最值 时,若忽略了上述三个条件,就会出现错误,导致解题失败。必 要时要做适当的变形或换元,以满足上述条件。 【例 1】 (2008 年,重庆卷)函数 f(x)= 域是( )
3 3 (D)[- 2 , 2 ] 3 3
sin x 5 ? 4 cos x sin x 5 ? 4 cos x

(0≤x≤2 ? )的值

(A)[- 1 , 1 ]
4 4 (C)[- 1 , 1 ] 2 2

(B)[- 1 , 1 ]

【巧解】∵ f ( x) ?

,∴

sin 2 x ? cos2 x ? 1 f ( x) ? ? 5 ? 4 cos x 5 ? 4 cos x
2

令 t ? 5 ? 4 cos x ,∵ 0 ? x ? 2? , ? 1 ? cos x ? 1,∴ t ? 0 ∴ cos x ? t ? 5 ,∴ ? cos
4
?? 1 9 1 (2 t ? ? 10) ? 16 t 4

x ?1 ? 5 ? 4 cos x
2

?(

5?t 2 ) ?1 1 9 4 ? ? (t ? ? 10) t 16 t
t

,当且仅当 t ? 9 ,即 t ?3 时取等号,此时
3 4 2 f ( x) ? 1 ,故 f (x) 的 2

cos x ? ?

1 ,即 x ? 2? 2 3

或 4? ,∴ f 2 ( x) ? 1 ,因而 ? 1 ?

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值域为[- 1 , 1 ]
2 2

【例 2】 (2008 年,辽宁卷)设 x ? (0, ? ), 则函数 y ? 2 s in
2

x ?1 的最小值 s in2 x
2



.

【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得:
y? 2 sin 2 x ? 1 2 sin 2 x ? 1 3 sin 2 x ? cos2 x 3 tan 2 x ? 1 ? ? ? sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 tan x

= 3 tan x ?
2

1 , 2 tan x

∵ x ? (0, ? ), ∴ tan x ? 0 ,利用均值定理, y ? 2
2 tan 2 x ?

3 1 tan x ? ? 3 ,当且仅当 2 2 tan x

1 时取“=” ,∴ y min ? 3 ,所以应填 3 . 3
x2 ? x ?1 ( x ? 0) 的最小值是 x 2 ? 2x ? 1

巧练一:函数 y ?



巧练二:求函数 y ? x2 (1 ? 5x)(0 ? x ? 1 ) 的最大值。
5

十七、综合法 利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质, 推导出所要证明 的不等式,这个证明方法叫综合法。 【例 1】已知 a, b 是正数,且 a ? b ? 1 , x, y ? (0, ??) ,求证: x ? y ? (
x y
a ? b )2

【巧证】左 ? x ? y ? ( x ? y) ? ( a ? b ) ? a ? b ? bx ? ay ? a ? b ? 2
x y y x

ab ? ( a ? b ) 2

? 右,当且仅当

2 ay bx ,即 x 2 ? a 时,取“=”号,故 x ? y ? ( a ? b )2 。 ? y b x y

【例 2】已知 a, b, c 是正数,且 a ? b ? c ? 1,求证: 1 ? 1 ? 1 ? 9
a

b c 【巧证】 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 3 ? ( b ? a ) ? ( c ? a ) ? ( c ? b ) a b c a b c a b a c b c 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9 ,当且仅当 a ? b ? c ? 时取“=”号。 3 巧练一:已知函数 f ( x) ? 1 x 2 ? ln x .设 g ( x) ? f ?( x) , 2
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求证: [ g ( x)] n ? g ( x n ) ? 2 n ? 2 (n ? N * ) . 巧练二:已知 a, b, c, d 都是实数,且 a 2 ? b2 ? 1 , c2 ? d 2 ? 1,求证: | ac ? bd |? 1 十八、分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等 式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备 的问题,如果能够肯定这些充分条件都具备,那么就可以判定原不等 式成立,这种方法通常叫分析法。 注意: ①分析法是 “执果索因” 步步寻求不等式成立的充分条件, , 可以简单写成
B ? B1 ? B2 ? ? Bn ? A ,②分析法与综合法是对立统一的两种方法。

综合法是“由因导果” ;③分析法论证“若 A 则 B ”这个命题的证明模 式(步骤)是: 欲证明命题 B 成立,只须证明命题 B1 成立,? ,从而有 ? ,只须证明命 题 B2 成立,从而又有 ? ,只须证明命题 A 成立,而已知 A 成立,故 B 必 成立。④用分析法证明问题时,一定要恰当用好“要证”“只须证” , , “即证”“也即证”等词语。 , 【例 1】求证 【巧证】∵ 只须证 ( 也即证 成立。 【例 2】设 a ? 0 , b ? 0 ,且 2c ? a ? b ,证明 c ? 【巧证】要证 c ?
c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab
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3? 7 ?2? 6

3 ? 7 ? 0 , 2 ? 6 ? 0 ,要证 3 ? 7 ? 2 ? 6 ,

3 ? 7 ) 2 ? (2 ? 6 ) 2 ,即证 10 ? 2 21 ? 10 ? 2 24

21 ? 24 , 21 ? 24 , 21 ? 24 显然成立, ∵ ∴原不等式 3 ? 7 ? 2 ? 6

c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab

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只须证 ?
c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab ,即证 | a ? c |? c 2 ? ab

两边平方得: a 2 ? 2ac ? c 2 ? c 2 ? ab ,也即证 a 2 ? ab ? 2ac ,∵ a ? 0 且 2c ? a ? b ∴ a 2 ? ab ? 2ac 显然成立,∴原不等式成立。 巧练一:求证
3? 7 ?2 5

巧练二:已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 1 ,试证明: (a ? 1 )(b ? 1 ) ? 25
a b 4

十九、放缩法 欲证 A ? B ,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使 得 B ? B1 , B1 ? B2 ,。 Bi ? A 或 A ? A1 , A1 ? A2 ,。 Ai ? B ,在利用传递性, 。。 。。 达到欲证的目的,这种方法叫放缩法。放缩法的实质是非等价转化, 放缩没有一定的准则和程序,需按题意适当放缩否则是达不到目的, 此方法在数列与函数、不等式综合问题中证明大小关系是常用方法。 放缩法的方法有: (1)添加或舍去一些项,如:
n(n ? 1) ? n
a 2 ? 1 ?| a | ;

(2)将分子或分母放大(或缩小) (3)利用基本不等式,如: (4)利用常用结论:① ② ③
1 1 1 1 ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k

n(n ? 1) ?

n ? (n ? 1) 2
1 ? 1 2 k

k ?1 ? k ?

k ?1 ? k





1 1 1 1 ? ? ? (程度大) 2 k (k ? 1) k k ? 1 k

1 4 4 4 1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2( ? ) (程度小) 2 2k ? 1 2k ? 1 k 4k 4k ? 1 (2k ? 1)( 2k ? 1)

2k 2k 2 k ?1 1 1 ? k ? k ?1 ? k ④ k 2? k k k ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

【例 1】已知数列 {an }中, a1 ? 2, an an?1 ? an?1 ? 2an (n ? N *).
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(1)求 {a n } 的通项公式; (2)设 bn ? an (an ? 1)(n ? N *), S n是数列{bn }的前n项和, 证明 : 3 ? S n ? 3.
4

【巧解】由 a n an?1 ? an?1 ? 2an , 得1 ? 即
1 a n ?1 ?1 ?

1 2 ? a n a n ?1

1 1 1 1 1 1 2n ( ? 1). ? ? 1 ? ? ? ( ) n ?1 ? ? n , ? a n ? n . 2 an an 2 2 2 2 ?1

(2)当 n=1 时, S1 ? a1 (a1 ? 1) ? 2,
2n 2n 2n 3 ( n ? 1) ? n ? ? S1 ? 3, ? n ? 2时, bn ? a n (a n ? 1) ? n 2 ?1 2 ?1 (2 ? 1) 2 4 ? 2n 2 n ?1 1 1 ? n ? n ?1 ? n , n n n ?1 (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

? Sn ? 2 ? ( ? 3?
n

1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n?1 ? n ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

1 ? 3. 2 ?1
? 2n (2 n ? 1) ? 1 1 1 ? ? n ? n n 2 n 2 (2 ? 1) (2 ? 1) 2 ? 1 (2 ? 1) 2

又? n ? N * 时, bn

1 1 1 1 [(1 ? ( ) n ] [1 ? ( ) n ] 1 1 2 2 ?4 4 ? n ? ( n ) ? Sn ? 2 1 1 2 2 1? 1? 2 4 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? [1 ? ( ) n ] 2 3 4 4 1 1 1 4 1 1 1 3 ? ? ( )n ? ? ( )n ? ? ? ? ? . 3 2 3 4 3 2 3 4 4 3 ?当n ? N * 时, 都有 ? S n ? 3. 4

【例 2】已知数列 ?a n ?的各项均为正数, S 为其前n项和, 对于任意n ? N , 满足关系
* n

S n ? 2a n ? 2

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn,且 bn
? 1 (log 2 a n ) 2

,求证:对任意

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正整数 n,总有 Tn ? 2; 【巧解】 (Ⅰ)解:? S n ? 2an ? 2(n ? N * ),
? S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2(n ? 2, n ? N * )




(n ? 2, n ? N * )

①—②,得 an
? a n ? 0, ?

? 2a n ? 2a n ?1 .

an ? 2. a n ?1

(n ? 2, n ? N * )

即数列 ?a n ?是等比数列.

? a1 ? S1 ,

? a1 ? 2a1 ? 2,即a1 ? 2. ? a n ? 2 n.( n ? N * )

(Ⅱ)证明:∵对任意正整数 n,总有 bn
? Tn ?

?

1 1 ? 2. 2 (log 2 a n ) n

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 2 n

? 1?1?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ? ? 2. 2 2 3 n ?1 n n

巧练一:已知数列{ a n }的通项为 a n ,前 n 项和为 S n ,且 a n 是 S n 与 2 的等 差中项;数 列{ bn }中, b1 ? 1, 点 P( bn , bn?1 )在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, (Ⅰ)求数列{ a n }、{ bn }的通项公式 a n , bn ; (Ⅱ)设{ bn }的前 n 项和为 Bn ,试比较
1 1 1 ? ??? B1 B2 Bn

与 2 的大小;

巧练二:已知数列 {an }和{bn },{an }的前n项和为S n , a2 ? 0 ,且对任意 n ? N ? ,都有
2S n ? n(a n ? 1), 点列Pn (a n , bn )都在直线y ? 2 x ? 2 上.

(1)求数列{ a n }的通项公式; (2)求证:
1 | P1 P2 | 2 ? 1 | P1 P3 | 2 ??? 1 | P1 Pn | 2 ? 2 (n ? 2, n ? N ? ) 5

二十、反证法
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从否定命题的结论入手, 并把对命题结论的否定作为推理的已知 条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、公理、定理、法 则或已经证明为正确的命题等相矛盾,矛盾的原因是假设不成立,所 以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。 基本证明模式是:要证明 M ? N ,先假设 M ? N ,由已知及性质推出矛 盾,从而肯定 M ? N ,适用范围:①否定性命题;②唯一性命题;③含 有“至多”“至少”问题。④根据问题条件和结论,情况复杂难于入 、 手,可考虑试用反证法。 反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证 明方法,即:否定结论 ? 推导出矛盾 ? 肯定结论成立,应用反证法证 明的主要三步是:第一步,反设——作出与求证结论相反的假设;第 二步——归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出 矛盾;第三步——肯定结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。 【例 1】若 0 ? a ? 2, 0 ? b ? 2, 0 ? c ? 2, 证明 时大于 1
?(2 ? a )b ? 1 【巧证】假设 ?(2 ? b)c ? 1 ,那么 (2 ? a) ? b ? (2 ? a)b ? 1 ;同理 (2 ? b) ? c ? 1 ? 2 2 ?( 2 ? c ) a ? 1 ?

(2 ? a)b , (2 ? b)c , (2 ? c)a 不能同

( 2 ? c) ? a ? 1 ,上述三式相加得 3 ? 3 ,矛盾,故假设不成立,原命题成 2

立 【例 2】求证: y ? sin | x | 不是周期函数 【巧证】假设函数 y ? sin | x | 是周期函数,T 是它的一个周期 (T ? 0) ,即 对任意 x ? R 都有 sin | x ? T |? sin | x | 成立,令 x ? 0 ,得 sin | T |? sin | 0 |, 即 sin | T |? 0 , ∴ T ? n? (n ? N ? ) ,分两种情况讨论:
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(1) n ? 2k (k ? N ? ) , n 若 则s i 有 sin | ? 3?
? 2k? |? sin | ?

取 | x ? 2k? |?n | x | 对任意 x ? R 都成立, x ? ? s i

3? 3? 3? |? sin ? ?1 ,即 sin(2k? ? ) ? ?1 , 2 2 2 2 3? 3? 3? 而 sin(2k? ? ) ? sin(? ) ? ? sin ? 1 ,∴ T ? 2k? (n ? N ? ) 不是该函数的周期。 2 2 2

3? 2



(2)若 n ? 2k ? 1(k ? N ? ) ,则有 sin | x ? (2k ? 1)? |? sin | x | 对任意 x ? R 都成立, 取 x ? ? ,有有 sin | ?
2 2 2 2 而 sin(2k? ? 3? ) ? sin(3? ) ? ?1 ,∴ T ? (2k ? 1)? (n ? N ? ) 不是该函数的周期。 2 2 ? (2k ? 1)? |? sin |

?

|? sin

?

? 1 ,即 sin(2k? ?

3? ) ?1, 2

由(1)和(2)说明 T ? n? (n ? N ? ) 不是该函数的周期。故假设不成立, 从而命题得证。 巧练一:设 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,求证 | f (1) | 、 | f (2) | 、 | f (3) | 之中至少有一个不 小于 1
2

巧练二:若下列方程: x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 ,
x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。

二十一、换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它, 从而使问题得到简化,这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代 换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件 显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复 杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理 式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、 三角等问题中有广泛的应用。 换元的实质是转化, 关键是构造元和设元, 理论依据是等量代换, 目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而 使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元的方
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法有: (1)局部换元,局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中, 某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有 时候要通过变形才能发现。例如解不等式 4 x ? 2 2 ? 2 ? 0 ,先变形为设 (2) t ? 2 x (t ? 0) ,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已 知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。 如求函数 y ?
2
x ? 1? x

的值域时,易发现 x ? [0,1] 设 x ? sin 2 ? ,

? ? ? [0, ] ,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,

其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如:已知
x2 ? y2 ? a2

,可设 x ? a cos? , y ? a sin ?

(0 ? ? ? 2? ) (0 ? ? ? 2? ,0 ? r ? 1)

已知 x 2 ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ?

x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? (0 ? ? ? 2? ) a b

已知 x 2
a

2

?

y2 ? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan ? b2

(3)均值换元,如遇到 x ? y ? S 形式时,设 x ? S ? t
2

y?

S ?t 等 2

等。 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元 后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取 值范围,不能缩小也不能扩大。 【例 1】 (2008 年,江西卷)若函数 y ?
F ( x) ? f ( x) ? 1 f ( x)

1 f (x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 2

的值域是(
3


2 3

A. [ 1 ,3]
2

B. [2, 10 ]

C. [ 5 , 10 ]

D.

[3,

10 ] 3

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【巧解】令 f ( x) ? t ,t ? [ 1 ,3] ,问题转化为求函数 y ? t ? 1 在 t ? [ 1 ,3] 的值域, 于是由函数
y ? [2, 2 t 2 1 1 y ? t ? 在 [ ,1] 上 为 减 函 数 , 在 [1,3] 上 为 增 函 数 ,得 t 2

10 ] ,故本题选 3

B
sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x
(0 ? ? ? 2? ) 的值域

【例 2】 (2008 年,重庆卷)函数 f ( x) ? 是() (A)[- (C)[-
2 ,0 ] 2

2 (B)[-1,0] 0 0 (D)[- 3,0 ] 8 0 sin x ? 1 8 2 2 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2 sin x ? 2 0 7

2,0 ]

【巧解】 f ( x) ?
?

sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x
sin x ? 1

?

(sin x ? 1) 2 ? (cos x ? 1) 2

,当 sin x ? 1 时,

原式 ? ?
1? (

1 cos x ? 1 2 ) sin x ? 1

,令 t ? cos x ? 1 ,即 t sin x ? cos x ? t ? 1,
sin x ? 1



t 2 ? 1 sin(x ? ? ) ? t ? 1 ,即 sin(x ? ? ) ?

t ?1 t ?1
2

,其中 tan? ?| 1 | , 0 ? ? ? ?
t

2
1 1? t2 ?0,

又 0 ? ? ? 2? ,∴ | sin(? ? ? ) |? 1 ,即 |

t ?1 t2 ?1

|? 1 ,解之得 t ? 0 ,∴ ? 1 ? ?

当 sin x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,综上知 f (x) 的值域为 [?1,0] ,故本题选 B 巧练一:函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 2 的值域是 A. [1,??) B. (2,??) C. (3,??) ( D. [4,??) ) )

巧练二:(2005 年,福建卷)设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是( A. ? 2
2

B. ? 5

3 3

C.-3

D. ? 7

2

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共 98 种解题方法,其他略

第十一章 不等式

难点巧学

一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用 不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但 灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性. 1 1 倒数法则:若 ab>0,则 a>b 与 < 等价。 a b 此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如: (1998 年高 1 考题改编)解不等式 loga(1- x )>1. 1 1 分析: a>1 时, 当 原不等式等价于: x >a,即 x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 11 1 1 <0,从而 1-a, x 同号,由倒数法则,得 x>1-a; x 1 1 式等价于 0<1- x <a,∴1-a< x <1, 1 同号,由倒数法则,得 1<x<1-a;
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当 0<a<1 时,原不等

1 1 ∵0<a<1,∴ 1-a>0, x >0, 从而 1-a, x

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1 1 综上所述,当 a>1 时,x∈(1-a,+∞);当 0<a<1 时,x∈(1,1-a). 注:有关不等式性质的试题,常以选择题居多,通常采用特例法,排除 法比较有效。 二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用 绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。这里 a,b 既可以表 示向量,也可以表示实数。 当 a,b 表示向量时,不等式等号成立的条件是:向量 a 与 b 共线; 当 a,b 表示实数时, 有两种情形: (1) ab≥0 时, 当 |a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当 ab≤0 时,|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单 地说就是当 a,b 同号或异号时, 不等式就可转化为等式 (部分地转化) , 这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如: 1 1 若 1<a<b,则下列结论中不正确的是( A 、 logab>logba B 、 | logab+logba|>2 ) C 、 (logba)2<1 D、

|logab|+|logba|>|logab+logba| 分 析 : 由 已 知 , 得 0<b<a<1, ∴ a,b 同 号 , 故

|logab|+|logba|=|logab+logba|,∴D 错。 [答案] D 注:绝对值不等式是一个十分重要的不等式,其本身的应用价值 很广泛,但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下 的讨论,因此利用等号成立的条件(a,b 同号或异号)是解决这一类问 题的一个巧解。 三、 “抓两头 看中间” ,巧解“双或不等式”——不等式的解法
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(1)解不等式(组)的本质就是对不等式(组)作同解变形、等 价变换。 (2)多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向 不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用 画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解 集呢?下面的方法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定, 即先将同向不等式“合并” (求交集) ,此时“小于小的,大于大的” ; 最后余下的两个异向不等式,要么为空集,要么为两者之间。 x<1 ① ?x<3 ② ? 如解不等式组:?x>-3 ③ , ?x>0 ④ ?-1<x<2 ⑤ 先由③④(同>)得 x>0(大于大的);再由①②(同<)得 x<1(小于小的); 再将 x>0 与 x<1 分别与⑤作交集,由 x>0 与⑤得 0<x<2;由 x<1 与⑤得 -1<x<1.这样所得的不等式的解集为(0,1). (3)双或不等式组的解集合成
?f1(x)<a或g1(x)>b ? 形如? 的不等式组称为“双或”型不等式组(实际 ? ?f2(x)<c或g2(x)>d

上包括多个“或”型不等式组成的不等式组也在此列) ,这是解不等式 组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定,但学生在 求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法: “抓 两头
?x<a或x>b ? 看中间”如: ! ? ,先比较 a,b,c,d 四个数的大小, a<b<c<d, 如 ? ?x<c或x>d

则其解集中必含有 x<a 或 x>d(即抓两头) ;再看 x>b 与 x<c 的交集,
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若有公共部分,则 b<x<c;若无公共部分,则此时为空集(看中间) ,最 后将“抓两头”和“看中间”的结果作并集即为所求的解集。 四、巧用均值不等式的变形式解证不等式 均值不等式是指: 2+b2≥2ab(a,b∈R) ①; a a+b≥2 ab( a,b∈R+) ②. 均值不等式是高考的重点考查内容,但其基本公式只有两个,在 实际解题时不是很方便。若能对均值不等式进行适当变形,那么在解 题时就能达到事半功倍的效果。 下面的一些变形式在解题时就很有用, 不妨一试。当然你也可以根据需要推导一些公式。如: (1) a2≥2ab-b2 ③; 是将含一个变量的式子,通过缩小变为含两个变量的式子, 体现增元之功效,当然反过来即是减元; a2 (2) b ≥2a-b ④; (a,b>0) 是将分式化为整式,体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如 何解: a2 b2 c2 求证: (1)a +b +c ≥ab+bc+ac;(2) b + c + a ≥a+b+c. (a,b,c>0)
2 2 2

(析: (1) a2≥2ab-b2 得 b2≥2bc-c2 ,c2≥2ac-a2,三式相加整理即 由 a2 得; (2)∵ b ≥2a-b∴同样可得另两式,再将三式相加整理即得) 。 a+b (3)ab≤( 2 )2 ⑤; 利用不等关系实现两数和与两数积的互化; (4) a2+b2 a+b 2 ? 2 ? ab ⑥;(a,b>0)
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利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化; 注:涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分 常见的问题,利用⑤、⑥两式可以使其中的关系一目了然。从解题分 析上看,对解题有很好的导向作用。 x2 y2 (x+y)2 x y (5)若 a,b∈R+,则 a + b ≥ a+b ⑦(当且仅当a=b时取等号); 此式在解题中的主要作用表现在:从左向右看是“通分” (不是真 正的通分)或“合并” ,化多项为一项,项数多了总不是好事;从右向 左看,是“分解”或“拆项” ,实现“一分为二”的变形策略。这在解 不等式相关问题中就很有作为!请看下例: 1 1 2 例:已知-1<a<1,-1<b<1,求证:1-a2+1-b2≥1-ab. 1 1 (1+1)2 4 2 分析:由上不等式,立即得到 1-a2+1-b2≥2-a2-b2≥2-2ab=1-ab。 x2 y2 z2 (x+y+z)2 ⑦式还可推广到三个或更 多字母的情形,即 a + b + c ≥ a+b+c (a,b,c>0); b1 2 b2 2 bn2 (b1+b2+…+bn)2 a1 + a2 +…+ an ≥ a1+a2+…+an (a1,a2,…,an>0) (6) ax+by≤ a2+b2 x2+y2.(柯西不等式) 此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可 以很方便地解决许多问题.如下例: 例: 使关于 x 的不等式 x-3+ 6-x≥k 有解的实数 k 的取值范围是 【 】 A 6- 3 B 3
41

C

6+ 3

D

6

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分析:所求 k 的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯 西不等式得 x-3+ 6-x≤ 2 ( x-3)2+( 6-x)2 = 2 3= 6.∴k≤ 6,∴k

的最大值是 6.填 D. 五、不等式中解题方法的类比应用 1、三种基本方法:比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为 作差比较法和作商比较法,不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛 的应用,同时在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一种重要的 思维方法,在数学的其他章节中也有广泛的应用。 2、放缩法:是不等式证明中一种十分常用的方法,它所涉及的理 论简单,思维简单,应用灵活,因而在解题时有着十分重要的应用。 如果能灵活应用放缩法,就可以达到以简驭繁的效果。

活题巧解

1 1 例 1 若 1<a<b,则下列结论中不正确的是【 ... A logab>logba B | logab+logba |>2

】 C (logba)2<1 D

|logab|+|logba|>|logab+logba| 【巧解】特例法、排除法 1 1 由已知,可令 a=2,b=3,则 logab=log23>1,0<logba=log32<1,于是 A、 B、C 均正确,而 D 两边相等,故选 D。 [答案] D。
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例2
?|x-2|<2 ? 不等式组?log (x2-1)>1的解集为【 ? 2 ?

】 (D) (2,4)。

(A) (0, 3); 【巧解】 排除法

(B) ( 3,2);

(C) ( 3,4);

令 x=3,符合,舍 A、B;令 x=2,合题,舍 D,选 C。 [答案] C。 例 3 已知 y=f(x)是定义在 R 上的单调函数,实数 x1≠x2,λ ≠-1 α = x1+λ x2 x2+λ x1 ,β = ,若|f(x1)-f(x2)|<|f(α )-f(β )|,则【 1+λ 1+λ B.λ =0 C. 0<λ <1 D.λ ≥1 】

A.λ <0

【巧解】 等价转化法 1 x λ 2 x2+λ x1 显然λ ≠0,β = = 1 , ∴ α 、β 分别是以 x1,x2 为横坐 1+λ 1+ λ x1+ 标的点所确定的线段以λ 和 1 为定比的两个分点的横坐标.由题意知, λ

分点应在线段两端的延长线上,所以λ <0,故选 A。 【答案】A。 例 4 0<a<1,下列不等式一定成立的是【 】.

(A) (1+a)(1-a) |+| log(1-a)(1+a)|>2 (B) log(1+a)(1-a)|<| log(1-a)(1+a) |log | | (C)| log(1+a)(1-a)+log(1-a)(1+a)|<| log(1+a)(1-a)|+|log(1-a)(1+a)| (D)| log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)|>| log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)| 【巧解】换元法、综合法
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由于四个选项中只涉及两个式子 log(1+a)(1-a) 和 log(1-a)(1+a),为了 简化运算看清问题的本质,不妨设 x= log(1+a)(1-a),y= log(1-a)(1+a),由 0<a<1 知,x<0,y<0 且 x≠y,于是四个选项便为:A |x|+|y|>2 |x|<|y| C |x+y|< |x|+|y| D |x-y|< |x|-|y| B

这样选 A 就是极自然的事了。 [答案] A。 例 5 已知实数 a,b 满足等式 下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0; ④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
1 (3)x 1 (2)x y

1 a b O x

1 1 (2)a=(3)b, ③0<a<b; 式有 【 】 .

【巧解】数形结合法 1 1 在同一坐标系内同时画出两个函数图象: 1=(2)x,y2=(3)x,(如图)作直 y 线 y=m(m>0 图中平行于 x 轴的三条虚线),由图象可以看到:当 0<m<1 时,0<b<a;当 m=1 时,a=b;当 m>1 时,a<b<0.所以不可能成立的有两个, 选 B。 [答案] B。 例 6 如果数列{an}是各项都大于 0 的等差数列,且公差 d≠0, 则【 】. (A)a1+a8<a4+a5 a1a8=a4a5 【巧解】特例法、排除法 取 an=n,则 a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,∴a1 +a8=a4+a5,故选 B。
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(B)a1+a8=a4+a5

(C)a1+a8>a4+a5

(D)

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[答案] B。 例 7 条件甲:x +y ≤4,条件乙:x +y 么甲是乙的【 】 B、必要不充分 D、既非充分也非必要条件 条件
2 2 2 2

y

≤ 2x, 那
o 1 2x

A、 充分不必要条件 C、充分必要条件 【巧解】数形结合法

画示意图如图。圆面 x +y ≤2x(包括圆周)被另一个圆面 x +y ≤4 包含,结论不是一目了然了吗? [答案] B

2

2

2

2

1 1 1 例 8 已知 a,b,c 均为正实数, 则三个数 a+b, b+ c , c+a与 2 的关系是 【 】 A、都不小于 2 C、都不大于 2 B、至少有一个不小于 2 D、至少有一个不大于 2

【巧解】整体化思想 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将 a+b, b+ c , c+a“化整为零” ,得 a+b+b+ c +c+a= a+a+b+b+c+ c ≥6, 故已知的三个数中至少有一个不小于 2。故选 B。 [答案] B 3x 例 9 解不等式 –1< 2 <1. x -4 【巧解】数轴标根法、等价转化法 原 不 等 式 等 价 于 (x+4)(x-1)(x+1)(x-4)>0,
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( 3x+x -4)(3x-x +4)<0 , 即

2

2

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由数轴标根法,知解集为{x|x<-4 或-1<x<1 或 x>4}。 [答案] {x|x<-4 或-1<x<1 或 x>4} f(x) 注: 可以证明不等式 m< <n 与不等式[f(x)-mg(x)][f(x)-ng(x)]<0 g(x) 等价。 例 10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______. 【巧解】 数形结合法 由数轴上点的意义知,上述不等式的意义是数轴上的点 x 到-2 的 距离不小于到原点的距离。由图形,易知,x≥-1。 [答案] {x|x≥-1} 例 11 已知 c>0,不等式 x+|x-2c|>1 的解集是 R,求 c 的取值范围。 【巧解】等价转化法 要使原不等式的解集为 R,只需不等式中不含 x 即可,故有 x-x+2c>1 1 ∴ c> 。 2 1 2

[答案] c>

注:这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种,显然 简捷、精彩! 例 12 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2 (a<b),方程 f(x)=0 的两实根为 m,n (m<n),试确定 a,b,m,n 的大小关系。
2

【巧解】数形结合法
O ma b n x

令 g(x)= (x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,由 f(x)=0 得

g(x)=2, 因

此 f(x)=0 的两根 m,n 可看成直线 y=2 与 y=g(x)交点的横坐标,画出
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f(x),g(x)的图象,由图象容易得到 m<a<b<n. [答案] m<a<b<n. 例 13 若 0<a<b<c<d,且 a2+d2=b2+c2,求证:a+d<b+c. 【巧解】综合法 由 0<a<b<c<d, 得 d-a>c-b, ∴ (d-a)2>(b-c)2, 又

(a+d)2+(a-d)2=(b+c)2+(b-c)2, 两式相减,得(a+d)2<(b+c)2, [答案] 见证明过程 注:本题的几何意义是:在 RtΔABC 与 RtΔABD 中,其中 AB 为公 共的斜边。若 BC>BD,则 AC<AD. 1 1 1 1 例 14 求征:1+22+32+?+n2<2-n (n≥2,n∈N*). 【巧解】逆用公式法、放缩法 1 逆用数列的前 n 项和的方法来求。设想右端 2-n是某数列{an}的前 1 1 1 1 1 1 n 项和, 即令 Sn=2-n,则 n≥2 时,n=Sn-Sn-1=(2-n)-(2-n-1)=n-1-n=n(n-1), 这 a 1 1 样问题就转化为n2<n(n-1),而这显然。 ∴命题成立。 [答案] 见证明过程 1 1 1 例 15 已知 a>b>c,求证:a-b+b-c+c-a>0. 【巧解】放缩法 ∴ a+d<b+c.

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1 1 1 1 ∵0<a-b<a-c,∴由倒数法则(难点巧学)得 a-b>a-c,而b-c>0,∴ a-b 1 1 +b-c>a-c, ∴原式得证。 [答案] 见证明过程 例 16 已知 a,b,c 均为正数,求证:3( ab)。 【巧解】比较法、基本不等式法 3 3 3 3 ∵ 左边-右边=2 ab+c-3 ab= ab+ ab+c-3 ab≥3 ab-3 ab =0,∴原式成立。 [答案] 见证明过程 1 1 2 例 17 已知-1<a<1, -1<b<1,求证:1-a2+1-b2≥1-ab. 【巧解】构造法、综合法 a1 由无穷等比数列(|q|<1)所有项和公式 S=1-q,得 1 2 4 6 1-a2=1+a +a +a +…; 1 2 4 6 1-b2=1+b +b +b +…, a+b+c a+b 3 - ab)≥2( 3 2

1 1 2 2 3 3 ∴ 1-a2+1-b2=2+( a2+b2)+( a4+b4)+( a6+b6)+…≥2+2ab+2a b +2a b +? 2 =1-ab. [答案] 见证明过程 例 18 已 知 a+b=1(a,b ∈ R) , 求 证 :
o y T Q x

P(-1,-1) 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 48

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9 (a+1)2+(b+1)2≥2。 【巧解】数形结合法。 显然 Q(a,b)是直线 L: x+y=1 上的点, (a+1)2+(b+1)2 表示点 Q 与 P(-1,1) 的距离的平方。如图,设 PT⊥直线 L 于 T,所以|PQ| ≥|PT| ,又 |-1-1-1| 2 9 9 2 2 |PT| =( ) = ,∴|PQ| ≥ 2 2 1+1 ∴原式成立。 [答案] 见证明过程 π 例 19 若 0≤θ ≤ 2 ,求证:cos(sinθ )>sin(cosθ ). 【巧解】单调性法 、放缩法 π π π ∵cosθ +sinθ = 3sin(θ + 4 )≤ 2< 2 ,∴cosθ < 2 -sinθ , π π π π 又∵0≤θ ≤ 2 ,∴cosθ ∈[0,1], 2 -sinθ ∈[ 2 -1, 2 ], π ∴ sin(cosθ )<sin( 2 - sinθ )= cos(sinθ ).(单调性) [答案] 见证明过程 例 20 已 知 f(x)= f(a)+f(c)>1. 【巧解】基本不等式法、放缩法 可以证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数。 ∵ c=2 1 ≥2 b(a-b) 1 =2 a-b+b 2 ( ) 2
49
2 2

x , 若 a>b>0,c=2 x+1

1 ,求证: b(a-b)

4 4 4 2= >0,∴ c≥ , a a a

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4 a 4 4 a a 4 a ∴f(c)≥f( ),而 f(a)+f(c)≥f(a)+f( )= + = + > a a a+1 4 a+1 a+4 a+4 +1 a + 4 =1. a+4 [答案] 见证明过程 例 21 若关于 x 的不等式 x2+2ax-2b+1≤0 与不等式-x2+(a-3)x+b2-1 ≥0 有相同的非空解集,求 a,b 的值。 【巧解】等价转化法,数形结合法 将 y= x2+2ax-2b+1 与 y=-x2+(a-3)x+b2-1 两 式 相 加 , 得

2y=(3a-3)x+b2-2b,此即为直线 MN 的方程(其中 M、N 分别为两函数图 象与 x 轴的两个交点) ;另一方面,由题意知,MN 即 x 轴,其方程为 y=0,比较两式的系数得,3a-3=0,b2-2b=0,从而易得 a=1,b=0 或 2,特别 地当 a=1,b=0 时,两不等式的解集为{-1},也符合题意。 [答案] a=1,b=0 或 2。

例 22 设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围。 【巧解】等价转化法 解:∵f(x) 是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|), ∴ f(1-m)<f(m)等价于 f(|1-m|)<f(|m|) 又当 x∈[0,2]时,f(x)单调递减,∴ |1-m|>|m|且-2≤1-m≤2 且 -2≤m≤2

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1 解得 -1≤m<2。 1 [答案] -1≤m<2. 注:本题应用了偶函数的一个简单的性质,从而避免了一场“大 规模”的讨论,值得关注。 1 x3+2x+3 例 23 解不等式:2<2x3+x+1 <3. 【巧解】构造法,定比分点法 1 x3+2x+3 把2、2x3+x+1 、3 看成是数轴上的三点 A、P、B,由定比分点公式 x3+2x+3 1 2x3+x+1-2 5 知 P 分所成的比 t>0,即 x3+2x+3>0,化简得 x(3x+5)>0,∴ x∈(-∞, )∪ 3 3-2x3+x+1 (0,+∞)。 5 [答案] x∈(-∞, )∪(0,+∞)。 3 例 24 已知 x,y,z 均是正数,且 x+y+z=1,求证: 1-3x + 1-3y + 1-3z ≤ 6。 【巧解】配凑法、升幂法 不等式两边配上 配 2 吗?) 3 2 3 2 3 2 3
51
2 2 2

2 , 再运用均值不等式升幂。 (你知道为什么要 3

1-3x +

2

1-3y +

2

2 2 2 2 +1-3x +1-3y 3 3 2 1-3z ≤ + + 2 2

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2 2 +1-3z 3 2 1 5-3× 2 2 2 3 5-3(x +y +z ) = ≤ =2, ∴原式成立。 2 2 [答案] 见证明过程 例 25 设 a,b,c 为Δ ABC 的三条边,求证:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca). 【巧解】综合法 ∵ a+b>c,b+c>a,c+a>b, ∴ 三 式 两 边 分 别 乘 以 c,a,b 得 ac+bc>c ,ab+ac>a ,bc+ab>b , 三 式 相 加 并 整 理 得 , a2+b2+c2<2(ab+bc+ca). [答案] 见证明过程 例 26 解不等式 8 10 3 - x -5x>0. 3+ (x+1) x+1
2 2 2

【巧解】构造法,综合法 原不等式等价于( 原不等式即为 f( 2 3 2 3 3 ) +5( )>x +5x,构造函数 f(x)= x +5x,则 x+1 x+1

2 2 )>f(x),又 f(x)在 R 上是增函数,∴ >x,解此 x+1 x+1

不等式得 x<-2 或-1<x<1。 [答案] {x| x<-2 或-1<x<1}. 例 27 已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],求证: |f(x)|的最大值 1 M≥2. 【巧解】反证法
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1 1 1 1 1 1 假设 M<2,则|f(x)|<2恒成立,∴-2<f(x)<2,即-2<x2+ax+b<2, 令 x=0,1,-1,分别代入上式, 得 ③, 3 1 由②+③得-2<b<-2,这与①式矛盾,故假设不成立,∴原命题成立。 [答案] 见证明过程 例 28 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,且方程 f(x)=0 的两根 x1、x2 都 1 1 1 1 -2<b<2①,2<1-a+b<2②, 1 1 -2<1+a+b<2

a2 在(0,1)内,求证:f(0)f(1)≤16. 【巧解】待定系数法、基本不等式法 因方程有两个实根为 x1,x2,故可设 f(x)=a(x-x1)(x-x2),于是 1 1 a2 f(0)f(1)=ax1x2·a(1-x1)(1-x2)=a x1(1-x1)x2(1-x2)≤a ·4·4≤16。
2 2

[答案] 见证明过程 例 29 若 a1 、a2 、?、a11 成等差数列,且 a12+a112 ≤100,求 S=a1+a2+…+a11 的最大值和最小值。 【巧解】基本不等式法、综合法 (a1+a11)2=a12+2a1a11+a112≤2(a12+a112)≤200,∴|a1+a11|≤10 2, 11 又 a1、a2、?、a11 成等差数列,∴S=a1+a2+?+a11= 2 (a1+a11), ∴ Smax=55 2,Smin=-55 2. [答案] Smax=55 2,Smin=-55 2. 例 30 若 0 ≤ x,y ≤ 1 , 求 证 : x +y + (1-x) +y + x +(1-y)
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2 2 2 2 2 2

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+ (1-x) +(1-y) ≥ 2 2 等 号 当 且 仅 当
2 2

G A D y= y= y y= 1 成立。 y= P ( E F1 1 2 (2 (2 y= y= x y= 1 1-y ) 【巧解】构造法 x( 2 ) 1 1 )x1 (1 x ( 2 (2 )x2 y=(2) 如图,设正方形 ABCD 的边长为 1, Bx x )x H 1-x C)x ) y= y= 1 y= y=(22 2 2 2 1 1 BH=x,AE=y,则 HC=1-x,BE=1-y,于是 AP= x +y1 ,BP= xx +(1-y) , (2 (2 (2 ) x x 2 2 2 2 ) ) )x DP= (1-x) +y , PC= (1-x) +(1-y) ,由 AP+PC≥AC,BP+DP≥BD,而

1 x=y= 时 2

AC=BD= 2。看,此时结论是不是显然的了? [答案] 见证明过程 例 31 设 m 是方程 ax +bx+c=0 的实根,且 a>b>c>0,求证:|m|<1. 【巧解】综合法 设方程的另一根为 n,则由韦达定理得 m+n=同为负数, b ∴ 1> >|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|<1,|n|<1.∴结论成立。 a [答案] 见证明过程 例 32 已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R,a>0),设方程 f(x)=x 的两实根为 x1 和 x2,如果 x1<2<x2<4,且函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求 证:x0>-1. 【巧解】 数形结合法 设 g(x)=f(x)-x=ax +(b-1)x+1,由题意
? b b ?4a+2b-1<0 即? ,目标是证明- >-1,即 <2. ? 2a a ?16a+4b-3>0
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2 2 2

b c <0,mn= >0,∴ m,n a a

b 11 (8,4) a

?g(2)<0 ? 得? , ? ?g(4)>0

如图作出

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b 约束条件下的平面区域(不含边界) ,而 表示区域内的点(a,b)与坐标 a b 原点连线的斜率,易见 <2,故命题成立。 a [答案] 见证明过程 1 例 33 已知 ≤ak≤1(k∈N+),求证:a1a2?an+(1-a1)(1-a2)?(1-an) 2 ≥ 1 n-1. 2 【巧解】增量法、换元法 1 1 1 1 1 1 设令 ak= +bk(0≤bk≤ ),则原式左边=( +b1)( +b2)?( +bn)+( 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n 1 n 1 n-1 1 n-1 -b1)( -b2)?( -bn)=[( ) +M]+[( ) +N]=( ) +M+N≥( ) =右边,∴ 2 2 2 2 2 2 原式成立。 [答案] 见证明过程 (注: 多项式 M 和 N 正负抵消部分项后, 所余部分和必为非负数。 ) x2 y2 例 34 记椭圆a2 + b2 = 1(a>b>0) ,A、B 是椭圆上的两点,线段 a2-b2 a2-b2 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 P(x0,0),证明:- a <x0< a . 【巧解】数形结合法、等价转化法 x2 记 Q(x,y)是椭圆上的任一点,则 |PQ| =(x-x0) +y =(x-x0) +b (1-a2),x
2 2 2 2 2 2 a2-b2 a2 2 2 a ∈[-a,a],得二次函数,f(x)= a (x-a2-b2x0) +b -a2-b2x02 且由|PA|=|PB|,

知 f(xA)=f(xB),即 f(x)在[-a,a]上不单调,由二次函数最小值的唯一性知
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a2 –a<a2-b2x0<a,变形即得所求。 [答案] 见证明过程 例 35 已知 a,b,c∈R,f(x)=ax +bx+c.若 a+c=0,f(x)在[-1,1]上 5 b 的最大值是 2,最小值是- 。证明:a≠0 且| |<2. 2 a 【巧解】反证法 b 假设 a=0 或| |≥2。 a (1) a=0,则由 a+c=0,得 c=0,∴f(x)=bx.由题设知 b≠0, 若 ∴f(x) 在 [-1,1] 是 单 调 函 数 , 从 而 f(x)max=|b|;f(x)min=-|b|, 于 是 |b|=2,-|b|=5 ,由此得矛盾; 2
2

b -b (2)若| |≥2,则| |≥1 且 a≠0,因此区间[-1,1]在抛物线 a 2a f(x)=ax +bx-a 的对称轴 x=
2

-b 的左侧或右侧,∴函数 f(x)在[-1,1]上 2a

是单调函数,从而 f(x)max=|b|;f(x)=-|b|,由(1)知这是不可能的。 综合(1) (2)知,命题成立。 [答案] 见证明过程 例 36 是否存在常数 C,使得不等式 x y x y + ≤C≤ + , 2x+y x+2y x+2y 2x+y

对任意正数 x,y 恒成立?试证明你的结论。 【巧解】分析法 2 2 2 令 x=y=1,得 ≤C≤ ,所以 C= 。下面给出证明: 3 3 3
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(1) x y 2 x y 先证明: + ≤ ,因为 x>0,y>0,要证: + ≤ 2x+y x+2y 3 2x+y x+2y

2 ,只要证 3 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即证:x +y ≥2xy,这显然成 立, ∴ x y 2 + ≤ ; 2x+y x+2y 3 x y 2 + ≥ , 只 需 证 : 3x(2x+y)+3y(x+2y) ≥ x+2y 2x+y 3
2 y

(2)再证:

2(x+2y)(2x+y), 即证:x +y ≥2xy,这显然成立,∴
2 2

x y 2 + ≥ 。 x+2y 2x+y 3

2 x 综合(1)(2)得,存在常数 C= ,使对于任何正数 x,y 都有 、 3 2x+y + y 2 x y ≤ ≤ + 成立。 x+2y 3 x+2y 2x+y 2 [答案] 存在常数 C= ,证明略. 3

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