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2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

时间:2017-04-06


2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案
一、 (填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.若三位数 n ? abc 是一个平方数,并且其数字和 a ? b ? c 也是平方数,则称 n 为超级平方 数,这种平方数的个数是 答案:13. .

提示:可顺次列举出: 100,121,144,169,196, 225,324, 400, 441, 484,529,900,961. 2.函数 y ? 8 x ? x 2 ? 14 x ? x 2 ? 48 的最大值是 答案: 2 3. 提示: .

y ? x ?8 ? x ? ? ? 8? x

? x ? 6 ??8 ? x ?

6 8? x , x ? x?6 其定义域为 6 ? x ? 8 ,当 x ? 6 时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值最大,其

?

x ? x?6 ?

?

值为 2 3. 3.已知直线 l 过点 M ?1, 2? , 若它被两平行线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 与 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 所截得的线段 长为 2 ,则直线 l 的方程为 答案: x ? 7 y ? 15 或 7 x ? y ? 5 . 提示:设 l 的方程为 y ? 2 ? k ? x ?1? ,将此方程分别与 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 及 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 联 立 , 解 得 交 点 坐 标 A? .

? 3k ? 7 ?5k ? 8 ? ? 3k ? 12 ?10 ? 8 ? , , ? 与 B? ? , 由 AB ? 2 , 得 ? 3k ? 4 3k ? 4 ? ? 3k ? 4 3k ? 4 ?

2 2 25 ? k 2 ? 1? 1 ? 5 ? ? 5k ? ? ? 2 ? 2, 所以 k1 ? 7, k2 ? ? ,分别代入所设方 , 即 ? ? ? ? 2 7 ? 3k ? 4 ? ? 3k ? 4 ? ? 3k ? 4 ?

程,得到 x ? 7 y ? 15 或者 7 x ? y ? 5.

4.

1 3 ? ? ? sin10 cos10?



答案:4. 提示:
1

1 3 cos10? ? sin10? 1 3 2 2 ? ? 4? sin10? cos10? 2sin10? cos10? sin 30? cos10? ? cos 30? sin10? ?4 2sin10? cos10? sin 20? ? 4? ? 4. sin 20?
5.满足 1 ? x2 ? x 的实数 x 的取值范围是 答案: ? ?1, .

? ?

2? ?. 2 ?

提示: 用图象法: 令 y ? 1 ? x2 , 此为单位圆的上半圆, 它与直线 y ? x 交点 ? 半圆位于左侧的图象皆在直线 y ? x 上方;或者三角函数代换法:

? 1 1 ? , ?, ? 2 2?

o s0 , ? ? ?? ? 因为 ?1 ? x ? 1 , 令x?c
则x?

2 s i ?, , 则 y ?n 由条件 1? x2 ? x , 平方得 2 x ? 1 ,

? 2? 1 ,又有 x ? cos ? ? ?1 ,因此 x ? ? ?1, ?. 2 ? 2 ?

6.若实数 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 30,3x ? y ? z ? 50 ,则 T ? 5x ? 4 y ? 2z 的取值范围是 . 答案: ?120,130?. 提示:

T ? 5x ? 4 y ? 2z ? ? x ? y ? z ? ? ? 4x ? 3 y ? z ? ? 30 ? ? 4 x ? 3 y ? z ? .
因为 4x ? 2 y ? ? x ? y ? z ? ? ?3x ? y ? z ? ? 80 ,所以

T ? 110 ? ? y ? z ? .
由于 20 ? ?3x ? y ? z ? ? ? x ? y ? z ? ? 2 ? x ? z ? , 则 x ? z ? 10 , 因为 x 、z 非负, 于是 x ? 10 ,

, 以 , T ?1 1 0 从 而 由 x ? y ? z ? 30 知 , y ? z ? 2 0 所 ? ? y ? ?z z ? 0 , x ? 1 0y ,? 时取等号) 2 0 y? ,, 则 0 x ? 20 , 所 以 再 由 4x ? 2 y ? 8 0

当. ?1 ( 3 0

y? z ? 3 0 ?x ? 1, 0 于 是

,所以 120 ? T ? 130. T ? 110 ? ? y ? z ? ? 120 (当 x ? 20, y ? 0, z ? 10 时取等号)
2

7.在一万个正整数构成的集合 ?1,2,?,10000? 中,被 3 除余 2,并且被 5 除余 3,被 7 除余 4 的元素个数是 .

DA 、DB 、DC 的中点, 8.如图,正四面体 ABCD 的各棱长皆为 2, A 1 、B 1 、C1 分别是棱

? C ,并将两弧各分成五 A1 B1 、 B 以 D 为圆心,1 为半径,分别在面 DAB 、 DBC 内作弧 ? 1 1
等分,分点顺次为 A 1、 P 1、P 2、P 3、P 4、B 1 以及 B 1、Q 1 、 Q2 、 Q3 、 Q4 、 C1 ,一只甲 虫欲从点 P 1 出发,沿四面体表面爬行至点 Q4 ,则其爬行的最短距离为 .

答案: 2sin 42 . 提示:作两种展开,然后比较.

?

?C A1 B1 被 A1 、 P1 、 P2 、 P B 由于 ? 3、P 4、B 1 分成五段,每段弧对应的中心角各为 12 , 1 1 被
?

B1 、 Q1 、 Q2 、 Q3 、 Q4 、 C1 分成五段,每段对应的中心角也为 12? .
若将△ DBC 绕线段 DB 旋转,使之与△ DAB 共面,这两段弧均重合于以 D 为圆心,半径

? 对应的圆心角为 8 ?12 ? 96 , 此时,点 P 、 Q 之间的距离为 2sin 48 . 为 1 的圆周, PQ 1 4 4 1
? ?
?

若将△ DAB 绕线段 DA 旋转,△ DBC 绕线段 DC 旋转,使之皆与△ DAC 共面,在所得

? 对应的圆心角为 7 ?12 ? 84 , 此时,点 P 、 Q 之间的距离为 2sin 42 . 图形中, PQ 1 4 4 1
? ?
?

所以最短距离是 2sin 42 . 二、解答题(第 9 题 20 分,第 10、11、12 题各 22 分,共 86 分)
3

?

9.已知正整数数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an?1 ? an 2 ? an ? 1 ,证明:数列的任何两项皆互质. 解 改 写 条 件 为 an?1 ?1 ? an ? an ?1? , 从 而 an ?1 ? an?1 ? an?1 ?1? , 等 等 , 据 此 迭 代 得

an ?1 ? 1 ? an an ?1 ? an ?1 ? 1? ? an an ?1an ? 2 ? an ? 2 ? 1? ? ? ? an an ?1 ? a1 ? a1 ? 1? ? an an ?1 ? a1.
所以, an ? an?1an?2 ?a1 ? 1 ,因此,当 k ? n 时, ? an , ak ? ? 1. 10. 已知 H 为锐角三角形 ABC 的垂心,在线段 CH 上任取一点 E ,延长 CH 到 F ,使

HF ? CE ,作 FD ? BC, EG ? BH ,其中 D 、 G 为垂足, M 是线段 CF 的中点, O1 、

O2 分别为△ ABG 、△ BCH 的外接圆圆心,⊙ O1 、⊙ O2 的另一交点为 N .
证明: (1) A 、 B 、 D 、 G 四点共圆; (2) O1 、 O2 、 M 、 N 四点共圆.

证 (1)如图,

4

设 EG ? DF ? K ,连结 AH ,则由 AC ? BH , EK ? BH , AH ? BC, KF ? BC ,得

CA // EK , AH // KF ,且 CH ? EF ,所以△ CAH ≌△ EKF ,从而 AH 与 KF 平行且
? 相等,故 AK // HF ,所以 ?KAB ? 90 ? ?KDB ? ?KGB ,因此 A 、 B 、 D 、 G 四点

共圆. (2) 由 (1) 得 BK 为⊙ O1 的直径, 作⊙ O2 的直径 BP , 连结 CP 、KP 、HP 、O1O2 , 则 ?BCP ? ?BHP ? 90 ,所以 CP // AH , HP // AC ,故 AHPC 为平行四边形,进而得,
?

PC 与 KF 平行且相等, 因此对角线 KP 与 CF 互相平分于 M , 从而 O1 、 O2 、M 是△ KBP N、 的三边的中点, 得 KN //O1O2 , 所以 M 、 KM //O1O2 . 而由 ?KNB ? 90? , O1O2 ? BN ,
K 共线,因此 MN //O1O2 .又由△ KBP 的中位线知 MO2 ? O 1 B? O 1 N,因此四边形

O1O2 MN 是等腰梯形,其顶点共圆,即 O1 、 O2 、 M 、 N 四点共圆.
2 11.对于任意给定的无理数 a 、 b 及实数 r ? 0 ,证明:圆周 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 上至多 2 2

只有两个有理点(纵横坐标皆是有理数的点) . 解 对于点 M ? a, b ? ,用 P ?M ,r ? 表示上述圆周上有理点个数;首先,我们可作一个符合条 件的圆,其上至少有两个有理点,为此,取点 A? 0,0? 、 B ? 2,2? ,线段 AB 的中垂线 l 的方

5

程为: x ? y ? 2, 在 l 上取点 M 1 ? 2,1 ? 2 ,再取 r ? MA ? 6, 则以 M 为圆心, r 为 半径的圆周上至少有 A 、 B 这两个有理点. 其次说明,对于任何无理点 M 以及任意正实数 r ,

?

?

P ? M , r ? ? 2.
为此,假设有无理点 M ? a, b ? 及正实数 r ,在以 M 为圆心, r 为半径的圆周上,至少有三 个有理点 Ai ? xi , yi ? , xi 、 yi 为有理数, i ? 1, 2,3 ,则

? x1 ? a ?

2

? ? y1 ? b ? ? ? x2 ? a ? ? ? y2 ? b ? ? ? x3 ? a ? ? ? y3 ? b ? .
2 2 2 2 2



据前以等号得

? x1 ? x2 ? a ? ? y1 ? y2 ? b ?
据后以等号得

1 2 ? x1 ? y12 ? x22 ? y22 ? . 2



1 2 x2 ? y2 2 ? x32 ? y32 ? . ③ ? 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 记 ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? ? t1 , ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? ? t2 ,则 t1 、 t 2 为有理数. 2 2

? x2 ? x3 ? a ? ? y2 ? y3 ? b ?

若 x1 ? x2 ? 0 ,则由②,? y1 ? y2b ? t1 ? ,由 b 为无理数,得 y1 ? y2 ? 0 ,故 A 1 、 A2 共点, 矛盾!同理,若 x2 ? x3 ? 0 ,可得 A2 、 A3 共点,矛盾! 若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 ,由②、③消去 b ,得

? ?? x1 ? x2 ?? y2 ? y3 ? ? ? y1 ? y2 ?? x2 ? x3 ? ? ? a ? t1 ? y2 ? y3 ? ? t2 ? y1 ? y2 ? ? 有理数.
因为 a 为无理数, 故得, 所以 ? x1 ? x2 ?? y2 ? y1 ? ? ? y1 ? y2 ?? x2 ? x3 ? ? 0 , 则A 1 、 A2 、 A 3 共线,这与 A 1 、 A2 、 A 3 共圆矛盾! 因此所设不真, 即这种圆上至多有两个有理点. 于是对于所有的无理点 M 及所有正实数 r ,

y1 ? y2 y3 ? y2 , ? x1 ? x2 x3 ? x2

P ? M , r ? 的最大值为 2.
12. 从集合 M ? ?1,2,?,36? 中删去 n 个数,使得剩下的元素中,任何两个数之和都不是

2015 的因数,求 n 的最小值. 解 因为 2015 ? 5 ?13 ? 31 , M 中任两个元素之和不大于 71 ,由于 2015 不大于 71 的正因
数有 1 、 5 、13、31、65,所以,在 M 的二元子集中,元素和为 5 的有 ?1,4? , ?2,3? ; 元素和为 13 的有 ?1,12?, ?2,11?, ?3,10 ?, ? 4,9 ?, ? 5,8 ?, ? 6,7 ? ;
6

元素和为 31 的有 ?1,30?, 6,25 ? ,? ,? 15,16 ? ; ?2,29?, ?3,28?, ?4,27 ?, ?5,26 ?, ? 元素和为 65 的有 ?29,36?, ?30,35?, ? 31,34 ?, ? 32,33 ? . 为直观起见,我们将其画成一个图,每条线段两端的数为上述一个二元子集,为了不构成这 些和,每对数(每条线段)中至少要删去一个数.

于是,在图(A) 、 (B)中各至少要删去 4 个数,图(C) 、 (D)中至少要删去 2 个数,图(E) 中至少要删去 5 个数,总共要删去 17 个数. 另一方面,删去适当的 17 个数,可以使得余下的数满足条件:例如在图(A)中删去 12、 30、4、22,图(B)中删去 11、29、3、21,图(C)中删去 23、5,图(D)中删去 24、6, 图(E)中删去 13、14、15、31、32.这时图中所有的线段都已被断开. 综上所述, n 的最小值为 17.

7


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