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函数的奇偶性(2)

时间:2018-02-04


函数的奇偶性(2)
练习:判断下列函数的奇偶性: 1)f(x)=3x

2)f(x)=(x-1)2 3)f(x)= x(1-x) x(1+x) x>0 x<0

1? x2 4) f ( x ) ? x?2 ?2

例1.判断函数f(x)=

√1-x2 |x+2|-2
-1≦x≦1

的奇偶性。

解:

1-x2≥0 |x+2|≠2

-1≦x ≦1且x ≠0

x≠0且x≠-4
2 √1 -x = x 2 √1 -x = x ∴ f(x) 为奇函数.

∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
2 ∴f(x)= √1-x (x+2)-2

∵f(-x)=

√1-(-x)2 -x

即f(-x)= - f(x)

☆ 说明:用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域,看是否关于原点对称;
⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。

1、2、4
2、已知函数
f(x) ? x 5 ? ax 3 ? bx ? 8

且f(-2)=10,则f(2)等于( A -26 B -18
2

) D 10

C -10

3)若f(x) ? 2x ?( 3 a ? 2)x ? 5是偶函数,则 a?

例2:已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数, 且有f(x-1)<f(3x-4),求x的取值范围.

变式:已知y=f(x)(x∈(-1,1))既是奇函数

又是减函数,且有f(1-x)+f(1-x2)<0,
求X的取值范围.

例3;求下列函数的单调区间: 1)f(X)=x2-2x-3的递增区间为 递减区间是
1 2) f ( x) ? 2 的递增区间为 x ? 2x ? 3

. .

. .

递减区间是
2

的递增区间为 3) f ( x) ? x ? 2 x ? 3 递减区间是 . 它们的最值分别是多少?



1 4) f ( x) ? x?2

例4:已知函数f(x)对一切x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证:f(x)是奇函数; (2)若f(-3)=a,试用a表示f(12) 练习、(2002年北京)已知f(x)是定义在R上的不恒 为零的函数,且对于任意的a、b∈R都满足: f (a· b) = a f (b) + b f (a). (1)求 f (0)= , f (1)= . 2、(2004年全国)设函数f(x)(x∈R)为奇函数, f (1) = 1/2 ,f(x + 2)= f(x)+ f(2),则f(5)=(c ) A 、0 B 、1 C、5/2 D 、5

例5:已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
1 , 求f(x), g(x) 且满足f(x)+g(x)= x ?1

延伸与拓展:
已知: f(x)是偶函数,g(x)是偶函数,x∈R, f(x) g(x)不恒为零 证明: f(x) +g(x)是偶函数。 分析: 设h(x)=f(x)+g(x) ∵ h(x)=f(x)+g(x)不是具体给出的函数, 无法作出图象 ∴ 只能用定义证明 即需证明G(-x) = G(x) 而G(-x)= f(-x) +g(-x) =f(x) +g(x) ∴ G(-x) = G(x) 命题得证 现在你能直接说明f(x)=x2+|x|是偶函数了吗?

延伸与拓展:
类似的,同学们不难证明下面的结论:
已知: f1(x)、 f2(x)是奇函数, g1(x) 、g2(x)是偶函 数,且x∈R, f1(x)、 f2(x) 、 g1(x) 、g2(x) 不恒为零

f1(x)+ f2(x)是 奇函数
f1(x)+ g1(x) 是非奇非偶函数 g1(x) +g2(x)是 偶函数 f1(x) ×f2(x)是 偶函数 f1(x) × g1(x) 是 奇函数 g1(x) × g2(x)是 偶函数

ax ? 1 1 例4:讨论函数f(x) ? (a ? )在 x?2 2 ( ? 2, ? ?)上的单调性。

作业:同一:P20 P21 T9

T10,T11,T12

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天儿跑腿哎,晚上都睡不安生——想必乐韵知道好歹,还是求了大太太,后来一直没再来,敢是表 病情又缓下去了?这便好 了。”嘉颜笑笑,不接话,与宝音分手。宝音累极,也未去再探访表 ,自己回屋睡了。因是得宠的大丫头,各自有一间屋子, 虽极小,好歹不用跟别人挤通铺,有了那么点儿家的感觉。写意睡眠一向不错,倒在枕上便睡着,一会儿却又被唤醒。月光白 白的铺了一地,苍茫里尽有杀机。有两个人,声音很尖,在身边问她:“那尊金钟馗到哪儿了?”今天早些时候道观送来讨老 太太欢喜的浑金像,是宝音收起来了,她糊涂道:“什么到哪儿?”一边想起身看清楚这个问话的人是谁,却起不来。她竟被 结结实实绑住了。那人问了又问,钟馗像,钟馗像到哪去了?竟吃准宝音。宝音如堕恶梦,实答不出来,听个女人声口恨恨道: “这般狡赖,除掉算了!也给那家敲敲警钟。”宝音尽力转过头去,看到一个披墨金丝斗篷的人,应该就是说话的女人,后头 还有几个,影影绰绰看不清。其中一个叹口气:“动手吧。”声音却像老太太。床边已有一只水盆,尖声的那两人就捞起一张 黄表纸,水中一浸,蒙在宝音脸上。宝音受惊,“噗”的用力一呼吸,那纸应声而破,那两人也不急,一张接一张,不紧不慢, 叠到十余张以上,宝音已难以冲破黄纸了,呼吸为之困难。这要紧时候,宝音下意识闪过的念头竟是:他们用的是盆冷水。真 不应该啊,明明外面就有井,冬暖夏凉。她给老太太打的,一向是井水,有时还要另调些热水进去。老太太畏寒……第八章 前生后世两茫茫(4)女人声口又道:“正是这样穷骨头,才不识好歹里应外贼!”什么外贼?什么里应?一定是错了,或者 有人陷害她。宝音想叫,一层层的黄表纸又蒙上来,半声都出不了。她挣扎,人家只当她挣命,毫不理睬。纸蒙上三寸高,宝 音神思昏沉过去,像陷进泥潭中,再也没力气,只是往下沉、沉……有谁在她足底垫了一把,她又往上去,这次拼尽力气,终 于叫出一声:“不是我!”但喉头随之有甜腥而粘稠的东西涌上来,把她的声音堵得含糊不清,她难以呼吸,只能绝望的抓着 喉头。要死了!她真的要被憋死了?这果然不是梦……一个小丫头急急的端个痰盒过来,笨手笨脚往宝音面前一放,爬到榻上 给宝音捶背。宝音咳了半天,总算一口带血的痰吐到痰盒里,神智舒爽了些,展眼看那半旧雕漆盒子,却不是自己屋里的浅翠 青花鼓腹盒,看这小丫头竟是表 屋中的丫头洛月,更是吃惊,待要问,喉头又痒起来,俯在盒上咳个不住,一口口的血痰, 血都作脓紫色。她有生之年,未觉得如此虚弱痛苦,咳得上气不接下气,面孔通红、眼里都是泪花。洛月在她背后又捶又揉, 也于事无补。一个老婆子,便是邱妈


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