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1983年全国高中数学联赛试题及解答

时间:2013-06-24


第一试 1.选择题(本题满分 32 分,每题答对者得 4 分,答错者得 0 分,不答得 1 分) 3 3 ⑴ 设 p、q 是自然数,条件甲:p -q 是偶数 ;条件乙:p+q 是偶数 .那么 A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条 件

⑹ 设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,

P= ab+ cd,Q= ma+nc? A.P≥Q C.P<Q
源:21 世纪教育网]

b d + ,那么 m n B.P≤Q D.P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大小有关.

[来

⑺ 在正方形 ABCD 所在平面上有点 P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 都是等腰三角形,那么 具有这样性质的点 P 的个数有 A.9 个 B.17 个 C.1 个 D.5 个 ⑻ 任意△ABC,设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为 l、R 与 r,那么

A.l>R+r

B.l≤R+r

l C. <R+r<6l
6

D.A、B、C 三种关系都不对

2.填充题(本题满分 18 分,每小题 6 分)
?1?

3 5 ⑴ 在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,那么 cosC 的值等于 5 13



⑵ 三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有 个. ⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形, 这样两个多面体的 内切球半径之比是一个既约分数 ,那么积 m?n 是

m n



?2?

第二试 1.(本题满分 8 分)求证:arc sinx+arc cosx=

?
2

,其中 x∈[-1,1]

2.(本题满分 16 分)函数 f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1).如果对于任意不同的 x1,x2∈[0, 1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< 1 . 2

[来源:21 世纪教育网]

5.(本题满分 18 分) 函数 F(x)=|cos x+2sinxcosx-sin x+Ax+B| 3 在 0≤x≤ π 上的最大值 M 与参数 A、B 有关,问 A、B 取什么值时,M 为最小?证明你的结论. 2
?3?

2

2

1983 年全国高中数学联赛解答

21 世纪教育网

第一试 1.选择题(本题满分 32 分,每题答对者得 4 分,答错者得 0 分,不答得 1 分) 3 3 ⑴ 设 p、q 是自然数,条件甲:p -q 是偶数;条件乙:p+q 是偶数.那么 A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条 件

⑵ x=

1 + 的值是属于区间 1 1 1 1 log log 23 53

1

A.(-2,-1)

B.(1,2)

C.(-3,-2)

D.(2,3)

【答案】D 【解析】x=log32+log35=log310∈(2,3),选 D.
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⑷ 已知 M={(x,y)|y≥x },N={(x,y) |x + ( y-a) ≤1}.那么,使 M∩N=N 成立的充要条件是

2

2

2

A.a≥1

1 4

B.a=1

1 4

C.a≥1

D.0<a<1

【答案】A 2 2 2 【解析】M∩N=N 的充要条件是圆 x +(y-a) ≤1 在抛物线 y=x 内部(上方).即 a≥1,且方程

y2-(2a-1)y+a2-1=0 的△=(2a-1)2-4(a2-1)≤0,?a≥1 ,选 A.
⑸ 已知函数 f(x)=ax -c,满足 -4≤f (1)≤-1,-1≤f(2)≤5. 那么,f(3)应满足
2

1 4

A.7≤f(3)≤26

B.-4≤ f(3)≤15

C.-1≤f(3)≤20
?4?

D.- ≤f(3)≤

28 3

35 3

⑹ 设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,

P= ab+ cd,Q= ma+nc? A.P≥Q C.P<Q

b d + ,那么 m n B.P≤Q D.P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大小有关.

【答案】B 【解析】由柯西不等式,Q≥P.选 B.

2 .填充题(本题满分 18 分,每小题 6 分) 3 5 ⑴ 在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,那么 cosC 的值等于 5 13 【答案】 .

16 65

4 12 4 5 【解析】 cosA=± , sinB= , 但若 cosA=- , 则 A>135°, cosB= <cos60°, B>60°,矛盾. 故 5 13 5 13
?5?

4 5 4 3 12 16 cosA= .∴ cosC=cos(π -A-B)=-cosAcosB+sinAsinB=- ? + ? = . 5 13 5 5 13 65 ⑵ 三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有 个. 【答案】36 【解析】 设另两边为 x , y, 且 x≤y. 则得 x≤y≤11, x+y>11, 在直角坐标系内作直线 y=x, y=11, x=11,x+y=11,则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数.(含 y=11,y=x 上的整点, 2 不含 x+y=11 上的整点)共有 12 ÷4=36 个.即填 36. ⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形, 这样两个多面体的 内切球半径之比是一个既约分数 ,那么积 m?n 是

m n



第二试 1.(本题满分 8 分)求证:arc sinx+arc cosx= π ,其中 x∈[-1,1] 2

【解析】证明:由于 x∈[-1,1],故 arcsinx 与 arccosx 有意义, π π π π sin( -arccosx)=cos(arccosx)=x,由于 arccosx∈[0,π ],∴ -arccosx∈[- , ]. 2 2 2 2 故根据反正弦定义,有 arcsinx= π -arccosx.故证. 2

2.(本题满分 16 分)函数 f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f(1).如果对于任意不同的 x1,x2∈[0, 1 1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< . 2 1 1 【解析】证明:不妨取 0≤x1<x2≤1,若|x1-x2|≤ ,则必有|f(x1)-f(x2)|<|x1- x2|< . 2 2 1 1 1 1 若|x1-x2| > ,则 x2-x1> ,于是 1-(x2-x1)< ,即 1-x2+x1-0< . 2 2 2 2 而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)-f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1-0|+|1 -x2|
?6?

=1-x2+x1-0< .故证.
3.(本题满分 16 分) 在四边形 ABCD 中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC 的面积比是 3∶4∶1,点 M、N 分别在 AC、CD 上满足 AM∶AC=CN∶CD,并且 B、M、N 三点共线.求证:M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中 点.

1 2

4. (本题满分 16 分)在在六条棱长分别为 2,3,3,4,5,5 的所有四面体中,最大体积是多少? 证明你的结论.

5.(本题满分 18 分) 函数 F(x)=|cos x+2sinxcosx-sin x+Ax+B|
?7?

2

2

3 在 0≤x≤ π 上的最大值 M 与参数 A、 B 有关, 问 A、 B 取什么值时, M 为最 小?证明你的结论. 2

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?8?


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