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圆的一般方程第二课时教案-人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1

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人教 A 版 第四章 4.1 第二课时

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第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 第二课时 4.1.2 圆的一般方程 1 教学目标
[1] 理解和掌握圆的一般方程 [2] 根据圆的一般方程找出圆心和半径长 [3] 用待定系数法求圆的一般方程 [4] 学会数形结合的思想方法解答数学问题

2 教学重点/难点
重点:理解和掌握圆的一般方程及推导过程 难点:待定系数法求圆的一般方程

3 专家建议
让学生主动参与到课堂教学中去, 设置各种问题去探索相关知识点, 使学生能真正地在探索 中找到乐趣。新知的学习由浅到深,诱发学生们的思考,从思考中获取新知识和分析解决问题 的能力。

4 教学方法
探究式教学

5 教学过程
5.1 复习引入 【师】同学们,我们上节课讲了什么内容啊? 【生】圆的标准方程 【师】那么圆的标准方程是什么啊? 【板演/PPT】 圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 例如:圆的标准方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 3 ,圆心为 (1,?2) ,半径长为 3 ; 还有, x2 ? ( x ? 7)2 ? 1, 圆心为 (0,?7) ,半径长为 1; 再看看, x 2 ? y 2 ? 1, 圆心为 (0,0) ,半径长为 1,即圆心在原点,半径长等于 1 的圆。 所以,通过圆的标准方程,我们可以清晰的看出圆心和半径。

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【师】圆的方程除了标准方程这种形式,还有别的形式吗? 【生】讨论回答 【师】我们知道,直线方程有一般式 Ax ? By ? C ? 0 ,那么圆的一般式呢? 【板演/PPT】
1 1 例如:直线方程: y ? ? x ? 7 ? x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 2 y ? 14 ? 0. (A=1,B=2,C=-14) 2 2

5.2 新知介绍 [1] 圆的一般方程 【师】请同学把圆的标准方程 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 拆开 【生】动手计算 【板演/PPT】

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

? x2 ? 2ax ? a 2 ? y 2 ? 2by ? b2 ? r 2 ? x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? a 2 ? b2 ? r 2 ? 0
【师】看看上式有什么特点? 【生】讨论回答 【师】未知数的次数和系数分别有什么特点: 【生】讨论,思考 【板演/PPT】

【师】我们可以把它记成: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的形式,同学们请看题。 【板演/PPT】 把方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;和 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 4 ? 0 进行配方,看看能否化成标准式? 【生】动手计算 【板演/PPT】

x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ?1 ? 0

? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1
此方程表示以(1,1)为圆心,1 为半径长的圆。
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x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 4 ? 0

? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ?2
由于不存在点的坐标(x,y)满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形。 【师】那么要怎么样的方程才是表示圆呢? 【板演/PPT】 把 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 进行配方 【生】动手计算 【板演/PPT】

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

? (x ?

D 2 E 1 ) ? ( y ? )2 ? ( D 2 ? E 2 ? 4F ) 2 2 4

【师】根据前面两题的计算,显然知道表示圆的条件是什么了吧? 【生】讨论,思考 【板演/PPT】 在方程 ( x ?
D 2 E 1 ) ? ( y ? ) 2 ? ( D 2 ? E 2 ? 4 F ) 中, 2 2 4
D E ,? ) 为 2 2

(1) 若 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, 比较此方程和圆的标准方程, 可以看出此方程表示以 ( ? 圆心,
1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径长的圆; 2

(2)若 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,此方程只有实数解 x ? ?

D E D E , y ? ? ,它表示一个点 ( ? ,? ) ; 2 2 2 2

(3)若 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,此方程没有实数解,它不表示任何图形。 所以,当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示一个圆,此方程叫做圆的一般 方程。
例题1、把圆的标准方程化为一 般方程:

(1)(x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2; (2)(x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4; 1 (3)(x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1. 2

解: (1) x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0; (2) x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 9 ? 0;

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(3) x 2 ? y 2 ? x ? 4 y ?

13 ? 0. 4

例题2、求出下列圆的圆心坐标 及半径长:

(1) x 2 ? y 2 ? x ? y ? 4 ? 0; (2) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 12 ? 0; (3) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0.

解: (1) ? (2) ?

D ?1 1 E ?1 1 1 3 2 1 1 3 2 ?? ? ;? ? ? ? ; (?1) 2 ? (?1) 2 ? 4 ? (?4) ? ;圆心为( , ), 半径长 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

D ?2 E ?3 3 1 61 3 61 ?? ? 1;? ? ? ? ; (?2) 2 ? (?3) 2 ? 4 ? (?12) ? ;圆心为(1, ), 半径长 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2

D ?2 E 0 1 (3) ? 2 ? ? ? 1;? ? ? ? 0; (?2) 2 ? 0 2 ? 4 ? (?3) ? 2;圆心为 (1,0), 半径长 2。 2 2x ? y ?2 2 (1) x 2? y ? 4 ? 02

(2) x ? 在下列方程中,如果是 y ? 2x ? 6 y ?1 ? 0 例题3、 圆方程的求出圆心和半 径长:
2 2

(3) x 2 ? 2 y 2 ? 4 x ? 7 y ? 1 ? 0 ( 4) x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 (5) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ( 6) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 3 ? 0

解: (1) D2 ? E 2 ? 4F ? (?1)2 ? (?1)2 ? 4 ? 4 ? ?14 ? 0, 此方程不表示圆; (2“ ) ? y 2”不是圆一般方程形式 , 此方程不表示圆; (3“ ) 2 y 2”不是圆一般方程形式 , 此方程不表示圆;
1 6 (4) D 2 ? E 2 ? 4 F ? 12 ? 22 ? 4 ? (?1) ? 6 ? 0, 此方程表示圆 ,圆心为(? ,?1), 半径长 ; 2 2

(5) D2 ? E 2 ? 4F ? (?2)2 ? (?2)2 ? 4 ? 2 ? 0, 此方程不表示圆 ;
(6) D 2 ? E 2 ? 4 F ? (? 2 ) 2 ? ( 3 ) 2 ? 4 ? (?3) ? 17 ? 0, 此方程表示圆 ,圆心为(
[2] 待定系数法求圆方程 【师】同学们,我们再来学习一下“待定系数法”求圆的方程 【板演/PPT】 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: ①根据题意,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组;
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2 3 17 ,? ), 半径长 。 2 2 2

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③解出 a,b,r 或 D,E,F,代入标准方程或一般方程。 【师】同学们明白了吗?下面请看题 【板演/PPT】 例题 4、求过三点 O(0,0),A(2,2),B(0,3)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:由于 O(0,0),A(2,2),B(0,3)不在同一条直线上,因此经过 O,A,B 三点有唯一的圆。 解:设圆的方程是 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,因为 O,A,B 三点都在圆上,所以它们的坐标都 是方程的解,把它们的坐标依次代入方程,得到关于 D,E,F 的一个三元一次方程组

?F ? 0 ? ?2 D ? 2 E ? F ? 8 ? 0 ?3E ? F ? 9 ? 0 ?
解这个方程组,得:D=-1,E=-3,F=0 所以,所求圆的方程是: x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0
1 10 1 3 由前面的结论可知,所求圆的圆心坐标是( , ) ,半径长 r ? 。 D 2 ? E 2 ? 4F ? 2 2 2 2

例题5、已知方程x 2 ? y 2 ? 2(a ? 3) x ? 2(1 ? 4a) y ? 16a 2 ? 9 ? 0表示一个圆,求 a的值: 解:若表示圆,则 D2 ? E 2 ? 4F ? 0,即: [?2(a ? 3)]2 ? [2(1 ? 4a)]2 ? 4 ? (16a 2 ? 9) ? 0
解之得:a ? 1

[3] 小结 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 圆心坐标: ( ? 半径长: r ?
D E ,? ) 2 2

1 D 2 ? E 2 ? 4F 2

待定系数法求圆的方程(设-代-解)

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5.3 复习总结和作业布置 [1] 课堂练习 1、求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长。 (1) x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ; (2) x 2 ? y 2 ? 2ax ? 0 ; (3) x2 ? y 2 ? 2ax ? 4 2ay ? 2a 2 ? 0 2、判断下列方程分别表示什么图形。 (1) x 2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 ; (2) x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 5 ? 2 ? 0 ; (3) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ?
3 ?0 2

3、求过三点 O(0,1),A(3,2),B(-1,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。

课堂练习【参考答案】 解:1、 (1) ?

1 D 0 E ?4 ? ? ? 0,? ? ? ? 2, 2 2 2 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F ?

1 2 0 ? (?4) 2 ? 4 ? 0 ? 2 , 2

所以圆的圆心坐标为 (0,2) ,半径长为 2; (2) ?

D 2a E 0 ?? ? ?a,? ? ? ? 0, 1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 1 (2a) 2 ? 0 2 ? 4 ? 0 ? a , 2 2 2 2 2 2

所以圆的圆心坐标为 (?a,0) ,半径长为 a; (3) ?
E ? 4 2a 1 1 D 2a ? 2 2 a, D 2 ? E 2 ? 4F ? (2a) 2 ? (?4 2a) 2 ? 8a 2 ? 7a , ?? ? ? a, ? ? ? 2 2 2 2 2 2

所以圆的圆心坐标为 (?a,2 2a), 半径长为 7a 。
D E ?4 1 2 ? 0,? ? ? ? 2, 0 ? (?4) 2 ? 4 ? (?3) ? 7 , 2 2 2 2

解:2、 (1) ?

以 (0,2) 为圆心, 7 为半径长的圆;

D 2 E ?4 1 2 ? 2, 2 ? (?4) 2 ? 4 ? (5 ? 2 ) ? 2 4 , (2) ? ? ? ? ?1,? ? ? 2 2 2 2 2
1

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以 (?1,2) 为圆心, 2 为半径长的圆; (3)
2 1 2 3 D E 2 ? 2 ? 4 ? ? 0,? ? ?1,? ? 2, 所以是表示一个点 (?1,2) 。 2 2 2 2

解 3、设圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0, 分别将三点的坐标代入,组成方程组得

?1 ? E ? F ? 0 ? D ? ?2 ? ? 2 2 ?13 ? 3D ? 2 E ? F ? 0 ,解之得: ? E ? ?6 ,所以圆的方程为: x ? y ? 2x ? 6 y ? 5 ? 0, 半径长为 ?5 ? D ? 2 E ? F ? 0 ?F ? 5 ? ?
1 (?2) 2 ? (?6) 2 ? 4 ? 5 ? 5 ,圆心坐标为 (1,3) 。 2

5.4 板书设计

一、复习 圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 二、圆的一般方程( x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ) 在方程 ( x ?
D 2 E 1 ) ? ( y ? ) 2 ? ( D 2 ? E 2 ? 4 F ) 中, 2 2 4
D E ,? ) 为 2 2

(1) 若 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, 比较此方程和圆的标准方程, 可以看出此方程表示以 ( ? 圆心,
1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径长的圆; 2

(2)若 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,此方程只有实数解 x ? ?

D E D E , y ? ? ,它表示一个点 ( ? ,? ) ; 2 2 2 2

(3)若 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,此方程没有实数解,它不表示任何图形。 三、求圆的一般方程 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: ①根据题意,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组; ③解出 a,b,r 或 D,E,F,代入标准方程或一般方程。

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四、小结

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