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2014高三数学理科尖子生辅导材料(4)--立体几何

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尖子生辅导材料 4──立体几何

姓名________

7. 已知正 △ ABC 的边长为 a ,那么 △ ABC 的平面直观图 △ A?B?C ? 的面积为____. 8. 在空间四边形 ABCD 中, AC 和 BD 为对角线, G 为 △ ABC 的重心, E 是 BD 上一点, BE ? 3ED , 用基底 AB, AC , AD 表示 GE ? ______

导语:
空间几何体是空间几何的研究对象,要求会画某些简单实物的三视图与直观图,理 解并能用图形语言和符号语言表述它们的位置关系.空间几何体的表面积和体积是通过 数量认识几何体的重要途径,空间线、面间的位置关系特别是平行与垂直关系的论证是 空间几何的重要内容 , 将空间几何转化为平面几何是处理立体几何问题的重要思想 .直 线与直线、直线与平面、平面与平面垂直与平行问题常常互相转化,是高考命题的一个 热点. 空间向量是解决立体几何中线面的位置关系和求角、距离的有力工具.利用空间向 量共线、共面定理及空间向量基本定理可处理立体几何中平行、共面等问题.利用空间 向的数量积可处理线线、线面、面面夹角及点到面的距离等计算问题.利用空间向量,只 需要通过计算,就可以解决问题,易于掌握,体现了空间向量解题的优越性. 从高考命题来看,一般以选择题或填空题考查空间几何体的三视图和表面积、体积 的计算、 空间位置关系的判断,而解答题其考查形式为一题多问,分步设问,通常第一问主 要考查空间线、面位置关系的判定与证明,第二、三问考查空间角或距离,既可用几何方 法解答,也可用向量方法解答,难度适中,为中档题.

?

?

问题展示解密高考:
1. 已知 ?、? 表示两个不同的平面, m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的( ) ( A) 充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 ( D) 既不充分也不必要条件 2. 一个空间几何体得三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( ) ( A ) 4 8 (B ) 3 ? 2 8 1 7 (C ) 4 ? 8 8 1 7 (D ) 8 0 3. 如图,四棱锥 S ─ABCD 的底面为正方形, SD ? 底面 ABCD , 则下列结论中不正确 的是( ) ...
SCD ( A) AC ? SB ( B ) A B / 平面 / (C ) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 ( D) AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

m

4. 在平面直角坐标系中 , A(3, 2), B(?2, ?3) , 沿 y 轴把直角坐标平面折成 120 的二面角 后, AB 的长为( ) ( A) 6 (B ) 4 2 (C ) 2 3 (D ) 2 1 1 5. 已知正四棱锥 S ? ABCD 中,SA ? 2 3 , 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为( ( A) 1 (C ) 2 (D ) 3 (B ) 3 )

6.已知球的直径 SC ? 4 ,点 A、B 是该球球面上的两点, AB ? 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30? , 则棱锥 S ─ABC 的体积为( ) (D ) 1 ( A) 3 3 (B ) 2 3 (C ) 3
1 2

巩固训练:

4. 若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则此几何体的体积是______ cm3 . 15. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面ABCD ,四边形 ABCD 中, AB ? AD , AB ? AD ? 4 , CD ? 2 , ?CDA ? 45? . ( Ⅰ ) 求证: 平面PAB ? 平面PAD ; (Ⅱ) 设 AB ? AP , (1) 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,求线段 AB 的长; (2) 在线段 AD 上是否存在一个点 G ,使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等? 说明理由. 5. 在正四面体 P ? ABC 中, D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点, 则下面结论中: ① BC∥平面 PDF ; ② DF ? 平面 PAE ③ 平面 PDF ⊥平面 ABC ; ④ 平面 PAE ? 平面 ABC 其中正确的有______________.(把正确命题的序号全部填上) 6. 已知正三棱锥 P─ABC , 点 P、A、B、C 都在半径为 3 的球面上 , 若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_______. 7. 如图,在四棱锥 P─ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是矩形,侧面 PAD 是 等边三角形, E 是侧棱 PD 的中点, (1) 求证: PB / / 平面 AEC ; (2) 求证:平面 ACE ? 平面 PCD ; (3) 若 PB ? AC ,且 PA ? 2 ,求棱锥 E ─PBC 的体积.

3

4

8. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AA1 ? AD ? 1, E 为 CD 中点. ( Ⅰ ) 求证: B1E ? AD1 ; (Ⅱ) 在棱 AA1 上是否存在一点 P ,使得 DP / / 平面 B1 AE ? 若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明理由; (Ⅲ) 若二面角 A ? B1E ? A1 的大小为 30 ? ,求 AB 的长.

问题展示解密高考答案: 1─6
7.
6 2 a 16

BCD
9. 3 V 10

DCC
10. 3 ? 3

8. ?

1 1 3 AB ? AC ? AD 12 3 4

11.

3 6

12.12 , 3

? n1 ? FB ? 0 ,所以 ? (Ⅱ) FB ? (0,2,0) ,设平面 BFC1 的法向量为 n1 ? ( x1, y1, z1 ) ,则 ? ? ? ? ?n1 ? FC1 ? 0

y1 ? 0 ,取 n1 ? (2,0, 3) , ? ? ?? 3 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0

则 n ? n1 ? 2 ?1? 3 ? 0 ? 0 ? 3 ? 2 , | n |?

1 ? ( 3) 2 ? 2 , | n1 |? 22 ? 0 ? ( 3) 2 ? 7

,所以 cos? n, n ? ? n ? n1 ? 1
| n || n1 |
7

2 7 ? 7 2? 7

,

由图可知二面角 B─FC1─C 为锐角,所以二面角 B─FC1─C 的余弦值为 7 .
点评:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及 应用向量知识解答问题的能力,向量法求二面角是一种独特的方法 ,因为它不但是传统方法的有力补充,而且还可 以另辟溪径,解决传统方法难以解决的求二面角问题.向量法求二面角通常有以下三种转化方式: ① 先作、证二面 角的平面角 ?AOB ,再求得二面角的大小为 OA, OB ; ② 先求二面角两个半平面的法向量 n1 , n2 (注意法向量 的方向要分布在二面角的内外), 再求得二面角的大小为 n1 , n2 或 ? ? n1 , n2 ; ③ 先分别在二面角两个半平面 内作棱的垂线(垂足不重合),又可转化为求两条异面直线的夹角.

Ⅰ ) 线段 BC 的中点就是满足条件的点 P (2 分)证明如下: 14.解: (
取 AB 的中点 F 连结 DP、PF、EF ,则 FP / / AC , FP ? 1 AC ,(3 分)取 AC 的 2 中点 M ,连结 EM 、EC ,∵ AE ? AC 且 ?EAC ? 60? ,∴ △EAC 是正三角形, ∴ EM ? AC ,∴四边形 EMCD 为矩形,∴ ED ? MC ? 1 AC ,又∵ ED / / AC ,(4 分)
2

∴ ED / / FP 且 ED ? FP ,四边形 EFPD 是平行四边形,(5 分)∴ DP / / EF , 而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB ,∴ DP / / 平面 EAB .(7 分) (Ⅱ) (法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG , ∵ ED // AC ,∴ ED // l , l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱.(9 分) ∵平面 EAC ? 平面 ABC , DC ? AC ,∴ DC ? 平面 ABC , 又∵ l ? 平面 ABC ,∴ l ? 平面 DGC ,∴ l ? DG ,∴ ?DGC 是所求二面
5 6

角的平面角.(12 分)设 AB ? AC ? AE ? 2a ,则 CD ? 3a , GC ? 2a , ∴ GD ? GC ? CD ? 7a ,∴ cos ? ? cos ?DGC ? GC ? 2 7 .(14 分) GD 7 (法 2)∵ ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC ,∴以点 A 为原点,直线
2 2

巩固训练答案: 1─3 CAD

4.18

5.①②④

6. 3
3
R2 ? r 2 ? 6 3

2.提示: △ ABC 的外接圆的半径 r ?

AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 z 轴在平面 EACD 内(如图).设 AB ? AC ? AE ? 2a ,由已知,
得 B(2a , 0 , 0) , E(0 , a , 3a) , D(0 , 2a , 3a) ,∴ EB ? (2a , ? a , ? 3a) , ED ? (0 , a , 0) ,(9 分)设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z) ,

SC 为 球 O 的 直 径 ? 点 S 到 面 ABC 的 距 离 为
1 1 3 2 6 2 V ? S△ ABC ? 2d ? ? ? ? 3 3 4 3 6

3 ,点 O 3

到面 ABC 的距离 d ?
2d ? 2 6 3

,此棱锥的体积为

另: V ? 1 S?ABC ? 2R ?
3

3 6

排除 B, C, D

为 30 ? ,得 cos 60? ? n ? PB ?
n ? PB

2t 2 ? 4t t ? t ? ? 4 ? t ? ? 2t
2 2 2 2

?

1, 2
5

7. 向量为 n ? ( x, y, z)
? ax ? z ? 0 , 则有 ? ,取 ? n ? AB1 ? 0 ? ? ? ax ? ? ? ?y?0 ? n ? AE ? 0 ?2

解得 t ? 4 或 t ? 4 (∵ AD ? 4 ? t ? 0, t ? 4 ,故舍去)∴ AB ? 4 .
5

x

? 1 , 可得 n ? (1, ? a ,?a ) , 要使 DP / / 平面 B1 AE , 2

(2) 假设线段 AD 上存在一个点 G ,使得点 G 到点 P、B、C、D
的距离都相等,设 G ? 0, m,0? , ? 0 ≤ m ≤ 4 ? t ? ,则 GC ? ?1,3 ? t ? m,0? ,

GD ? ? 0, 4 ? t ? m,0 ? , GP ? ? 0, ?m, t ? ,则由 GC ? GD
得 1 ? ? 3 ? t ? m ?2 ? ? 4 ? t ? m ?2 ,即 t ? 3 ? m① 由 GP ? GD 得 ? 4 ? t ? m ? ? m ? t ② ,从①、②消去 t ,并化简得
2 2 2

只要 DP ? n ,? a ? at ? 0 ? t ? 1 ,又 DP ? 平面 B1 AE ,? 存在点 P 使 DP / / 平面 B1 AE ,此时 AP ? 1 . 2 2 2 (Ⅲ) 连接 A1D, B1C ,由长方体 AA1 ? AD ? 1 ,得 A1D ? AD1 , B1C / / A1D ,? AD1 ? B1C ,由 ( Ⅰ ) 知 B1E ? AD1 , 故 AD1 ? 平面 DCB1 A 1 . AD 1A 1 的法向量,而 AD 1 ? (0,1,1) , 1 是平面 DCB 则
AD1 ? n cos ? AD1 , n ?? ? | AD1 || n | a ? ?a , 2 2 a 2 ? 1 ? ? a2 4

二面角是 30 ? ,∴ a ? 2 ,即 AB ? 2 .

m2 ? 3m ? 4 ? 0③ 方程 ③ 没有实数根,∴在线段 AD 上不存在

一个点 G ,使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等. 解法 2 (2) 假设线段 AD 上存在一个点 G ,使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等, 由 GC ? GD 得 ?GCD ? ?GDC ? 45? ,从而 ?CGD ? 90? ,则 CG ? GD , 设 AB ? λ ,则由 AB ? AD ? 4 ,得 AD ? 4 ? λ , AG ? AD ? GD ? 3 ? λ . 在 Rt△ ABG 中, GB ? AB 2 ? AG 2 ? λ2 ? ? 3 ? λ ?2 ? 2 ? λ ? 3 ? ? 9 ? 1 ? ?
? 2? 2
2

【考点定位】本题考查直线与直线、直线与平面以及二面角等基础知识、考查空间想象能力、推 理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想.

与 GB ? GD ? 1 矛盾,∴在线段 AD 上不存在一个点 G ,使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等.
7 8


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