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历年数列高考题及答案

时间:2018-06-26

1. (福建卷)已知等差数列{an}中, a7 ? a9 ?16,a4 ?1,则a12的值是( )

A.15

B.30

C.31

D.64

2.

(湖南卷)已知数列{an}满足 a1

? 0, an?1

?

an ? 3an

3 (n ? N *)

?1

,则 a20=





3

A.0

B. ? 3

C. 3

D. 2

3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3 ,前三项和为21,则a3+ a4+ a5=( )

( A ) 33

( B ) 72

( C ) 84

( D )189

4. (全国卷II) 如果数列?an? 是等差数列,则( )

(A) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (B) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4a5

5. (全国卷II) 11如果 a1, a2, , a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( )

(A) a1a8 ? a4a5

(B) a1a8 ? a4a5

(C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4a5

6. (山东卷)?an? 是首项 a1 =1,公差为 d =3的等差数列,如果 an =2005,则序号 n 等于( )

(A)667

(B)668

(C)669

(D)670

7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层 正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( )

(A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。

8. (湖北卷)设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为

.

8 27
9. (全国卷II) 在 3 和 2 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______

10. (上海)12、用 n 个不同的实数 a1,a2,?,an 可得到 n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n!行的数阵。 对第 i 行 ai1, ai2,?,ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai2 ? 3ai3 ? ?(?1)n nain , i ? 1,2,3,?, n! 。例如:用1,2,3可得数阵 如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以, b1 ? b2 ??? b6 ? ?12? 2?12?3?12 ? ?24,那么,在 用1,2,3,4,5形成的数阵中, b1 ? b2 ??? b120=_______。

11. (天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 an?2 ? an ? 1? (?1)n (n ? N ? ) ,

则 S100=

___.

12.(北京卷)设数列{an}的首项a1=a≠

1 4

,且

an?1

?

? ??

1 2 an

? ???an

?

1 4

n 为偶 数

n 为奇


,

1 记 bn ? a2n?1 ? 4 ,n==l,2,3,…·.

(I)求a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

(III)求 lni?m?(b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ) .

13.(北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,

an?1

?

1 3

Sn

,n=1,2,3,……,求

(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;

(II) a2 ? a4 ? a6 ? ? a2n 的值.

14.(福建卷)已知{ an }是公比为q的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列.

(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)设{ bn }是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明
理由.

1 15. (福建卷)已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ an 我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得

1,2, 3 , 5 ,?;当a ? ? 1时,得到有穷数列: ? 1 ,?1,0.

到无穷数列: 2 3

2

2

(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;

(Ⅱ)设数列{bn}满足b1=-1,

bn+1=

1 bn ?

1

(n

?

N

?

)

,求证a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷

数列{an};

(Ⅲ)若

3 2

?

an

?

2(n

?

4) ,求a的取值范围.

16. (湖北卷)设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1 ? b1,b2 (a2 ? a1) ? b1.

(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn }的通项公式;

cn
(Ⅱ)设

?

an bn

,求数列 {cn }的前n项和Tn.

17. (湖南卷)已知数列{log2 (an ?1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3,a3 ? 9.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

1 ? 1 ??? 1 ? 1.

(Ⅱ)证明 a2 ? a1 a3 ? a2

an?1 ? an

18. (江苏卷)设数列{an}的前项和为 Sn ,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 (5n ?8)Sn?1 ?(5n ? 2)Sn ? An ? B ,

n ? 1,2,3,?, 其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式 5amn ? aman ? 1对任何正整数m、n都成立 .

? ? 19.

(全国卷Ⅰ) 设正项等比数列

an

的首项 a1

?

1 2 ,前n项和为 Sn

,且 210 S30

? (210

?1)S20

? S10

?0。

(Ⅰ)求 ?an ?的通项;

(Ⅱ)求?nSn ?的前n项和Tn 。

20. (全国卷Ⅰ) 设等比数列?an ?的公比为 q ,前n项和 Sn ? 0 (n ? 1,2,?) 。
(Ⅰ)求 q 的取值范围;

(Ⅱ)设 bn

?

an?2

?

3 2

an?1

,记

?bn

?的前n项和为

Tn

,试比较 S n 与Tn

的大小。

1
21. (全国卷II) 已知 ?an? 是各项为不同的正数的等差数列, lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列.又 bn ? a2n ,
n ?1,2,3, .
(Ⅰ) 证明?bn? 为等比数列;
7
(Ⅱ) 如果数列?bn? 前3项的和等于 24 ,求数列?an? 的首项 a1 和公差 d .

数列(高考题)答案

1-7 A B C B B C C

8. (湖北卷)-2

9. (全国卷II) 216

10. (上海)-1080

11. (天津卷)2600

1 1 1 11 12.(北京卷)解:(I)a2=a1+ 4 =a+ 4 ,a3= 2 a2= 2 a+ 8 ;

11 3

113

(II)∵ a4=a3+ 4 = 2 a+ 8 , 所以a5= 2 a4= 4 a+ 16 ,

11

11 1

11 1

所以b1=a1- 4 =a- 4 , b2=a3- 4 = 2 (a- 4 ), b3=a5- 4 = 4 (a- 4 ),

1 猜想:{bn}是公比为 2 的等比数列·

11 11

11

证明如下: 因为bn+1=a2n+1- 4 = 2 a2n- 4 = 2 (a2n-1- 4 )= 2 bn, (n∈N*)

1

1

所以{bn}是首项为a- 4 , 公比为 2 的等比数列·

lni?m?(b1 ? b2 ?
(III)

? bn )

?

lim
n??

b1

(1

?

1 2n

1? 1

)

?

b1 1? 1

?

2(a ?

1) 4

2

2

.

13.(北京卷)解:(I)由a1=1,

an?1

?

1 3

Sn

,n=1,2,3,……,得

111

11

4

11

16

a2 ? 3 S1 ? 3 a1 ? 3 , a3 ? 3 S2 ? 3 (a1 ? a2 ) ? 9 , a4 ? 3 S3 ? 3 (a1 ? a2 ? a3) ? 27 ,

由 an?1

? an

?

1 3 (Sn

? Sn?1)

?

1 3

an

(n≥2),得

an?1

?

4 3

an

(n≥2),又a2=

1 3

,所以an=

1 (4)n?2 33

(n≥2),

?1



an 数列{an}的通项公式为

?

? ? ??

1 3

(

4 3

)n?

2

n ?1
n≥2


( II ) 由 ( I ) 可 知 a2, a4,

n,a是2 首 项 为

1 3

,公比为

( 4)2 3

项数为n的等比数列,∴

a2 ? a4 ? a6 ?

1

?

1

?

(

4 3

)

2n

?

3 [( 4 )2n

? 1]

3 ? a2n =

1? (4)2 3

73

14.(福建卷)解:(Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q2 ? a1 ? a1q, ? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ?1 ? 0.

?q ? 1或 ? 1 . 2

q
(Ⅱ)若

? 1,则Sn

?

2n ?

n(n ?1) 2

?1 ?

n2

? 3n . 2

n


?

2时, Sn

? bn

?

Sn?1

?

(n ?1)(n ? 2) 2

?

0.

故 Sn ? bn.

q


?

?

1 2

,

则S

n

?

2n ?

n(n ?1) (? 1)

2

2

?

? n2 ? 9n .
4

n


?

2时, Sn

? bn

?

Sn?1

?

? (n ?1)(n ?10) , 4

故对于 n?N?,当2 ? n ? 9时, Sn ? bn;当n ?10时,Sn ? bn;当n ?11时, Sn ? bn.

15.

? a1
(福建卷)(I)解法一:

? a, an?1

?1?

1 an

,

? a2

?1? 1 a1

?1? 1 a

?

a

? a

1

,

a3

?1?

1 a2

?

2a ?1 a ?1

a4

?1?

1 a3

?

3a ? 2 .故当a 2a ?1

?

?

2 3

时a

4

? 0.

解法二 :? a4

? 0,?1 ?

1 a3

? 0,? a3

? ?1.

? a3

?1?

1 a2

,? a2

?

1 2

.

?

a

2

?1?

1 a

,? a

?

?

2 .故当a 3

?

?

2 3

时a4

?

0.

(II )解法一 :? b1

?

?1, bn?1

?

b bn ?

1

,?

bn

?

1 bn?1

? 1.

a取数列{bn}中的任一个数不妨设a ? bn .

? a ? bn ,? a2

?1? 1 a1

?1? 1 bn

? bn?1.

? a3

?1? 1 a2

?1? 1 bn?1

? bn?2 .

??

? an

?1?

1 an?1

?1? 1 b2

? b1

? ?1.

? an?1 ? 0.

故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}

16. (湖北卷)
解:(1):当 n ?1时,a1 ? S1 ? 2; 当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n2 ? 2(n ?1)2 ? 4n ? 2,

故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即{an}是a1? 2,公差d ? 4 的等差数列.

设{bn}的通项公式为

q,则b1qd

?

b1, d

?

4,?q

?

1. 4

故 bn

? b1qn?1

1 ? 2?
4n?1

,即{bn }的通项公式为bn

?

2 .
4n?1

? cn

?

an bn

?

4n ? 2 2

? (2n ?1)4n?1,

(II)

4n?1

?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3? 41 ? 5 ? 42 ? ? ? (2n ?1)4n?1 ], 4Tn ? [1? 4 ? 3? 42 ? 5 ? 43 ? ? ? (2n ? 3)4n?1 ? (2n ?1)4n ]

两式相减得

3Tn

?

?1? 2(41

?

42

? 43

???

4n?1 )

? (2n ?1)4n

?

1 [(6n ? 5)4n 3

? 5]

?Tn

?

1 [(6n ? 5)4n 9

? 5].

17. (湖南卷) (I)解:设等差数列{log 2 (an ? 1)} 的公差为d.

由 a1 ? 3,a3 ? 9得2(log2 2 ? d) ? log2 2 ? log2 8, 即d=1.

所以 log2 (an ?1) ? 1 ? (n ?1)? ? n, 即 an ? 2n ?1.

1 ? 1 ?1 (II)证明因为 an?1 ? an an?1 ? 2n 2n ,

1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ??? 1

所以 a2 ? a1 a3 ? a2

an?1 ? an 21 22 23

2n

?

1 2

? 1 ?1 2n 2 ?1?

1

? 1.

1? 1

2n

2

18. (江苏卷) 解:(Ⅰ)由 a1 ?1 , a2 ? 6 , a3 ? 11,得 S1 ? 1 , S2 ? 2 , S3 ? 18 .
? A ? B ? ?28, 把 n ?1, 2 分别代入 (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B ,得 ??2 A ? B ? ?48 解得, A ? ?20 , B ? ?8 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 5n(Sn?1 ? Sn ) ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 ,即 5nan?1 ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 , ①

又 5(n ?1)an?2 ? 8Sn?2 ? 2Sn?1 ? ?20(n ?1) ? 8 . ②

②-①得, 5(n ?1)an?2 ? 5nan?1 ? 8an?2 ? 2an?1 ? ?20 ,即 (5n ? 3)an?2 ? (5n ? 2)an?1 ? ?20 .



又 (5n ? 2)an?3 ? (5n ? 7)an?2 ? ?20 .



④-③得, (5n ? 2)(an?3 ? 2an?2 ? an?1) ? 0 ,

∴ an?3 ? 2an?2 ? an?1 ? 0 ,

∴ an?3 ? an?2 ? an?2 ? an?1 ? ? a3 ? a2 ? 5 ,又 a2 ? a1 ? 5 ,
因此,数列?an? 是首项为1,公差为5的等差数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, an ? 5n ? 4, (n?N?) .考虑

5amn ? 5(5mn ? 4) ? 25mn ? 20 .

( aman ?1)2 ? aman ? 2 aman ?1? aman ? am ? an ?1 ? 25mn ?15(m? n) ?9 . ∴ 5amn ? ( aman ?1)2 厖15(m ? n) ? 29 15? 2 ? 29 ?1 ? 0 . 即 5amn ? ( aman ?1)2 ,∴ 5amn ? aman ?1 .

因此, 5amn ? aman ?1 .

19. (全国卷Ⅰ) 解:(Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ?1)S20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S20 ) ? S20 ? S10 , 即 210 (a21 ? a22 ??? a30 ) ? a11 ? a12 ??? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ??? a20 ) ? a11 ? a12 ??? a20 .

因为 an ? 0 ,所以 210q10 ?1,

q?1 解得 2 ,因而

an

?

a1q n?1

?

1 2n

,n

? 1,2,?.

(Ⅱ)因为{an}是首项 a1

?

1 2

q
、公比

?

1 2

的等比数列,故

Sn

?

1 (1? 1 2 2n
1? 1

)

?1?

1 2n

, nSn

?

n?

n 2n

.

2

则数列{nS n } 的前n项和

Tn

? (1? 2 ??? n) ? (1 ? 2 2 22

??? n ), 2n

Tn ? 1 (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 ? n ).

22

22 23

2n

2 n?1

前两式相减,得

Tn 2

?

1 (1 ? 2 ? ? ? n) ? (1 ? 1

2

2 22

???

1 2n

)

?

n 2 n?1

?

n(n

? 1)

?

1 2

(1 ?

1 2n

)

?

n

4

1? 1

2 n?1

2



Tn

?

n(n ?1) 2

?

1 2n?1

?

n 2n

? 2.

20. (全国卷Ⅰ) 解:(Ⅰ)因为{an}是等比数列, Sn ? 0,可得a1 ? S1 ? 0, q ? 0.
当 q ?1时,Sn ? na1 ? 0;

当q

? 1时, Sn

?

a1(1? qn ) 1? q

? 0,即1? qn 1? q

? 0, (n

? 1, 2,

)

上式等价于不等式组:

?1 ? ?1

? ?

q q

? 0, ,
n ?0

(n

?

1,2,?)





?1 ? ?1

? ?

q q

? 0, ,
n ?0

(n

?

1,2,?)



解①式得q>1;解②,由于n可为奇数、可为偶数,得-1<q<1.

综上,q的取值范围是 (?1,0) ? (0,??).

(Ⅱ)由 bn

?

aa?2

?

3 2 an?1 得 bn

?

an (q2

?

3 2 q), Tn

?

(q 2

?

3 2

q)S n .

于是 Tn

?

Sn

?

Sn (q2

?

3 2

q

? 1)

?

Sn (q

?

1)(q 2

? 2).

又∵ Sn >0且-1< q <0或 q >0

1 当 ?1 ? q ? ? 2 或 q ? 2 时Tn ? Sn ? 0即Tn ? Sn



?

1 2

?

q

?

2


q

≠0时, Tn

?

Sn

?

0 即Tn

?

Sn

1 当 q ? ? 2 或 q =2时,Tn ? Sn ? 0即Tn ? Sn

21. (全国卷II)

(I)证明:∵ lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列
∴2 lg a2 = lg a1 + lg a4 ,即 a22 ? a1a4
又设等差数列?an? 的公差为 d ,则( a1 - d ) 2 = a1 ( a1 -3 d )
这样 d 2 ? a1d ,从而 d ( d - a1 )=0

∵ d ≠0

∴ d = a1 ≠0

a2n


? a1 ? (2n ?1)d

? 2n dbn

?

1 a2n

?

1 d

?

1 2n

1

1

∴?bn? 是首项为 b1 = 2d ,公比为 2 的等比数列。

1 11 7

(II)解。∵

b1

?

b2

?

b3

?

2d

(1?

2

?

) 4

?

24

∴ d =3

∴ a1 = d =3


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