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高三理科数学《立体几何》测试题带答案

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高三理科数学《立体几何》测试题(带答案) 1、如图,在 ??? C 中, ???C ? 45 ,点 ? 在 ?? 上,且 ?? ? ?C ? 面 ?? C , D? //?? , D? ? ?? ? 1 ?? . 2 2 ?? , ?? ? 平 3 ?1? 求证: ?? // 平面 C?D ; ? 2 ? 求二面角 ? ? CD ? ? 的余弦值. (1)证明:因为 PO ? 平面ABC , ?D//?? 所以DA ? AB, PO ? AB 又DA ? AO ? 又AO ? 1 ? PO, 所以?AOD ? ……………………2 分 2 4 1 ? PO, 即OB ? OP, 所以?OBP ? ,即OD // PB, ……………….4 分 2 4 又PB ? 平面COD, OD ? 平面COD, 所以PB // 平面COD 。……………….6 分 (2)解:过 A 作 AM ? DO, 垂足为M,过M作MN ? CD于N , 连接AN , 则 ?ANM即为二面角O ? CD ? A的平面角。 ……………….8 分 设AD ? a,在等腰直角?AOD中,得AM ? 2 3 a,在直角?COD中,得MN ? a, 2 3 30 10 ……………….12 分 在直角?AMN中,得AN ? a,所以 cos ?ANM ? 6 5 2、如图,在棱长为 2 的正方体 ??CD ? ?1?1C1D1 中, ? 、 F 分别为 ?1D1 和 CC1 的中 点. ?1? 求证: ?F// 平面 ?CD1 ; ? 2 ? 求异面直线 ?F 与 ?? 所成的角的余弦值; ? 3? 在棱 ??1 上是否存在一点 ? ,使得二面角 ? ? ?C ? ? 的 大小为 30 ?若存在,求出 ?? 的长;若不存在,请说明理 由. 解:如图分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系 D-xyz, 由已知得 D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、 B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、E(1,0,2 )、F(0,2,1). (1)取 AD1 中点 G,则 G(1,0,1) , CG =(1,-2,1) ,又 EF = (-1,2,-1) ,由 EF = ? CG , ∴ EF 与 CG 共线.从而EF∥CG,∵CG ? 平面 ACD1,EF ? 平 面 ACD1,∴EF∥平面 ACD1. ………………………………………………………………4 分 (2) ∵ AB =(0,2,0), cos< EF , AB >= ?? ?? ?? ?? ?? ?? EF ? AB 4 6 , ? ? 3 | EF | ? | AB | 2 6 6 .…………………………………………………8 分 3 ∴异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值为 (3)假设满足条件的点 P 存在,可设点 P(2,2,t)(0<t≤2),平面 ACP 的一个法向量为 n =(x, y,z), 则? ? ?n ? AC ? 0, ? ? n ? AP ? 0. ∵ AP =(0,2,t), AC =(-2,2,0), ∴? ??2 x ? 2 y ? 0, 2 取 n ? (1,1, ? ) . t ? 2 y ? tz ? 0, 易知平面 ABC 的一个法向量 BB1 ? (0,0, 2) , 依题意知,< BB1 , n >=30°或< BB1 , n >=150°, ∴|cos< BB1 , n >|= 4 |? | t 2? 2 ? 4 t2 ? 3 , 2 即 4 3 4 6 ? (2 ? 2 ) ,解得 t ? . 2 t 4 t 3 ∵ 6 ? (0, 2] 3 6 时,二面角 P-AC-B 的大小为 30°……………13 分 3 ∴在棱 BB1 上存在一点 P,当 BP 的长为 3、如图所示,在四棱锥 ? ? ??CD 中,底面 ?? CD 为矩形,?? ? 平面 ?? CD ,点 ? 在线段 ? C 上, ? C ? 平面 ? D ? . ?1? 求证: ?D ? 平面 ??C ; ? 2 ? 若 ?? ? 1 ,?D ? 2 ,求二面角 ? ? ?C ? ? 的余弦值. (1) 证明:∵ PA ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD ∴ PA ? BD . 同理由 PC ? 平面BDE ,可证得 PC ? BD . 又 PA PC ? P ,∴ BD ? 平面PAC . (2)解:如图,分别以射线 AB , AD , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 A ? xyz . C ? 平面 P A C 由(1)知 BD ? 平面PAC , 又A , ∴ BD ? AC . 故矩形 ABCD 为正方形,∴ AB=BC=CD=AD=2 . ∴ A(0, 0,, 0) B(2, 0,, 0) C (2, 2,, 0) D(0, 2,, 0) P(0, 0, 1) . ∴ PB ? ? 2,0,1? , BC ? ? 0, 2,0 ? , BD ? ? ?2, 2,0 ? . 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ? ?n ? PB ? 0 ? ?n ? BC ? 0 ,即 ? ?2 x ? 0 ? y ? z ? 0 , ?0 ? x ? 2 y ? 0 ? z ? 0 ∴? ?z ? 2x ,取 x ? 1 ,得 n ? (1,0, 2) . ?y ? 0 ∵ BD ? 平面PAC ,∴ BD ? (?2, 2,0) 为平面 PAC 的一个法向量. 所以 cos ? n, BD ?? n ? BD n BD ?? 10 . 10 设二面角 B ? PC ? A 的平面角为 ? ,由图知 0 ? ? ? ? 2 ,则 cos

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