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浙江省台州中学12-13学年高二下学期期中数学(理)试题

时间:2013-04-23


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台州中学 2012 学年第二学期期中试题 高二 (理科) 数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1.函数 y ? f ( x ) ,当自变量 x 由 x0 变化到 x0 ? ?x 时,函数 y ? f ( x ) 的改 变量 ?y 为 A. f ( x0 ? ?x ) C. f ( x0 ) ? ?x ( )
3

y A

B. f ( x0 ) ? ?x D. f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ( D. (4 ? 3i)i
? 2 ,则实数 a 的值为

2.如图,下列哪个运算结果可以用向量 OA 表示 A. (3 ? 4i)i B. (3 ? 4i)i C. (4 ? 3i)i 3.已知函数 f ( x ) ? ax ? 4 ,若 lim A.
2
?x ? 0



O

4

x

f (1 ? ?x ) ? f (1) ?x





B. ?2

C. 3

D. ?3 )

4.下面几种推理过程是演绎推理的是 (
?A ? ?B ? 180? .

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果 ?A 和 ?B 是两条平行直线的同旁内角,则 B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质. C.某校高二共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班都超过 50 人. D.在数列 ?an ? 中 a1 ? 1, an ?
1? 1 ? ? an ?1 ? ? ? n ? 2 ? ,由此归纳出 ?an ? 的通项公式. 2? an ?1 ?

5.记 I 为虚数集,设 a , b ? R , x , y ? I .则下列类比所得的结论正确的是 A.由 a ? b ? R ,类比得 x ? y ? I B.由 a 2 ? 0 ,类比得 x 2 ? 0 C.由 (a ? b) ? a ? 2ab ? b ,类比得 ( x ? y ) ? x ? 2 xy ? y
2 2 2 2 2 2





D.由 a ? b ? 0 ? a ? ?b ,类比得 x ? y ? 0 ? x ? ? y 6. 若 f ( x) ? 2 xf '(1) ? x ,则 f '(0) 等于 A. -2 B. -4 C. 2
2

( D. 0
1 b ,b ? 1 c
1 b 1 c



7.用反证法证明命题“若 a , b, c 都是正数,则 a ? 提出的假设是 A. a , b, c 不全是正数

,c ?

1 a

三数中至少有一个不小于 2 ” , ( )

B. a ?

,b ?

,c ?

1 a

至少有一个小于 2

C. a , b, c 都是负数

D. a ?

1 b

,b ?

1 c

,c ?

1 a

都小于 2

8. 如图是导函数 y ? f ?( x ) 的图像,则下列命题错误的是( A.导函数 y ? f ?( x ) 在 x ? x1 处有极小值 B.导函数 y ? f ?( x ) 在 x ? x2 处有极大值
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y ' y ? f (x)

O
x1
x2 x3

x4

x

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C.函数 y ? f ( x)在x ? x3 处有极小值 D.函数 y ? f ( x)在x ? x4 处有极小值 9. 已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n =1,2,?,1000时,P(k)成立,且当 n ? 1000 ? 1 时它也成立, 下列判断中,正确的是( ) A.P(k)对k=2013成立 B.P(k)对每一个自然数k成立 C.P(k)对每一个正偶数 k 成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立 10.定义在 (0, ?? ) 上的单调递减函数 f ( x ) ,若 f ( x ) 的导函数存在且满足 不等式成立的是 ( ) A. 3 f (2) ? 2 f (3) B. 3 f (4) ? 4 f (3) C. 2 f (3) ? 3 f (4) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分. 11.设复数 z ? ?
1 2 ? 3 2 i

f ( x) f ( x)
'

? x ,则下列

D. f (2) ? 2 f (1)

,则 z 2 的值为

.

12.函数 f ( x) ? 1 ? ln x在x ? 1 处的切线方程是 . 13. 现有一个关于平面图形的命题: 如图所示, 同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部 分的面积恒为
a
2

,类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个

4

的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ________. 14. 函数 f ( x) ? ? x 3 ?
2

3 2

1 x ? 6 x 在区间 ? ,4? 上的最大值为_______.
2

15. 若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围_______. 16. 已知 x ? 0 ,观察下列不等式:① x ? 不等式为 17. 记 f
(1)

1 x

? 2 ,② x ?

4 x
2

? 3③ x?

27 x
3

? 4 ,?,则第 n 个

.
( 2)

( x ) ? [ f ( x )]' , f

( x) ? [ f
(1)

(1)

( x )]' ,?, f
( 2)

(n)

( x) ? [ f
( 2013)

( n ?1)

( x )]' ( n ? N ? , n ? 2) .

若 f ( x) ? x cos x ,则 f (0) ? f

(0) ? f

(0) ? ? ? f

(0) 的值为

.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 49 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18. (本题满分 9 分)已知复数 z ? a ? i (a ? R ) ,且 | z ? 1 |? 1 ,若 z , z 2 , z ? z 2 在复平面中对应 的点分别为 A, B , C ,求 ?ABC 的面积.

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19.( 本题满分 10 分) 请观察以下三个式子: ① 1? 3 ?
1? 2 ? 9 6

; ; ,

② 1? 3 ? 2 ? 4 ?

2 ? 3 ? 11 6

③ 1? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ?

3 ? 4 ? 13 6

归纳出一般的结论,并用数学归纳法证明之.

20.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?

1 4 ?2
x

( x ? R) .

(1)求: f ( x) ? f (1 ? x) 的值; (2)类比等差数列的前 n 项和公式的推导方法,求:
f( 1 m )? f ( 2 m )? f ( 3 m ) ?? ? f ( m ?1 m ) ? f ( ) 的值. m m

21. (本题满分 10 分)已知点是 F 抛物线 C1 : x ? 4 y 与椭圆 C2 :
2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的公共

焦点,且椭圆的离心率为 .
2

1

(1)求椭圆的方程; (2)过抛物线上一点 P,作抛物线的切线 l ,切点 P 在第一象限,如图,设切线 l 与椭圆相交 于不同的两点 A、B,记直线 OP,FA,FB 的斜率分别为 k , k1 , k 2 (其中 O 为坐标原点) ,若
k1 ? k 2 ? 20 3 k ,求点 P 的坐标.

y

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F P
O

A
x

B

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22.(本题满分 10 分)已知 f ( x) ? ? (1) a ? 2 时,求 f ? x ? 的极值;

? a ?1 ? 2 ? ln(1 ? x ) ? ax ? 2 ?
2

.

(2)当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性; (3)证明: (1 ?
1 2
4

)(1 ?

1 3
4

) ? ? ? ?(1 ?

1 n
4

) ? e ( n ? N , n ≥ 2 ,其中无理数 e ? 2.71828? )
*

台州中学 2012 学年第二学期期中试题 高二 数学(理科)答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 D B A A C B D C D A 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分. 11. ?
1 2 ? 3 2 i

12. y ? 2 ? x

13.

a

3

14. 10

8

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15. [1, )
2

3

16. x ?

n x
2

n n

? n?1

17. 1007

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 49 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18.解: z ? 1 ?
( a ? 1) ? 1 ? 1得a ? 1, 即z ? 1 ? i ?????3 分

所以 z 2 ? (1 ? i ) 2 ? 2i, z ? z 2 ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? 3i 所以 A(1,1), B (0,2), C (1,?3) ,即 S ?ABC ? 19. 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? n( n ? 2) ?
1 2 ? 4 ? 1 ? 2 ?????9 分

n( n ? 1)(2n ? 7) 6

?????3 分

证明:①当 n ? 1 ,左边=3,右边=3,? 左边=右边 ②假设当 n ? k ( k ? 1, k ? N ) 时,命题成立,
*

即 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? n( n ? 2) ? 则当 n ? k ? 1 时

n( n ? 1)(2n ? 7) 6

1 ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? k ( k ? 2) ? ( k ? 1)( k ? 3) ?
? k ?1 6 1 2
2

k ( k ? 1)(2k ? 7) 6

? ( k ? 1)( k ? 3)

( 2k

? 7 k ? 6k ? 18) ?

k ?1 6

( 2k

2

? 13k ? 18) ?

( k ? 1)(k ? 2)(2k ? 9) 6

、 ? 当 n ? k ? 1 时命题成立,由(1)(2)知,命题成立. 20.(1) f ( x) ? f (1 ? x) ? (2) f (
1 m )? f ( 2 m )? f (

?????10 分

,?????4 分
m ?1 m 3m ? 1 ?????6 分 )? f ( ) ? m m 12
2 2

3 m

) ?? ? f (

?a ? b ? 1 ? 21.解(1)因为点 F 的坐标为 (0.1) ,则有 ? a 2 ? b 2 , 1 ? ? a 2 ?

从而有 a ? 2, b ?
2

3 ,故椭圆方程为

y

2

?

x

2

? 1. ?????4 分
2

4

3

(2)设 P (2t , t ), 由 y 2 ?
2

x 2

,得切线的斜率为 t ,从而切线 l 的方程为: y ? tx ? t ,

? y ? tx ? t ? 2 2 3 4 由 ? y2 x2 ,得 (3t ? 4) x ? 6t x ? 3t ? 12 ? 0. ? ?1 ? 3 ? 4
? 6t ? x1 ? x 2 ? 2 ? 3t ? 4 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则有 ? , 4 3t ? 12 ? x x ? 2 ? 1 2 3t ? 4 ?
3

而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 x1

?

y2 ? 1 x2

?

x 2 (tx1 ? t

2

? 1) ? x1 (tx 2 ? t x1 x 2

2

? 1)

? 2t ? (t

2

? 1)

x1 ? x 2 x1 x 2

从而有 k1 ? k 2 ? 2t ?

2t (t t
4

3

2

? 1)

?4

,又 k ?

t

2

?

t 2



2t

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则有 2t ?
2

2t (t t
4

3

2

? 1)

?4

?

10t 3

,而 t ? 0 ,故有 5t 4 ? 3t 2 ? 8 ? 0 ,

得 t ? 1 ,故 t ? 1 ,即得点 P 的坐标为 (2,1) .?????10 分

22.解: f ? ? x ? ? (1)令 f ? ? x ? ?
? ?

?a

2

? 1? x
2

1? x

?a ?

ax ? ? a ? 1? x ? a
2 2

?1 ? x ?
2

?

? ax ? 1?? x ? a ?
1? x
2

??????1 分
? ? 1? ? 上单调 2?

? 2 x ? 1?? x ? 2 ?
1? x
1
2

? 0 ,知 f

? x ? 在区间 ? ??, ?2 ? 上单调递增, ? ?2, ?
f

递 减 , 在 ??

? , ?? ? 单 调 递 增 . 故 有 极 大 值 2 ?

? ?2 ? ?

5 2

ln 5 ? 4 , 极 小 值

5 ? 1? 5 f ? ? ? ? ln ? 1 .???4 分 4 ? 2? 2

(2)当 ?1 ? a ? 0 时, ? ??, ? a ? 上单调递减, ? ? a, ?
?

?

1? ? 1 ? ? 单调递增, ? ? , ?? ? 单调递减 a? ? a ?

当 a ? ?1 时, ? ??, ?? ? 单调递减 当 a ? ?1 时, ? ??, ?
? ? 1? ? 1 ? ? 上单调递减, ? ? , ? a ? 单调递增, ? ? a, ?? ? 单调递减????7 分 a? ? a ?

(3)由(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x ) 在 R 上单调递减. 当 x ? 0 时 f ( x ) ? f (0) ∴ ln(1 ? x ) ? x ? 0 ,即 ln(1 ? x ) ? x ∴
2 2

?? 1 ? ? 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ln ?? 1 ? 4 ? ? ? 1 ? 4 ? ? ? ? ? 1 ? 4 ? ? ? ln ? 1 ? ? ln ? 1 ? 4 ? ? ? ? ln ? 1 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 4 ? 2 ? ? 3 ? n ?? 2 ? 3 ? n ? 2 3 n ? ?? ? ? ?

?

1 1? 2

?

1 2?3

???

1? ?1 1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1 n ? n ? 1? ? 2? ? 2 3? n ? n n ?1? 1

1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 4 ? ? ?1 ? 4 ? ? ? ? ?1 ? 4 ? ? e 2 ? ? 3 ? n ? ? ∴? .????10



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