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运用二倍角公式解题的六技巧

时间:2017-10-07


运用二倍角公式解题的五技巧 二倍角公式变化多姿, 在求值以及恒等变换中应用很广。 若熟练掌握二倍角公式以及变 通公式并能灵活运用,则往往能出奇制胜,获得新颖别致的解法。 一、二倍角公式的直接运用

1 , 0 ? ? ? ? ,求 sin 2? ? cos 2? 的值。 3 2 2 分析:由条件式两边平方,可求得 sin 2? 的值。注意到 cos 2? ? cos ? ? sin ? s? ? s i的 n 值 , 于 是 先 求 ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) , 还 需 求 c o? 2 2 然后开方, 从而要进一步界定 ? 的 (cos ? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ? 4sin ? cos ? 的值,
例 1 若 sin ? ? cos ? ? 范围。

1 4 1 两边平方得 1 ? 2sin ? cos ? ? ,所以 sin ? cos ? ? ? 。又 9 9 3 8 0 ?? ?? , 所以 sin ? ? 0 ,cos ? ? 0 , 所以 ? 为钝角。 所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? , 9 1 8 17 cos ? ? sin ? ? ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 2sin 2? ? ? , 所 以 ? 2 ? (? ) ? ? 9 9 3
解:由 sin ? ? cos ? ?

1 17 17 cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? (? ,从而 )?? 3 3 9 ?8 ? 17 sin 2? ? cos 2? ? 。 9
点评:挖掘隐含得到
2

?

为钝角是解题的一个重要环节。注意导出公式

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) 。
二、二倍角公式的逆用 例 2 求 tan

?
8

? cot

?
8

的值。

解: tan

?
8

? cot

?
8

?

sin cos

? ?
8 ? 8

cos sin

? ?
8 ?

sin 2

?
8

? cos 2 8 sin

?
8 ?

? cos

8
?

cos

?

?
8

4 ? ?2 cot ? ? ?2 。 1 ? 4 sin 2 4

?

点评:本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式,从而转化为特殊角函数的求值问题。 三、二倍角公式的连用 例 3 求 cos12 cos 24 cos 48 cos96 的值.
? ? ?

? 1 2, 48? ? 2 ? 24? , 96? ? 2 ? 48? , 联 想 二 倍 角 的 正 弦 公 式 分析: 24 ? 2 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ,若逐步逆用将是一条通途.
? ?

? ? ? ? 解: cos12 cos 24 cos 48 cos96 ?

sin12? cos12? cos 24? cos 48? cos96? sin12?

sin192? ? sin12? 1 ? ?? 。 ? ? 16sin12 16sin12 16 n ?1 点评:对形如 cos? cos2? cos4? ?cos2 ? 的求值问题可考虑此法.若逆用诱导公 ? ? 2? 4? ? 3? 5? cos ? ? sin sin sin 式 sin( ? ? ) ? cos ? 可知 cos cos ,即对于正弦之 2 7 7 7 14 14 14 ?
积或正弦余弦混合积的求值问题先利用诱导公式转化为余弦之积的形式利用此法求解. 四、整体配对使用二倍角公式 例 4.求值: sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 分析:本题可按例2的点评部分所说的方法处理,这里介绍整体构造法.
? ? ? ?

解:设 A ? sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ,构造 B ? cos6 cos42 cos66 cos78
? ? ? ? ? ? ?

?

则 AB ?

1 1 sin 12 ? sin 84 ? sin 132 ? sin 156 ? ? cos 78 ? cos 6 ? cos 42 ? cos 66 ? 16 16 1 1 1 ? B ,因为 B ? 0 ,所以 A ? , 即 sin 6 ? sin 42 ? sin 66 ? sin 78 ? ? . 16 16 16
? ? ? ?

点评: 将已知式视为一个整体, 然后构造一个与之对称的对偶式, 通过联立这两个式子, 求得原问题的解即为整体构造法.本题的值可求出,实质上是 sin 6 sin 42 sin 66 sin 78

? cos84? cos48? cos24? cos12? ? ? cos12? cos24? cos48? cos96? .
s i n2? sin 2? , cos ? ? ; 二 倍 角 余 弦 公 式 变 形 得 到 升 幂 公 式 2 c o s? 2 sin ? 1 ? cos 2? cos2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 或 得 到 降 幂 公 式 sin 2 ? ? 或 2 1 ? cos 2? cos 2 ? ? ; )和与诱导公式等结合的综合变用(如导出万能公式和半角公式等) . 2 2 ? 2 ? ? ? ? 例 5 求值: cos 5 ? cos 10 ? 2cos5 cos10 cos15 1 ? cos10? 1 ? cos 20? ? ? 2cos5? cos10? cos15? 解:原式 ? 2 2 1 ? 1 ? (cos10? ? cos 20? ) ?(cos15? ? cos5? )cos15? 2 ? 1 ? cos15? cos5? ? cos2 15? ? cos5? cos15? ? 1 ? cos 2 15? 1 ? cos 30? 2 ? 3 ? 1? ? 2 4
六、整体思考运用二倍角公式 诱导公式与二倍角公式结合可以导出: cos 2? ? sin 2(? ? 五、二倍角公式的变用(升次或降次) 二 倍 角 公 式 的 变 用 包 括 公 式 形 式 上 的 变 用 ( 如 将 sin 2? ? 2 sin ? cos ? 变 为

sin ??

?
4

)

? 2sin(? ? ) cos(? ? ) , cos 2? ? sin 2( ? ? ) ? 2sin( ? ? ) cos( ? ? ) 。 4 4 4 4 4 cos2 x ? ? 5 例 6.已知 x ? (0, ) ,且 sin( ? x ) ? ,求 的值. ? 4 4 13
分析: 若由 sin(

?

?

?

?

?

?
4

? x) ?

5 ? 2 2 展开后与 sin x ? cos x ? 1 联立并结合 x ? (0, ) 是可以 13 4

cos( ? x) 4

求出 sin x 和 cos x , 但这样求解运算量是非常大的且容易出错. 应将 行求解. 解:因为 x ? (0,

? ? x 视为一个整体进 4

? ? ? ? ? ) ,所以 ( ? x) ? (0, ) ,所以 cos( ? x) ? 1 ? sin 2 ( ? x) 4 4 4 4 4 ? ? 12 ? 5 12 120 ? ? .所以 cos 2 x ? sin( ? 2 x) ? 2 sin( ? x) cos( ? x) ? 2 ? ? . 4 4 13 2 13 13 169 ? ? ? ? 5 cos( ? x) ? cos[ ? ( ? x)] ? sin( ? x ) ? . 4 2 4 4 13

故原式 ?

120 13 24 ? ? . 169 5 13

点评:在运用整体思想的条件下,要立足一个“变”字,善变则活.一是角的拆变,二 是通过诱导公式实现角的变换而得到统一.要观察到 (

?
4

? x) ? (

?
4

? x) ?

?
2



2(

?
4

? x) ?

?
2

? 2 x 而想到利用诱导公式和倍角公式.

例 7.设 sin 2? ? a , cos 2? ? b ,求 tan( 分析:要把 来实现转化.

?
4

??) .

? ? ? ? ? 视为一个整体,并注意到 2( ? ? ) ? ? 2? ,需要利用诱导公式 4 4 2

? ? ? c o s ( ? ?2 , ) sin 2? ? a , cos( 解:由 sin 2
2 cos 2 (

?

?

?
4

2

??) ? 1? a



由 cos 2? ? sin( ②

?
2

? 2? ) ? 2 cos 2 ( ? ? ) ? 1 得 2 4

?

? 2? ) , cos 2? ? b 及二倍角的正

弦公式得 2 sin(

?
4

? ? ) cos(

?
4

??) ? b

由② ? ①得 tan(

?
4

??) ?

b . 1? a


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