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2019《》高一数学人教A版必修2课件:2-3-1直线与平面垂直的判定-PPT文档资料_图文

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成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

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第二章
2. 3 直线、平面垂直的判定及其性质

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

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第二章
2.3.1 直线与平面垂直的判定

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

第二章

2.3

2.3.1

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课前自主预习

第二章

2.3

2.3.1

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温故知新 1.在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有:①等腰三 角形底边上的中线 垂直平分 底边;②菱形对角线互相 垂直平分 ; ③正方形对角线互相 垂直平分 ;④圆的直径所对圆角等于 90° .

第二章

2.3

2.3.1

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2.在上一节,我们已经学习了直线与平面平行的判定定 理和平面与平面平行的判定定理及其应用,线面平行、面面 平行的判定最终归结为线线平行的判定,并且研究了线面平 行和面面平行的三种判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3) 反证法.

第二章

2.3

2.3.1

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新课引入 在日常生活中,木工检查一根立柱是否与板面垂直的方 法是用曲尺检查两次(只要检查两次,但曲尺靠板面的边两次 不能在同一直线上),如果板面和曲尺的两边完全吻合,便可 判定立柱和板面垂直,你知道木工师傅在此过程中运用了哪 些知识吗?

第二章

2.3

2.3.1

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自主预习 阅读教材P64~66回答下列问题. 1.直线与平面垂直 如果直线l与平面α内的 任意一条 直线 定义 都垂直,我们就说直线l与平面α互相 垂直 记法 l⊥α

第二章

2.3

2.3.1

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有关 直线l叫做平面α的 垂线 ,平面α叫做直线l的 概念 垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足.

图示

画法

画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表 示平面的平行四边形的一边垂直

第二章

2.3

2.3.1

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[破疑点](1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有 直线”是同义语,与“无数条直线”不是同义语. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式. (3)由直线与平面垂直的定义,得如果一条直线垂直于一 个平面,那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.

第二章

2.3

2.3.1

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直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关 系是( ) B.l和平面α相互垂直 D.不能确定

A.l和平面α相互平行 C.l在平面α内
[答案] D

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

如下图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和

平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D.

第二章

2.3

2.3.1

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[点评]

“任意一条直线”与“所有直线”意义相同,但

与“无数条直线”意义不同.

第二章

2.3

2.3.1

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2.判定定理 文字 语言 图形 语言 符号语言 作用 l⊥a,l⊥b,a?α,b?α, a∩b=P ?l⊥α 判断直线与平面 垂直 一条直线与一个平面内的两条 相交 直线都垂 直,则该直线与此平面垂直

第二章

2.3

2.3.1

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[破疑点]

直线与平面垂直的判定定理告诉我们:可以通

过直线间的垂直来证明直线与平面垂直.通常我们将其记为 “线线垂直,则线面垂直”.因此,处理线面垂直转化为处 理线线垂直来解决.也就是说,以后证明一条直线和一个平 面垂直,只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂 直即可.

第二章

2.3

2.3.1

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如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:AC⊥ 平面BDD1B1.

[分析]

转化为证明AC⊥BD,AC⊥BB1.

第二章

2.3

2.3.1

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[证明]

∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,

∴BB1⊥平面AC, 又AC?平面AC,∴BB1⊥AC. 又四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. 又BD?平面BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,BB1∩BD= B, ∴AC⊥平面BDD1B1.

第二章

2.3

2.3.1

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3.直线和平面所成的角 (1)定义:一条直线和一个平面 相交 ,但不和这个平面

垂直 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的 交点 叫
做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 ,过 垂足 和

斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线
和它在平面上的射影所成的 锐角 ,叫做这条直线和这个平面 所成的角.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等 于 90° ;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所 成的角等于
? π? 0° .因此,直线与平面所成的角的范围是?0,2?. ? ?

第二章

2.3

2.3.1

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成 的角等于________.

[答案]

45°

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

如图所示,因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B

⊥平面ABCD,所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影,∠ B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知,∠B1AB =45° ,故所求角为45° .

第二章

2.3

2.3.1

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规律总结:求直线与平面所成的角的关键是找出平面的 垂线,从而找出直线在平面内的射影.

第二章

2.3

2.3.1

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思路方法技巧

第二章

2.3

2.3.1

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线面垂直的判定
学法指导 线面垂直的判定定理的应用

(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂 直的步骤: ①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直; ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线; ③根据判定定理得出结论.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直 的技巧: 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题 目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全 等、等腰三角形、梯形底边的中线、高;菱形、正方形的对 角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.

第二章

2.3

2.3.1

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[例1]

如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面

ABC,∠ABC=90° ,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:

第二章

2.3

2.3.1

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(1)BC⊥平面PAB; (2)AE⊥平面PBC; (3)PC⊥平面AEF. [分析] 要证线面垂直,有两种方法:一是定义,二是判

定定理.本题利用判定定理即可.

第二章

2.3

2.3.1

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[证明]

(1)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,

∴PA⊥BC. ∵∠ABC=90° ,∴AB⊥BC. 又AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB,AE?平面PAB,∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE,BC∩PB=B, ∴AE⊥平面PBC.

第二章

2.3

2.3.1

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(3)∵AE⊥平面PBC,PC?平面PBC, ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC,AE∩AF=A, ∴PC⊥平面AEF.

第二章

2.3

2.3.1

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规律总结:本题是证线面垂直问题,要多观察题目中的 一些“垂直”关系,看是否可利用.如看到PA⊥平面ABC, 可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC,这些垂直关系我们需要 哪个呢?我们需要的是PA⊥BC,联系已知,问题得证.

第二章

2.3

2.3.1

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在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的 中点,O是底面ABCD的中心,求证:EF⊥平面BB1O.

第二章

2.3

2.3.1

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[分析]

利用两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那

么另一条也垂直于这个平面,本题可先证AC⊥平面BB1O,再 证EF∥AC即可.

第二章

2.3

2.3.1

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[证明]

如图,连接AC,BD,则O为AC,BD的交点

∵ABCD为正方形,∴AC⊥BO 又∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥BB1

第二章

2.3

2.3.1

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∵BO∩BB1=B, ∴AC⊥平面BB1O. 又∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC ∴EF⊥平面BB1O

第二章

2.3

2.3.1

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线面角
学法指导 求线面角的方法:

(1)求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点 与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上 的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③ 把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键, 而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征 是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、 垂心、重心等.

第二章

2.3

2.3.1

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[例2]

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切. (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.

第二章

2.3

2.3.1

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[分析]

求线面角的关键是找出直线在平面内的射影,为

此须找出过直线上一点的平面的垂线.(2)中过A1作平面 BDD1B1的垂线,该垂线必与B1D1、BB1垂直,由正方体的特性 知,直线A1C1满足要求.

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,∴∠A1CA为直线A1C

与平面ABCD所成的角,设A1A=1,则AC= 2 ,∴tan∠A1CA 2 =2. (2)连接A1C1交B1D1于O,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥ B1D1,∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,∴BB1⊥ A1C1, 又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O.

第二章

2.3

2.3.1

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∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在Rt△ 1 1 A1BO中,A1O= A1C1= A1B,∴∠A1BO=30° . 2 2 即A1B与平面BDD1B1所成的角为30° .

第二章

2.3

2.3.1

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(2012-2013学年枣庄高一检测)如图,在长方体ABCD- A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所 成角的正弦值为( )

第二章

2.3

2.3.1

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2 2 A. 3 2 C. 4

2 B. 3 1 D. 3

[答案]

D

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

∵AA1⊥平面A1B1C1D1,

∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角, ∵AA1=1,AB=BC=2,∴AC1=3, AA1 1 ∴sin∠AC1A1=AC =3. 1

第二章

2.3

2.3.1

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探索延拓创新

第二章

2.3

2.3.1

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线面垂直的综合应用
[例3] 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,

PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.

第二章

2.3

2.3.1

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(1)求证:EF⊥平面PAB; (2)设AB= 2BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值. [分析] (1)要证线面垂直,需证平面内有两条相交直线与

已知直线垂直,而根据条件易得EF⊥PB,EF⊥AF,所以本题 得证;(2)要求线面角,得先找出或作出这个角.根据条件易 得BP⊥平面EFA.故在△BEF中,只需过AC与BE的交点G作BF 的平行线GH,则GH⊥平面EFA,∠GAH为所求角.

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

(1)证明:连结BE,EP.

∵ED=CE,PD=AD=BC, ∴Rt△PDE≌Rt△BCE,∴PE=BE. ∵F为PB中点,∴EF⊥PB. ∵PD⊥底面ABCD,DA⊥AB,∴PA⊥AB. 在Rt△PAB中,∵PF=BF,∴PF=AF. 又∵PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA. ∵PB∩AF=F,∴EF⊥平面PAB.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)不妨设BC=1,则AD=PD=1,AB= 2 ,PA= 2 , AC= 3. ∴△PAB为等腰直角三角形,且PB=2. ∵F是PB的中点,∴BF=1,AF⊥PB. ∵AF∩EF=F,∴PB⊥平面AEF. 设BE交AC于点G,过点G作GH∥PB交EF于点H,则GH ⊥平面AEF.故∠GAH为AC与平面AEF所成的角. 1 由△EGC∽△BGA可知,EG=2GB,AG=2CG,

第二章

2.3

2.3.1

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1 2 2 3 ∴EG= EB,AG= AC= . 3 3 3 1 1 由△EGH∽△EBF,可知GH= BF= . 3 3 GH 3 ∴sin∠GAH= AG = 6 , 3 ∴AC与平面AEF所成角的正弦值为 6 .

第二章

2.3

2.3.1

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规律总结:(1)中还可取AB中点Q,连结EQ,FQ,证明 AB⊥平面EFQ,则AB⊥EF,加上EF⊥PB,则EF⊥平面 PAB.(2)中在求线面角时,首先得找出或作出这个角,再解三 角形求角.

第二章

2.3

2.3.1

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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥ BC,∠BAD=90° ,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC, M,N分别为PC,PB的中点.

第二章

2.3

2.3.1

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(1)求证:PB⊥DM; (2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值.

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

(1)证明:∵N是PB的中点,PA=AB,

∴AN⊥PB. ∵PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形, ∴PA⊥AD,AD⊥AB, ∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥PB,∴PB⊥平面ADMN. ∵DM?平面ADMN,∴PB⊥DM.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)取AD的中点G,连结BG,NG,则BG∥CD. ∵PB⊥平面ADMN,∴∠BGN是BG与平面ADMN所成的 角.

第二章

2.3

2.3.1

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2 在Rt△PAB中,BN= AB. 2 5 在Rt△ABG中,BG= 2 AB. BN 10 在Rt△BGN中,sin∠BGN=BG= 5 . 10 故CD与平面ADMN所成的角的正弦值是 5 .

第二章

2.3

2.3.1

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名师辨误做答

第二章

2.3

2.3.1

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易错点 空间情形 [例4]

在几何题的证明中,只考虑平面情形,而忽略

已知四边形ABCD中,四个角∠ABC,∠BCD,∠

CDA,∠DAB都是直角,求证:四边形ABCD是矩形. [错解] ∵四边形ABCD中,四个角∠ABC,∠BCD,∠

CDA,∠DAB都是直角,∴四边形ABCD是矩形.

第二章

2.3

2.3.1

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[错因分析] 把ABCD当作平面四边形(未加共面证明)就 得出结论. [思路分析] 四边形ABCD有两种存在形式:平面四边形 ABCD和空间四边形ABCD,需分类证明.

第二章

2.3

2.3.1

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[正解]

当四边形ABCD是平面图形时,它显然是矩形.

若四边形ABCD是空间四边形时,可设点C在平面ABD之 外.如图,过点C作CC1⊥平面ABD,则AB⊥面BCC1,∴∠ ABC1=90° .同理,∠ADC1=90° .

第二章

2.3

2.3.1

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又∵∠BAD=90° ,∴∠BC1D=90° ,
2 ∴BD2=BC1 +DC2 1. 2 2 2 又∵∠BCD=90° ,∴BD2=BC1 +DC2 1=BC +DC . 2 而事实上,BC2+DC2>BC2 + DC 1 1,矛盾.

∴点C在平面ABD内,即四边形ABCD是矩形.

第二章

2.3

2.3.1

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基础巩固训练

第二章

2.3

2.3.1

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1.直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能( A.平行 C.异面 B.相交 D.垂直

)

[答案]

A

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,

又∵m?α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定 义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.

第二章

2.3

2.3.1

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2.下列说法中错误的是(

)

①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这 个平面必相交;②如果一条直线和平面的一条平行线垂直, 该直线必在这个平面内;③如果一条直线和平面的一条垂线 垂直,该直线必定在这个平面内;④如果一条直线和一个平 面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线. A.①② C.①②④
[答案] D
第二章 2.3 2.3.1

B.②③④ D.①②③

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[解析] 的命题.

由线面垂直的判定定理解题,注意本题是选错误

第二章

2.3

2.3.1

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3.下列命题中正确的个数是(

)

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;②如 果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线l不垂 直于α,则α内没有与l垂直的直线;④如果直线l不垂直于α, 则α内也可以有无数条直线与l垂直. A.0
[答案]
[解析]

B.1
B
只有④正确.

C .2

D.3

第二章

2.3

2.3.1

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4.一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值范围是 ( ) A.(0° ,90° ) C.[0° ,90° ]
[答案] B

B.[0° ,90° ] D.[0° ,180° ]

[解析] 由线面角的定义知B正确.

第二章

2.3

2.3.1

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5.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB= 2 ,BC=AA1=1, 则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________.
π [答案] 6

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

如下图所示,连接B1D1.

第二章

2.3

2.3.1

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则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则∠BD1B1是BD1 与平面A1B1C1D1所成的角. BB1 1 3 在Rt△BD1B1中,tan∠BD1B1= = = ,则∠ B1D1 3 3 π BD1B1= . 6

第二章

2.3

2.3.1

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6.正四棱锥的侧棱长为2 3 ,侧棱与底面所成角为60° , 则该四棱锥的高为________.
[答案] 3

第二章

2.3

2.3.1

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[解析]

如图,过点P作ABCD的垂线,垂足O为正方形

ABCD的中心,∠PAO为PA与底面ABCD所成的角.在Rt△PAO 3 中,PA=2 3 ,∠PAO=60° ,∴PO=PA· sin∠PAO=2 3 × 2 =3.

第二章

2.3

2.3.1

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7.在平面α内有直角∠BCD,AB⊥平面α, 求证:CD⊥平面ABC.

第二章

2.3

2.3.1

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[证明]

如图,

? AB⊥α ? ? ??AB⊥CD ? ? CD?α? ? ??CD⊥平面ABC ∠BCD=90° ?BC⊥CD ? ? AB∩BC=B ?

第二章

2.3

2.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

8.已知空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC,E为BC 中点. 求证:BC⊥平面AED.

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[证明] ∵AB=AC,DB=DC,E为BC中点, ∴AE⊥BC,DE⊥BC,又AE∩DE=E, ∴BC⊥平面AED.

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