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高中数学2.2.2平面与平面平行的判定课件新人教A版必修

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想一想: 平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; (2)符号语言: a? β, b? β, a∩ b= P, a∥ α, b∥ α? β∥ α; (3)图形语言:如图所示.

做一做:

1.正方体 AD′中,与平面 AC 平行的平面是 ( (A)平面 A′ C′ (B)平面 AD′ (C)平面 AB′ (D)平面 BC′

A )

解析:观察一个正方体可知与平面 AC 平行的平面是平面 A′C′,故选 A.

2.已知平面 α∥平面 β,平面 β∥平面 γ,则平面 α 与平面 γ 的位置关系是 ( (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交

A )

解析:由平面平行的传递性知,选 A.

3.若 a∥ α,α∥ β,则 a 与 β 的位置关系是 ( (A)a∥ β (B)a 与 β 相交 (C)a∥β 或 a 与 β 相交 (D)a∥ β 或 a? β

D )

解析:如图所示,故选 D.

4.一个平面内有两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面的位置关系是 ________.

解析:如果两条直线是相交直线,那么这两个平面平行;如果两条直线是平行直线,那 么这两个平面可能相交, 如图, 在长方体 ABCDA′ B′ C′ D′中, E、 F 分别是 AA′、 BB′ 的中点, A′ B′∥平面 ABCD, EF∥ 平面 ABCD, A′ B′?平面 ABB′ A′, EF? 平面 ABB′ A′,平面 ABCD∩ 平面 ABB′ A′= AB.

答案:平行或相交

知识要点一:平面与平面平行判定定理的理解 1.判定定理中一定是两条相交直线都平行于另一个平面. 2.判定两平面平行需同时满足 5 个条件: a? α, b? α, a∩ b= P, a∥ β, b∥ β. 3.定理将平面与平面平行的问题转化成了直线与平面平行的问题. 知识要点二:判定两个平面平行的方法 1.利用定义:两个平面没有公共点. 2.归纳为线面平行. (1)平面 α 内的所有直线(任一直线)都平行于 β,则 α∥ β; (2)判定定理:平面 α 内的两条相交直线 a、 b 都平行于 β,

? ? b? α ? ? 则 α∥ β,即?a∩ b= A ?? α∥ β,五个条件缺一不可. a∥ β ? ? ? b∥ β ? 应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a、 b.
a? α 3.化归为线线平行:平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的两条相交直线分别平行, 则 α∥ β.(证明后可用 ) 4.利用平行平面的传递性:两个平面同时和第三个平面平行,则这两个平面平行.

对面面平行判定定理的正确理解 【例 1】 下列命题中正确的是 ( ) ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,则这两个平面平行. (A)①③ (B)②④ (C)②③④ (D)③④ 思路点拨:面面平行的判定定理中有 5 个条件,缺一不可.
解析:如果两个平面没有任何一个公共点,那么我们就说这两个平面平行,也即两个平 面没有任何公共直线. 对于① :一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,如果这两条直线不相交,而是 平行,那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在. 对于② :一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,此时两平面不一定平行.如 果这无数条直线都与两平面的交线平行时,两平面相交. 对于③ :一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平 面平行的定义. 对于④ :一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是 两个平面平行的判定定理. 所以只有③④正确,选 D.

变式训练 11:已知直线 l,m,平面 α, β,下列命题正确的是 ( (A)l∥ β, l? α?α∥ β (B)l∥ β, m∥ β, l? α, m? α?α∥ β (C)l∥ m, l? α, m? β? α∥ β (D)l∥ β, m∥ β, l? α, m?α, l∩ m= M? α∥ β

)

解析:如图所示,长方体 ABCDA1 B1 C1 D1, AB∥ CD,则 AB∥平面 DC1, AB?平面 AC,但是平面 AC 与平面 DC1 不平行,所以 A 错误;取 BB1 中点 E, CC1 的中点 F,则可 证 EF∥ 平面 AC, B1 C1∥平面 AC.又 EF? 平面 BC1, B1 C1?平面 BC1,但是平面 AC 与平 面 BC1 不平行, 所以 B 错误; 可证 AD∥平面 BC1 ,B1 C1∥平面 AC, 又平面 AC 与平面 BC1 不平行,所以 C 错误;很明显 D 是判定定理,所以 D 正确.

证明平面与平面平行

思路点拨:由平面与平面平行的判定定理知,要证明两个平面平行,只要在其中一个平 面内找两条相交直线与另一个平面平行. 证明:∵ E、 E1 分别是 AB、 A1 B1 的中点, ∴ A1 E1 ∥ BE 且 A1 E1 = BE. ∴四边形 A1 EBE1 为平行四边形. ∴ A1 E∥ BE1 . ∵ A1 E?平面 BCF1 E1 , BE1 ? 平面 BCF1 E1 . ∴ A1 E∥平面 BCF1 E1 . 同理 A1 D1∥平面 BCF1 E1 , A1 E∩ A1 D1= A1, ∴平面 A1 EFD1 ∥平面 BCF1 E1 .

【例 2】 在长方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中, E、 F、 E1 、 F1 分别是 AB、 CD、 A1 B1 、 C1 D1 的中点. 求证:平面 A1 EFD1 ∥平面 BCF1 E1 .

应用判定定理证明两平面平行的关键在于创设定理成立的条件,通过分析问 题将面面平行转化为证明线面平行, 证明线面平行再转化为线线平行, 体会化归思想的应用.

线面平行、面面平行的综合利用

【例 3】 如图, B 为△ ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为△ ABC、 △ ABD、△ BCD 的重心, (1)求证:平面 MNG∥平面 ACD; (2)求 S△ MNG∶ S△ DCA .

思路点拨:由题目可获取以下主要信息:① M, N, G 分别是△ ABC,△ ABD, △ BCD 的重心. BM 2 ②在△ ABC 中,连接 BM 并延长交 AC 于 P,有 = ,在△ CBD 和△ ABD 中也有类 MP 1 似的结论.解答本题可利用面面平行的判定定理,先证线面平行,再得结论.

(1)证明:连接 BM、 BN、 BG 并延长,分别交 AC、 AD、 CD 于 P、 F、 H. ∵ M、 N、 G 分别为△ ABC、△ ABD、△ BCD 的重心, BM BN BG 则有 = = = 2. MP NF GH 连接 PF、 FH、 PH, 有 MN∥ PF, NG∥ FH. ∵ MN? 平面 ACD, PF?平面 ACD, ∴ MN∥平面 ACD. 同理, NG∥平面 ACD. ∵ MN∩ NG= N,∴平面 MNG∥平面 ACD.

MG BG 2 2 (2)解: 由(1)可知 = = ,∴ MG= PH. PH BH 3 3 1 1 又 PH= AD,∴ MG= AD. 2 3 1 1 同理 NG= AC, MN= CD. 3 3 ∴△ MNG∽△ DCA,其相似比为 1∶ 3, ∴ S△ MNG∶ S△ DCA = 1∶ 9.

要证两平面平行,依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别 平行于另一个平面即可.另外在证明线线、线面以及面面平行时,常进行如下转化:线线平 行
线面平行的判定

― ― →

线面平行

面面平行的判定

― ― →

面面平行.

变式训练 31:如图所示,灯光照射三角板在桌面上产生影子的现象可作如下简化:将光 源所在位置设为 S,称为投影中心,中心 S 与三角板上各顶点 A, B,C 的投影 A′, B′, C′的连线(SAA′,SBB′, SCC′)称为投影线,接受投影的面称为投影面(△ A′ B′ C′ 所在的面 ). 试问: 如何摆放三角板 ABC, 才能使平面 ABC∥平面 A′ B′ C′?这时△ ABC 与△ A′ B′ C′关系如何?
解:若使平面 ABC∥平面 A′ B′ C′,由判定定理可知,只需三角板 ABC 的任意两边 与桌面平行即可; 或 由推论可 知,只需 三角板 ABC 的 任意两边 都与其自 身的投影 平行即 可,如: AB∥ A′ B′, AC∥ A′ C′, SB AB SA AC SC 这时, = = = = , SB′ A′ B′ SA′ A′ C′ SC′ AB AC BC 所以 BC∥ B′ C′,所以 = = , A′ B′ A′ C′ B′ C′ 即△ ABC 与△ A′ B′ C′的对应边成比例,所以两个三角形相似.

基础达标 1.下列命题中,真命题的个数是 ( D ) ①如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行; ②如果两个平面平行,那么这两个平面没有公共点; ③如果两个平面不相交,那么这两个平面平行; ④如果两个平面不平行,那么这两个平面相交. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:本题考查平面平行的定义以及平面的位置关系,两个平面平行的定义就是两个平 面没有公共点,且当两个平面没有公共点时两个平面平行,所以①②正确;平面与平面只有 相交和平行两种关系③④正确,所以选 D.

2.经过平面外两点与这个平面平行的平面 ( (A)只有一个 (B)至少有一个 (C)可能没有 (D)有无数个

C )

解析:当这两点的连线与平面相交时,则没有平面与这个平面平行;当这两点的连线与 平面平行的时候有且只有一个平面与这个平面平行,所以选 C.

3.下列各命题中 ①平行于同一条直线的两个平面平行; ②平行于同一个平面的两个平面平行; ③一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,那么这条直线必和另一个平面相交; ④平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α 和 β 平行. 不正确的命题的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①若直线平行于两个平面的交线,这条直线可能平行于这两个平面,但这两个平 面相交.∴①不正确. 结合具体实物易知 ②、③正确. ④若平面 α 与水平平面 β 相交,则在 β 面两侧的平面 α 上,必分别有无数个点到 β 的距 离相等. ∴④不正确.故选 B.

4.在正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是 ( (A)截面 BDC1 与截面 B1 D1 C (B)截面 A1 BC1 与截面 ACD1 (C)截面 B1 D1 A 与截面 BDA1 (D)截面 A1 C1D 与截面 ACD1

B )

解析:如图,正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中,截面 A1 BC1 平行于截面 ACD1 .故选 B.

5.阅读下面几个条件: (1)直线 a?平面 α 且直线 a∥平面 β; (2)直线 a?平面 α,直线 b?平面 α,直线 a∥平面 β,直线 b∥平面 β; (3)平面 α 内有无数条直线平行于平面 β; (4)平面 α 内任何一条直线都平行于平面 β; (5)平面 α 与平面 β 没有公共点. 其中能够判断平面 α∥平面 β 的条件是 ________.

解析:两个平面平行,一个平面内要有两条相交线都与另一平面平行.另外根据定义没 有公共点可以判断,所以选择(4)(5).

答案:(4)(5)

6.设有不同的直线 a,b 和不同的平面 α、β、γ,给出下列三个命题:①若 a∥ α,b∥ α, 则 a∥ b; ②若 a∥ α, a∥ β, 则 α∥ β; ③若 α∥ γ,β∥ γ, 则 α∥ β.其中正确的命题是 ________.

解析:命题①中 a,b 可以平行、相交或异面;命题②中 α、β 可以相交;命题③依据平 面平行的传递性知其正确.

答案:③

能力提升 7.给出下列 5 个命题: ①已知平面 α, β 和直线 m, n,若 m? α, n? α,m∥ β, n∥ β,则 α∥ β; ②若平面 α 内的任一直线都平行于平面 β,则 α∥ β; ③若 α 内有无数条直线都与 β 平行,则 α∥ β; ④若 α∥ β, m? α,则 m∥ β; ⑤若直线 l∥平面 α,直线 m?α,则 l∥ m. 其中正确命题的个数是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:命题①是错误的.若平面 α 内的直线 m、 n 平行,虽有 m∥ β, n∥ β,但 α 与 β 可相交. 命题②是正确的.由面面平行的定义得出. 命题③是错误的.因两平面相交时,一平面内有无数条直线都与另一平面平行,故两平 面不一定平行. 命题④是正确的.根据线面平行、面面平行的定义得到. 命题⑤是错误的.若 l∥ α,则 l 与 α 内的直线可能平行,也可能异面.故选 C.

8 .以正方体的 6 个表面的中心为顶点构成的几何体的表面中,相互平行的表面有 ________对.

解析:如图,正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中,以 6 个表面的中心为顶点构成的正八面体相 互平行的表面有 4 对.

答案:4

9.如图,在三棱柱 ABCA′ B′ C′中, D、 E 分别是 BC、 B′ C′的中点.求证:平 面 A′ EB∥平面 ADC′.

证明:如图,连结 DE,

∵ D、 E 分别是 BC、 B′ C′的中点, ∴ C′ E∥ DB 且 C′ E= DB. ∴四边形 C′ EBD 为平行四边形. ∴ EB∥ C′ D. ∵ EB? 平面 ADC′, C′ D?平面 ADC′ . ∴ EB∥平面 ADC′. ∵ B′ E∥ BD 且 B′ E= BD. ∴四边形 BDEB′为平行四边形. ∴ DE∥ BB′, DE= BB′ . ∵ AA′∥ BB′, AA′= BB′, ∴ AA′∥ DE, AA′= DE, ∴四边形 ADEA′为平行四边形. ∴ A′ E∥ AD. ∵ A′ E? 平面 ADC′, AD?平面 ADC′ . ∴ A′ E∥平面 ADC′. 又 EB∥平面 ADC′, A′ E∩ EB= E, ∴平面 A′ EB∥平面 ADC′.

探究创新 10.如图,在正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中, M、 N 分别是 A1 B1、 A1 D1 的中点.在该正方 体中作出平面与平面 AMN 平行的三种情况,并选择其中一种给予证明.

解:如图 E、 F、 G、 H、 P、 Q 分别是 AB、 AD、 BC、 CD、 B1 C1、 C1 D1 的中点,

则平面 AMN∥平面 EFD1 B1 ,平面 AMN∥平面 BDQP,平面 AMN∥平面 GHC1 . 下面证明:平面 AMN∥平面 EFD1 B1 . ∵ M、 E 分别是 A1 B1、 AB 的中点, ∴ AE∥ MB1 , AE= MB1 . ∴四边形 AEB1 M 为平行四边形. ∴ AM∥ EB1 , ∵ AM? 平面 EFD1 B1 , EB1 ?平面 EFD1 B1 . ∴ AM∥平面 EFD1 B1 . 同理 AN∥平面 EFD1 B1 . 又 AM∩ AN= A, ∴平面 AMN∥平面 EFD1 B1 .


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