nbhkdz.com冰点文库

1.3.2 球的体积和表面积2_图文

时间:

1.3.2 球的体积和表面积

1.通过球的体积和表面积的计算,了解球的体积和表面积公式.
2.会利用球的体积和表面积公式解决实际中的问题.

球的表面积与体积公式 (1)前提:已知球的半径为R. (2)公式:

4π R2 . ①表面积公式:S=_____
4 3 ?R ②体积公式:V=________. 3

1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径 是( A. 3 ) B.3 C.4
3

D.5

【解析】选B.设球的半径为R,则 4 πR3=4πR2,所以R=3.

2.半径为2的球的体积为________. 【解析】由 V ? 4 ?R 3 ? 4 ?? 23 ? 32 ?. 答案: 32 ?
3 3 3 3

3.若一个几何体的三视图是三个直径为4cm的圆,那么该几何体 的表面积为________;体积为________. 【解析】由该几何体的三视图为三个圆,所以该几何体为球,直 径为4cm,所以球的表面积为4π×22=16π;体积为 答案:16π
32? 3 4 32? ? ? 23 ? . 3 3

一、球的体积与表面积 探究:观察球的体积与表面积公式,思考下面的问题 (1)计算球的表面积与体积,关键需要确定哪个量? 提示:要计算球的表面积和体积,关键是要确定球的半径R.

(2)若已知球的体积为V,则球的表面积S如何用V表示? 提示:因为 V ? 4 ?R 3 , 所以R ? 3 3V ,
3 4?
2 因此 S ? 4?R 2 ? 4?( 3 3V ) 2 ? 2? 3 9V . 2

4?

2?

(3)若两球的半径之比为R1∶R2,那么两球的表面积之比及体积 之比分别是多少?
4 3 ?R1 2 2 3 S 4 ? R R R V R R1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 提示: ? ? ? ( ) , ? ? ? ( ). 2 2 3 S2 4?R 2 R 2 R 2 V2 4 ?R 3 R 2 R2 2 3

【探究总结】对球的体积及表面积公式的两点说明 (1)球的体积和表面积公式都是关于半径R的函数,因此求体积 和表面积时,只需求出半径即可. (2)确定一个球的条件是球心和球的半径,已知球的半径可以利 用公式求它的表面积和体积;反过来已知体积或表面积也可以 求其半径.

二、球的截面 探究1:用任何一个平面去截球所得的截面是什么形状? 提示:用任何一个平面去截球,所得的截面是一个圆面. 探究2:球心和截面圆圆心的连线与截面有何关系? 提示:球心和截面圆圆心的连线垂直于截面. 探究3:若球的半径为R,截面圆半径为r,则球心到截面的距离d 是多少? 提示: d ? R 2 ? r 2 .

【探究总结】对球的截面的三点说明 (1)当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径;当截面不过 球心时,截面圆的半径都小于球的半径. (2)球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念. (3)球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用,要注 意球的半径与截面圆半径的关系.

类型一

球的体积和表面积的计算

1.若球的体积扩大到原来的27倍,则它的表面积扩大到原来 的( A.3倍 ) B.3 3 倍 C.9倍 D.9 3 倍
2

2.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为 3 2 , 底面边长为
3, 则以O为球心OA为半径的球的表面积为_____

_____.

【解题指南】1.求出半径扩大的倍数,根据表面积公式,得出表 面积扩大的倍数. 2.由体积及底面边长,求出正四棱锥的高,再求出侧棱OA的长即 为球的半径,从而求出球的表面积.

【自主解答】1.选C.因为体积扩大到原来的27倍,所以r变为3r, 所以它的表面积扩大为原来的9倍. 2.设正四棱锥的高为h,则 1 ?
3

? ?

3 h?

2

3 2 3 2 ,解得,高h ? . 2 2

则底面正方形的对角线长为 2 ? 3 ? 6,
所以OA ? ( 3 2 2 6 2 ) ?( ) ? 6, 2 2

所以球的表面积为

4?

? 6?

2

? 24?.

答案:24π

【规律总结】求球的体积与表面积的策略 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求 出半径R,然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的 表面积或体积的相关题目也就简单了.

【变式训练】 把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球,这个 大铁球的半径为( A.3cm B.6cm ) C.8cm D.12cm
3 3 3

【解析】选D.设大铁球的半径为r,则: 4 ?? 63 ? 4 ?? 83 ? 4 ?? 103
4 ? ?r 3, 3

解得r=12.

类型二

与球有关的组合体的表面积与体积的计算

1.某几何体的三视图如图所示,它的体积为(
A.72π B.48π C.30π D.24π

)

2.(2014·广州高一检测)如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯 中装有适量的水,若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰 好升高r,则 R =________.
r

3.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积
为________m3.

【解题指南】1.根据三视图准确判断出此几何体的形状,是解 决本题的关键.显然本题几何体是由一个半球和一个倒立的圆 锥组成的组合体. 2.根据实心球的体积和水上升的体积相等,得出R与r的关系. 3.由三视图正确判断出组合体的图形是关键.

【自主解答】1.选C.由三视图可知该组合体由一个半球和一个 倒立的圆锥组成.
1 1 4 V ? ?? 32 ? 4 ? ? ?? 33 ? 30?. 3 2 3

2.由题知半径为r的实心铁球的体积和水上升的体积相等,即
4 3 R 2 ?r ? ?R 2 ? r,所以 ? . 3 r 3

答案:2∶ 3

3.该组合体的上面是一个长、宽、高分别为6,3,1的长方体, 下面是两个半径为
V ? 2V球 ? V长方体 3 的相切的球体,所以所求的体积是: 2 4 3 ? 2 ? ?? ( )3 ? 6 ? 3 ? 1 3 2

=18+9π. 答案:18+9π

【延伸探究】题3条件不变,求该组合体的表面积. 【解析】该组合体的上面是一个长、宽、高分别为6,3,1的长 方体,下面是两个半径为 3 的相切的球体,所以所求的表面积
2

为S=2S球+S长方体=2×4π× ( )2 +2(6×3+6×1+1×3)=54+18π.

3 2

【规律总结】解决与球有关的组合体问题的解题技巧
(1)与球有关的组合体问题:解题时要认真分析图形,明确切点

位置,明确有关元素间的数量关系,并且作出合适的截面图.
(2)球与旋转体的组合,通过作它们的轴截面解题.

(3)球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、切点或
接点作出截面图. 提醒:解决该类问题,关键是作出截面图形,使相关元素尽可能 多地落在截面图形内.

类型三

有关球的切、接问题

1.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面 上,该球的表面积为( A.3π a2 B.6π a2 ) C.2π a2 D.24π a2

2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的
正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,

当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,
则球的体积为(
500? cm3 3 1 372? C. cm3 3 A.

)
866? cm3 3 2 048? D. cm3 3 B.

【解题指南】1.长方体的体对角线等于其外接球的直径. 2.结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半 径的方程,求出球半径,再利用V= πR3求出球的体积.
4 3

【自主解答】1.选B.由长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,则 长方体的体对角线为 (2a)2 ? a 2 ? a 2 ? 6a, 与外接球的直径相等, 故2R= 6 a,S球=4πR2=6πa2. 2.选A.设球的半径为Rcm,由勾股定理可知,R2=(R-2)2+42,解得 R=5,所以球的体积 V ? 4 ?R 3 ? 4 ?? 53 ? 500? ? cm3 ? .
3 3 3

【延伸探究】若题1中的长方体改为“三棱锥的三条侧棱两两 垂直,且其长为2a,a,a”,能由本例1的解法得到此三棱锥的外 接球的体积吗? 【解析】能.由题意,此三棱锥的外接球与以三条两两垂直的侧 棱为棱的长方体的外接球相同,故2R=
4 4 6 3 V ? ?R 3 ? ?( a ) ? 6?a 3 . 3 3 2
6 a,

【规律总结】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心 的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总 在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等. (2)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和 “接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.

(3)具体解题流程

【拓展延伸】与球有关的组合体中的数量关系 (1)长方体内接于球: 2R ? a 2 ? b2 ? c2 (R为球的半径,a,b,c为 长方体的长、宽、高). (2)正方体内接于球:2R= 3 a(R为球的半径,a为正方体的棱长). (3)球内切于正方体:2R=a(R为球的半径,a为正方体的棱长). (4)球与正方体的每条棱都相切:2R= 2 a(R为球的半径,a为正方 体的棱长).

【变式训练】

正方体的内切球和外接球的半径之比为(
A. 3 ∶ 1 B. 3 ∶ 2 C.2 ∶3

)

D. 3 ∶ 3

a 【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 , 外接球 2 半径为 3a , 所以半径之比为 1 ∶3? 3 ∶ 3. 2


1.3.2球的体积和表面积_图文.ppt

1.3.2球的体积和表面积 - 1.3.2 球的体积与表面积 复习 S圆柱表面积

1.3.2 球的体积和表面积2_图文.ppt

1.3.2 球的体积和表面积2_数学_高中教育_教育专区。1.3.2 球的体积和

高中数学1.3.2球的体积和表面积课件新人教A必修2_图文.ppt

1.3.2 球的体积和表面积 栏目链接 1.了解球的表面积和体积的计算公式. 2.能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问 题. 典例精析 栏目链接 题型一 求球...

1.3.2 球的体积与表面积_图文.ppt

1.3.2 球的体积与表面积 - 新宁一中数学备课组 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球, 且涂的油漆厚度相同,问哪一个球所用的油漆 多?为什么? 新宁一中数学...

1.3.2球的表面积和体积2教程_图文.ppt

1.3.2球的表面积体积2教程 - 棱柱的展开图 正六棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积? a h 正棱柱的侧面展开图 棱锥的展开图 正五棱锥的侧面...

高中数学1.3.2球的体积和表面积课件新人教A必修2 (2)_图文.ppt

高中数学1.3.2球的体积和表面积课件新人教A必修2 (2) - 成才之路 数学 人教版 必修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第一章 空间几何体 第一章 1....

1.3.2球的体积和表面积教程_图文.ppt

1.3.2球的体积和表面积教程 - 问题提出 1.柱体、锥体、台体的体积公式分

高中数学第1部分1.3.2球的体积和表面积课件新人教A必修....ppt

高中数学第1部分1.3.2球的体积和表面积课件新人教A必修2 - 理解教材新知 第 1 部分 第一章 1.3 1.3.2 突破 常考 题型 题型一 题型二 题型三 跨越...

1.3.2 球的体积与表面积解析_图文.ppt

1.3.2 球的体积与表面积解析 - 5. 例6 .在三棱台ABC-A1B1C1

...1.3.2球的体积和表面积课件 新人教A版必修2_图文.ppt

【金版学案】高中数学 1.3.2球的体积和表面积课件 新人教A版必修2_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【金版学案】高中数学 1.3.2球的体积和表面积课件 新...

高中数学必修二1.3.2球的体积和表面积_图文.ppt

高中数学必修二1.3.2球的体积和表面积 - 1.3.2 球的体积 和表面积

人教版高中数学必修二导学:1.3.2球的体积和表面积_图文.ppt

人教版高中数学必修导学:1.3.2球的体积和表面积 - 新课标导学 数学 必修

1.3.2 球的体积和表面积 公开课一等奖课件_图文.ppt

1.3.2 球的体积和表面积 公开课一等奖课件 - 1.3.2 球的体积和表面积 制作一个乒乓球和一个篮球,分别需要多少材质? 把氢气球充满,需要多少氢气呢? 1....

1.3.2_球的体积与表面积(优质课)_图文.ppt

1.3.2_球的体积与表面积(优质课) - 1.3.2 球的体积与表面积 O 4

1.3.2球的体积和表面积 课件(人教A版必修2)_图文.ppt

1.3.2球的体积和表面积 课件(人教A版必修2) - 课程目标设置 主题探究导

1.3.2 球的体积和表面积_图文.ppt

1.3.2 球的体积和表面积_数学_高中教育_教育专区。1.3.2 球的体积和表面积 【知识提炼】 球的体积和表面积公式 4 3 V ? ?R 3 (1)体积公式:___. ...

1.3.2球的体积和表面积_图文.ppt

1.3.2球的体积和表面积 - 1. 球的体积 设球的半径为R,它的体积只与半径

1.3.2球的体积和表面积_图文.ppt

1.3.2球的体积和表面积 - 割 圆 术 早在公元三世纪,我国数学家刘徽为推

1.3.2球的体积和表面积_图文.ppt

1.3.2球的体积和表面积 - 天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水! 成

高中数学1-3-2球的体积和表面积课件新人教A版必_图文.ppt

高中数学1-3-2球的体积和表面积课件新人教A版必 - 第一章 空间几何体 第一章 1. 3 空间几何体的表面积与体积 第一章 1.3.2 球的体积和表面积 课前...