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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件:第3章 导数及其应用 3.3.1_图文

时间:2017-07-20

阶 段 一

3.3

导数在研究函数中的应用 3.3.1 单调性

阶 段 三

阶 段 二

学 业 分 层 测 评

1.了解函数的单调性与导数的关系. 2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法,会求函数的单调区间.(重点、难点)

[基础· 初探] 教材整理 函数的单调性 阅读教材 P86 思考以上部分,完成下列问题. 1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数 y=f(x)

f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0

f(x)的单调性

增 函数 减 函数

2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上
导数的绝对值 函数值变化 越大 越小 函数的图象 比较“ 陡峭 ”(向上或向下) 比较“ 平缓 ”(向上或向下)




1.判断正误: (1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0,则函数 f(x)在定义域上单调递增.( (2)f(x)在区间(a,b)上是增函数,则 f′(x)一定大于零.( ) ) )

1 1 (3)若 f(x)=x (x≠0),则 f′(x)=-x2<0,所以 f(x)是单调减函数.(

1 1 【解析】 (1)×.反例:f(x)=-x ,f′(x)=x2>0,但 f(x)在其定义域上不是增 函数. (2)×.反例:f(x)=x3 在(-1,1)上是增函数,但 f′(0)=0. 1 (3)×.f(x)=x 在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,但在其定义域上不是减函数. 【答案】 (1)× (2)× (3)×

2.函数 y=x2(x-1)的单调增区间为________.

【解析】 y′=2x(x-1)+x2=3x2-2x, 令 y′≥0,得 3x2-2x≥0,x(3x-2)≥0, 2 ∴x≥3或 x≤0,
?2 ? ∴函数增区间为(-∞,0]和?3,+∞?. ? ? ?2 ? 【答案】 (-∞,0]和?3,+∞? ? ?

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

[小组合作型]

函数与其导函数图象之间的关系
(1)如图 331,设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不正确的是________(填序号).

图 331

(2)已知函数 y=xf′(x)的图象如图 332(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),下 面四个图象中,y=f(x)的图象大致是________(填序号).

图 332

【精彩点拨】 (1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件. (2)根据 y=xf′(x)函数图象中所反映的 f′(x)的符号, 确定 y=f(x)的单调区间, 确定 y=f(x)的图象.

【自主解答】 (1)①,②,③均有可能;对于④,若 C1 为导函数,则 y=f(x) 应为增函数,不符合;若 C2 为导函数,则 y=f(x)应为减函数,也不符合. (2)由题图知,当 x<-1 时,xf′(x)<0,∴f′(x)>0, ∴当 x<-1 时,函数 y=f(x)单调递增;当-1<x<0 时,xf′(x)>0,∴f′(x) <0, ∴当-1<x<0 时, 函数 y=f(x)单调递减; 当 0<x<1 时, xf′(x)<0, ∴f′(x) <0, ∴当 0<x<1 时,函数 y=f(x)单调递减;当 x>1 时,xf′(x)>0,∴f′(x)>0, ∴当 x>1 时,y=f(x)单调递增.综上可知,③是 y=f(x)的大致图象.

【答案】 (1)④ (2)③

1.利用原函数图象可以判断导函数的正负, 原函数的单调增区间即为 f′(x)≥0 的区间,原函数的减区间就是导函数 f′(x)≤0 的区间. 2.利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间, 导函数在 x 轴上方的区间就 是原函数的增区间,导函数在 x 轴下方的区间就是原函数的减区间.

[再练一题] 1.f′(x)是 f(x)的导函数,若 f′(x)的图象如图 333 所示,则 f(x)的图象可能是 ________(填序号). 【导学号:24830079】

图 333

【解析】 由导函数的图象可知,当 x<0 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在此区 间为增函数; 当 0<x<x1 时,f′(x)<0,即函数 f(x)在此区间为减函数; 当 x>x1 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在此区间为增函数.观察选项易知③正确.
【答案】 ③

求函数的单调区间

求下列各函数的单调区间: ln x (1)f(x)=2x -3x ;(2)f(x)= x .
3 2

【精彩点拨】 <0 的减区间

求定义域→求导数 f′(x)→解 f′(x)>0 的增区间→解 f′(x)

【自主解答】 (1)函数 f(x)定义域为 R,且 f′(x)=6x2-6x.令 f′(x)>0,即 6x2-6x>0, 解得 x>1 或 x<0;令 f′(x)<0,即 6x2-6x<0,解得 0<x<1. 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(1,+∞);单调递减区间是(0,1).

1-ln x (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= x2 . 1-ln x 1-ln x 令 f′(x)>0,即 x2 >0,得 0<x<e;令 f′(x)<0,即 x2 <0,得 x> e, 所以 f(x)的单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞).

1.利用导数求函数 f(x)的单调区间, 实质上是转化为解不等式 f′(x)>0 或 f′(x) <0,不等式的解集就是函数的单调区间. 2.利用导数求单调区间时,要特别注意不能忽视函数的定义域,在解不等式 f′(x)>0[或 f′(x)<0 ]时,要在定义域前提下求解.如果函数的单调区间不止一个 时,要用“和”“及”等连结,而不能写成两个区间并集形式.

[再练一题] 2.求下列各函数的单调区间: (1)f(x)=x3-3x;(2)f(x)=3x2-2ln x. 【导学号:24830080】 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R,且 f ′(x)=3x2-3=3(x2-1). 当 f ′(x)>0 时,x<-1 或 x>1,此时函数 f(x)递增; 当 f ′(x)<0 时,-1< x<1,此时函数 f(x)递减. ∴函数 f(x)的递增区间是(-∞,-1),(1,+∞),递减区间是(-1,1).

2 2 2?3x -1? (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-x = . x

2?3x2-1? 3 令 f′(x)>0,即 >0,∵x>0,∴x> 3 . x ∴函数
? f(x)的递增区间是? ? ? ? 3 ? ,+ ∞ ?. 3 ?

2?3x2-1? 令 f′(x)<0,即 <0,∵x>0, x
? 3 3? ? ∴0<x< 3 .∴函数 f(x)的递减区间是?0, ? ?. 3 ? ?

∴函数

? f(x)的递增区间是? ? ?

? ? 3 3? ? ? ? ,递减区间是 ,+ ∞ 0 , ? ? ?. 3 3 ? ? ?

根据函数的单调性求字母参数的取值范围
若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,求实数 m 的取值范 围.

【精彩点拨】

【自主解答】 f′(x)=3x2+2x+m,由于 f(x)是 R 上的单调函数, 所以 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立.由于导函数的二次项系数 3>0, 所以只能有 f′(x)≥0 恒成立.

方法一:由上述讨论可知要是 f′(x)≥0 恒成立. 1 只需使方程 3x +2x+m=0 的判别式 Δ=4-12m≤0,故 m≥3.
2

1 经检验,当 m=3时,只有个别点使 f′(x)=0,符合题意.所以实数 m 的取值 1 范围是 m≥3.

方法二:3x2+2x+m≥0 恒成立,即 m≥-3x2-2x 恒成立. 设 g(x)=-3x 1 m≥3. 1 经检验,当 m=3时,只有个别点使 f′(x)=0,符合题意.所以实数 m 的取值 1 范围是 m≥3.
2

? 1?2 1 -2x=-3?x+3? +3,易知函数 ? ?

1 g(x)在 R 上的最大值为3,所以

1.可导函数 f(x)在(a,b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且 f′(x)在(a,b)的任何子集内都不恒等于 0. 2.已知 f(x)在区间 D 上单调,求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法.通 常将 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)的参数分离,转化为求函数的最值问题,从而求出参 数的取值范围.特别地, 若 f′(x)为二次函数, 可以由相应方程的根的判别式求出参 数的取值范围.

[再练一题] k k 3.(2016· 苏州高二检测)若函数 h(x)=2x-x+3在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是________.
2 k 2x +k 【解析】 根据条件,得 h′(x)=2+x2= x2 ≥0 在(1,+∞)上恒成立,

即 k≥-2x2 在(1,+∞)上恒成立,所以 k∈[-2,+∞).
【答案】 [-2,+∞)

[探究共研型]

求含参数函数的单调区间

1 3 2 探究 1 函数 f(x)=3x -x +ax 的导数 f′(x)是什么?f′(x)=0 是否一定有实 数根?
【提示】 f′(x)=x2-2x+a,f′(x)=0 即 x2-2x+a=0 不一定有实数根, 当 Δ=4-4a>0,即 a<1 时,f′(x)=0 有不等实数根; 当 Δ=4-4a=0,即 a=1 时,f′(x)=0 有两个相等的实数根; 当 Δ=4-4a<0,即 a>1 时,f′(x)=0 没有实数根.

1 3 2 探究 2 根据探究 1 的讨论,求函数 f(x)=3x -x +ax 的单调区间.
【提示】 由探究 1 知,当 Δ=4-4a≤0,即 a≥1 时,f′(x)≥0 恒成立,函 1 3 2 数 f(x)=3x -x +ax 在定义域(-∞,+∞)上单调递增,没有单调递减区间; 当 Δ=4-4a>0, 即 a<1 时, 令 f′(x)>0, 解得 x>1+ 1-a或 x<1- 1-a, 1 3 2 令 f′(x)<0,解得 1- 1-a<x<1+ 1-a,所以函数 f(x)=3x -x +ax 的单调 递增区间是(-∞,1- 1-a),(1+ 1-a,+∞), 单调递减区间是 1- 1-a,1+ 1-a??.
? ? ? ?

1 3 1 探究 3 设 f(x)=3x -2(a+1)x2+ax,f′(x)=0 一定有实数根吗?若有,它们 的大小确定吗?试求函数 f(x)的单调递减区间.

【提示】

f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),所以 f′(x)=0 有实数根 a

和 1,但它们的大小不确定,所以求 f(x)的单调区间要据此分类讨论:当 a>1 时, 由 f′(x)<0 解得 1<x<a,所以函数 f(x)的单调递减区间是(1,a);当 a=1 时,因 为 f′(x)=(x-1)2≥0,所以函数 f(x)不存在单调递减区间;当 a<1 时,由 f′(x) <0 解得 a<x<1,所以函数 f(x)的单调递减区间是(a,1).

1 3 3 2 探究 4 设函数 f(x)=3ax -2ax +2ax+1(a≠0), 则 f′(x)=ax2-3ax+2a=a(x -1)(x-2),不等式 f′(x)<0 的解一定是 1<x<2 吗?试求函数 f(x)的单调递减区 间.
【提示】 不一定是,只有 a>0 时,不等式 f′(x)<0 的解才是 1<x<2,当 a<0 时,不等式 f′(x)<0 的解是 x<1 或 x>2,所以当 a>0 时,函数 f(x)的单调 递减区间为(1,2),当 a<0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,1),(2,+∞).

探究 5 通过以上讨论,在求含参数函数的单调区间时,一般要对参数进行讨 论,那么要从哪几个方面考虑这类问题呢?

【提示】 首先要确定 f′(x)=0 是否有根,若不确定,要分类讨论;在 f′(x) =0 有根的情况下,如果根的大小不确定,则要按照其大小为分类标准进行讨论; 如果 f′(x)=0 的最高次幂的系数的正负不确定,那么还要按照其正负进行讨论.

已知 a∈R,求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.
【精彩点拨】 求导数 f′(x)后对实数 a 的符号进行讨论,并解不等式可得函 数 f(x)的单调区间.

【自主解答】 函数的定义域为 R.f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax. ①当 a=0 时,若 x<0,则 f′(x)<0, 若 x>0,则 f′(x)>0, ∴当 a=0 时,函数 f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增 函数;

2 2 2 ②当 a>0 时, 由 2x+ax >0, 解得 x<-a或 x>0, 由 2x+ax <0, 解得-a<
2

x<0, ∴当 a>0 时,函数
? 2 ? ?- ,0?内为减函数. ? a ? ? 2? f(x)在区间?-∞,-a?和(0,+∞)内为增函数,在区间 ? ?

2 ③当 a<0 时,由 2x+ax >0,解得 0<x<-a,由 2x+ax2<0,解得 x<0 或
2

2 x>-a, ∴当 a<0 时,函数
? 2? ?0,- ?内为增函数. a? ? ? a ? f(x)在区间(-∞,0)和?-2,+∞?内为减函数,在区间 ? ?

1.本题主要考查求函数单调性的一般方法以及函数求导公式和法则的综合应 用. 2.当解题过程中含有参数时,一般要对参数进行分类讨论,此时需注意应准确 确定分类标准和分类讨论的准确性.

[再练一题] 4.(2016· 青岛高二检测)求函数 f(x)=ex-ax(a∈R)的单调区间.
【解】 函数定义城为 R,且 f′(x)=ex-a.

当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无减区 间; 当 a>0 时,由 f′(x)=ex-a>0,得 x>ln a,由 f′(x)<0,得 x<ln a,所以 f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,在(-∞,ln a)上单调递减. 综上,当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无减区间; 当 a>0 时 f(x)的单调递增区间是(ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,ln a).

[构建· 体系]

1.函数 f(x)=2x3-9x2+12x+1 的单调递减区间是________.
【解析】 f′(x)=6x2-18x+12,令 f′(x)<0,得 1<x<2, ∴函数 f(x)的单调递减区间是(1,2).

【答案】 (1,2)

1 2 2.(2016· 芜湖高二检测)函数 y=2x -ln x 的单调递减区间为________. 【导学号:24830081】 2 x -1 1 【解析】 函数定义域为(0,+∞),y′=x-x = x
当 x∈(0,+∞)时,令 y′<0,得 0<x<1,仅 f′(1)=0.
【答案】 (0,1]

3.若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象可能是________(填序号).

【解析】

∵y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则从左到右函数 f(x)

图象上的点的切线斜率是递增的.

【答案】 ①

4.函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ________.

【解析】 因为 y′=3ax2-1,函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,所以 y′= 3ax2-1≤0 恒成立, 即 3ax2≤1 恒成立.当 x=0 时,3ax2≤1 恒成立,此时 a∈R; 1 当 x≠0 时,若 a≤3x2恒成立,则 a≤0.综上可得 a≤0.
【答案】 a≤0

5.已知函数 f(x)=x2-mln x,求 f(x)的单调区间.
【解析】
2 m 2x -m ∵f′(x)=2x- x = x ,(x>0),

若 m≤0 则 f(x)在(0,+∞)单调递增. 若 m>0,由 f′(x)>0,可得 x> 由 f′(x)<0 可得 0<x< ∴m>0 m 2,
? ? m ? ? ,递减区间是 ,+ ∞ ? ?0, 2 ? ?

m 2 或 x<-

m 2 ( 舍) ,

? 时,f(x)的递增区间是? ? ?

m? ? , 2? ?

综上可得:m≤0 时,f(x)增区间为(0,+∞),无减区间, m>0
? 时,f(x)的递增区间是? ? ? ? ? m ? ? ,递减区间是 ,+ ∞ ? ?0, 2 ? ?

m? ? . 2? ?

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________


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