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2018年高考数学考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量24解三角形的应用试题文

时间:2017-10-29

考点测试 24

解三角形的应用

一、基础小题 1. 从 A 处望 B 处的仰角为 α , 从 B 处望 A 处的俯角为 β , 则α , β 之间的关系是( A.α >β C.α +β =90° 答案 B 解析 根据仰角与俯角的含义,画图即可得知. 2. 在△ABC 中, 若 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C), 则△ABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.钝角三角形 答案 D 解析 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB =1-2cosAsinB, π ∴sinAcosB+cosAsinB=1,即 sin(A+B)=1,则有 A+B= ,故三角形为直角三角形. 2 3.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( 17 6 A. 海里/小时 2 17 2 C. 海里/小时 2 答案 A 解析 如图所示,在△PMN 中, = , sin45° sin120° B.34 6 海里/小时 D.34 2 海里/小时 ) B.不含 60°的等腰三角形 D.直角三角形 ) B.α =β D.α +β =180° )

PM

MN

1

68× 3 ∴MN= =34 6. 2

MN 17 ∴v= = 6(海里/小时).故选 A. 4 2
4.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行 驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则几小时后,两车的距离最小( 69 A. 43 70 C. 43 答案 C B.1 D.2 )

解析 如图所示,设过 x h 后两车距离为 y,则 BD=200-80x,BE=50x. ∴y =(200-80x) +(50x) -2×(200-80x)·50x·cos60°, 整理得 y =12900x -42000x+40000(0≤x≤2.5). 70 2 ∴当 x= 时,y 最小,即 y 最小. 43 5.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点, 在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45°、30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、 乙两地连线所成的角为 120°,甲、乙两地相距 500 m,则电视塔的高度是( A.100 2 m C.200 3 m 答案 D B.400 m D.500 m )
2 2 2 2 2

2

解析 由题意画出示意图,设塔高 AB=h m,在 Rt△ABC 中,由已知 BC=h m,在 Rt△

ABD 中,由已知 BD= 3h m,在△BCD 中,由余弦定理 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,得
3h =h +500 +h·500,解得 h=500(m). 6.如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,李宁同学首先选定了与 A,B 不共线 的一点 C(△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b,c),然后给出了三种测量方法:①测 量 A,C,b;②测量 a,b,C;③测量 A,B,a,则一定能确定 A,B 间的距离的所有方案的 序号为( )
2 2 2

A.①② C.①③ 答案 D

B.②③ D.①②③

解析 由题意可知,在①②③三个条件下三角形均可唯一确定,通过解三角形的知识可 求出 AB.故选 D. 7. 如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为 10000 m,速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°,经过 420 s 后看山顶的俯角为 45°,则山顶的海拔高度为________ m.(取 2=1.4, 3=1.7)

3

答案 2650 解析 如图,作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,

∴∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC 中, = , sinA sin∠ACB 21000 ∴BC= ×sin15°=10500( 6- 2). 1 2 ∵CD⊥AD,∴CD=BC·sin∠DBC=10500( 6- 2)× 故山顶的海拔高度 h=10000-7350=2650(m). 8.在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶上有一个观察站 P.上午 11 时,测得一轮船 在岛的北偏东 30°、俯角 30°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛的北偏西 60°、俯角 60°的 C 处,则轮船航行速度是________千米/时. 答案 2 30 解析 PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,∠APB=60°,∠APC=30°,PA=1 千米,从而 BC = 30 1 千米,于是速度 v=BC÷ =2 30(千米/时). 3 6 2 =10500( 3-1)=7350. 2

BC

AB

二、高考小题 π 1 9.[2016·全国卷Ⅲ]在△ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 sinA=( 4 3 3 A. 10 C. 5 5 B. 10 10 )

3 10 D. 10

答案 D

4

a π 解析 解法一:过 A 作 AD⊥BC 于 D,设 BC=a,由已知得 AD= ,∵B= ,∴AD=BD, 3 4
π ∠BAD= , 4

a 2 DC ∴BD= ,DC= a,tan∠DAC= =2. 3 3 AD

?π ? ∴tan∠BAC=tan? +∠DAC? ?4 ?
π tan +tan∠DAC 4 1+2 = = =-3. π 1-2 1-tan tan∠DAC 4 1 1 2 cos ∠BAC= = , 2 1+tan ∠BAC 10 3 10 2 sin∠BAC= 1-cos ∠BAC= .故选 D. 10

a π 解法二:过 A 作 AD⊥BC 于 D,设 BC=a,由已知得 AD= ,∵B= ,∴AD=BD,∴BD= 3 4 a 2 AD= ,DC= a,
3 3 5 a 3 a ?a?2+?2a?2= 5a,在△ABC 中,由正弦定理,得 = , ?3? ?3 ? 3 sin∠BAC sin45° ? ? ? ?

∴AC=

3 10 ∴sin∠BAC= .故选 D. 10 4 10.[2016·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= ,cosC 5 5 = ,a=1,则 b=________. 13 答案 21 13

5 12 解析 由 cosC= ,0<C<π ,得 sinC= . 13 13 4 3 由 cosA= ,0<A<π ,得 sinA= . 5 5 63 所以 sinB=sin[π -(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA= , 65
5

根据正弦定理得 b=

asinB 21 = . sinA 13

11. [2015·湖北高考]如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=________ m.

答案 100 6 解析 依题意有 AB=600,∠CAB=30°, ∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB. ∴∠ACB=45°, 在△ABC 中,由 = , sin∠ACB sin∠CAB 得 600 CB = , sin45° sin30°

AB

CB

有 CB=300 2, 在 Rt△BCD 中,CD=CB·tan30°=100 6, 则此山的高度 CD=100 6 m. 12.[2014·四川高考]如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67°,30°,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将 结果精确到个位. 参考数据: sin67°≈0.92, cos67°≈0.39, sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, 3≈1.73)

答案 60
6

解析 如图所示,过 A 作 AD⊥CB 且交 CB 的延长线于 D.

在 Rt△ADC 中,由 AD=46 m,∠ACB=30°得 AC=92 m. 在△ABC 中,∠BAC=67°-30°=37°,∠ABC=180°-67°=113°,AC=92 m,由 正弦定理

AC BC 92 BC 92 BC = ,得 = ,即 = ,解得 BC = sin∠ABC sin∠BAC sin113° sin37° sin67° sin37°

92sin37° ≈60 m. sin67° 13. [2014·全国卷Ⅰ]如图, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从

A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠ MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________ m.

答案 150 解析 在 Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以 AC=100 2 m. 在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°, 由正弦定理,得 = ,因此 AM=100 3 m. sin45° sin60° 在 Rt△MNA 中,AM=100 3 m,∠MAN=60°, 由

AC

AM

MN 3 =sin60°,得 MN=100 3× =150 m,故填 150. AM 2

三、模拟小题 14.[2017·东北三校联考]若两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔

A 在观察站 C 的北偏东 20°方向上,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°方向上,则灯塔 A 与灯
塔 B 的距离为( A.a km C.2a km ) B. 2a km D. 3a km
7

答案 D 解析 依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC 中,由余弦定理知 AB=

a2+a2-2×a×a×?- ?= 3a(km),即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 3a km.

? 1? ? 2?

15.[2017·汉中期末]如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=1,BC= 3+1,AD= 6,∠

ABC=120°,∠DAB=75°,则 CD=(
A. 3 C.2 3 答案 A

) B.2 2 D. 2+1

解析 如图,过点 D 作 DE⊥AB 于 E,过 C 作 CF⊥AB 交 AB 的延长线于 F,则 DE∥CF,∠

CBF=60°,DE=ADsin∠DAB= 6 ×sin(45°+30°)= 6 ×
∠CBF=( 3+1)×

6+ 2 3+ 3 = ,CF=BCsin 4 2

3 3+ 3 = ,所以四边形 DEFC 是矩形,CD=EF=AB-AE+BF, 2 2 6- 2 3- 3 = ,BF=BCcos∠ 4 2

因为 AE=ADcos∠DAB= 6 ×cos(45°+30°)= 6 ×

CBF=( 3+1)× =

1 2

3+1 3- 3 3+1 ,所以 CD=1- + = 3. 2 2 2

sinB 16.[2017·郑州模拟]在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,b=c 且 sinA = 1-cosB , 若点 O 是△ABC 外一点, ∠AOB=θ (0<θ <π ), OA=2, OB=1, 则平面四边形 OACB cosA )
8

面积的最大值是(

8+5 3 A. 4 答案 A

4+5 3 B. 4

C.3

4+ 5 D. 2

解析 由 b=c 得 B=C,由

sinB 1-cosB = 得 sinBcosA=sinA-sinAcosB,所以 sinA= sinA cosA 1 2

sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC, 所以 A=C, 所以△ABC 是等边三角形. 在△OAB 中, 由余弦定理得 c = 2 + 1 -2×2×1×cosθ = 5- 4cosθ ,所以 S
2 2 2 四边形 OACB

= S△ OAB + S △ ABC =

OA·OBsinθ +

π? 3 2 3 5 3 ? c = sinθ + (5 - 4cosθ ) = sinθ - 3cosθ + = 2sin ?θ - ? + 3? 4 4 4 ?

5 3 5 3 ,所以(S 四边形 OACB)max=2+ .故选 A. 4 4 17.[2017·广州调研] 如图所示,某炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面 C 处和 D 处,已知 CD=6000 m,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面 B 处时测得∠BCD =30°,∠BDC=15°,则炮兵阵地到目标的距离是________ m.(结果保留根号)

答案 1000 42 解析 ∵∠ACD=45°,∠ADC=75°,∴∠CAD=60°. 在△ACD 中,由正弦定理可得 2 2 3 2 = , sin45° sin60°

AD

CD

∴AD=6000×

=2000 6(m).

在△BCD 中,由正弦定理得

= , sin30° sin135°

BD

CD

1 ×6000 2 ∴BD= =3000 2(m), 2 2 在 Rt△ABD 中,由勾股定理可得 AB =BD +AD , ∴AB= ?3000 2? +?2000 6? =1000 42(m).
2 2 2 2 2

18.[2016·长春调研]在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=5,b=
9

π 7,B= ,则△ABC 的面积为________. 3 答案 10 3 π 2 2 2 2 2 2 2 解析 由余弦定理 b =a +c -2accosB 得 7 =5 +c -2×5c×cos , 即 c -5c-24=0, 3 1 π 解得 c=8 或 c=-3,又 c>0,故 c=8,从而△ABC 的面积为 ×5×8sin =10 3. 2 3

一、高考大题 1.[2016·浙江高考]在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c= 2acosB. (1)证明:A=2B; 2 (2)若 cosB= ,求 cosC 的值. 3 解 (1)证明:由正弦定理,得 sinB + sinC = 2sinAcosB , 故 2sinAcosB = sinB + sin(A + B) = sinB + sinAcosB + cosAsinB, 于是 sinB=sin(A-B). 又 A,B∈(0,π ),故 0<A-B<π , 所以 B=π -(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π (舍去)或 A=2B, 所以 A=2B. 2 5 (2)由 cosB= ,得 sinB= , 3 3 1 2 cos2B=2cos B-1=- , 9 1 4 5 故 cosA=- ,sinA= , 9 9 22 cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= . 27 2.[2015·全国卷Ⅱ]△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. sin∠B (1)求 ; sin∠C (2)若∠BAC=60°,求∠B. 解 (1)由正弦定理,得

= , = . sin∠B sin∠BAD sin∠C sin∠CAD
10

AD

BD

AD

DC

sin∠B DC 1 因为 AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以 = = . sin∠C BD 2 (2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以 sin∠C=sin(∠BAC+∠B)= 由(1)知 2sin∠B=sin∠C, 所以 tan∠B= 二、模拟大题 3.[2017·山西四校联考]在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 cosA= 1 . 3 (1)求 cos
2

3 1 cos∠B+ sin∠B. 2 2

3 ,即∠B=30°. 3

B+C
2

+cos2A 的值;

(2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)cos
2

B+C
2

+ cos2A =

1+cos?B+C? 1 cosA 1 1 2 2 + 2cos A - 1 = - + 2cos A - 1 = - 2 2 2 2 2

1 4 ?1?2 × +2×? ? -1=- . 3 9 ?3? 2 2 4 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理,得( 3) =a =b +c -2bccosA=b +c - bc≥2bc- bc= bc. 3 3 3 9 3 ∴bc≤ ,当且仅当 b=c= 时等号成立. 4 2 9 ∴bc 的最大值为 . 4 1 ∵cosA= ,A∈(0,π ), 3 ∴sinA= 1-cos A=
2

?1?2 2 2. 1-? ? = 3 ?3?

1 1 9 2 2 3 2 ∴S△ABC= bcsinA≤ × × = . 2 2 4 3 4 3 2 ∴△ABC 面积的最大值为 . 4 4.[2017·广东广州模拟] 如图,在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD⊥BC,AC=5 3,CD =5,BD=2AD.

11

(1)求 AD 的长; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中,因为 BD=2AD,
2

所以可设 AD=x(x>0),则 BD=2x. 在△BCD 中,因为 CD⊥BC,CD=5,BD=2x,所以 BC= 4x -25. 所以 cos∠CBD= =

BC BD

4x -25 . 2x
2

2

在△ABC 中,AB=3x,BC= 4x -25,AC=5 3, 由余弦定理,得 cos∠CBA=
2 2 AB2+BC2-AC2 13x -100 = . 2 2·AB·BC 6x· 4x -25 2

所以

4x -25 13x -100 = ,解得 x=5. 2 2x 6x· 4x -25
2

所以 AD 的长为 5. (2)由(1)得 AB=3x=15,BC= 4x -25=5 3, 所以 cos∠CBD= =

BC BD

3 1 ,从而 sin∠CBD= . 2 2

1 1 1 75 3 所以 S△ABC= ·AB·BC·sin∠CBA= ×15×5 3× = . 2 2 2 4 5.[2016·河南六市联考] 如图,在一条海防警戒线上的点 A,B,C 处各有一个水声检 测点,B,C 到 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米,某时刻 B 收到来自静止目标 P 的一个声波 信号,8 秒后 A,C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒.

(1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B,C 到 P 的距离,并求出 x 的值; (2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离. 解 (1)依题意,有 PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.

PA2+AB2-PB2 x2+202-?x-12?2 3x+32 在△PAB 中,AB=20,cos∠PAB= = = , 2PA·AB 2x·20 5x
同理,在△PAC 中,AC=50, cos∠PAC=

PA2+AC2-PC2 x2+502-x2 25 = = . 2PA·AC 2x·50 x
3x+32 25 = , 5x x

∵cos∠PAB=cos∠PAC,∴ 解得 x=31.

25 (2)作 PD⊥AC 于 D,在△ADP 中,由 cos∠PAD= , 31
12

4 21 2 得 sin∠PAD= 1-cos ∠PAD= , 31 4 21 ∴PD=PAsin∠PAD=31× =4 21. 31 故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 4 21千米. 3 6. [2016·茂名质检]如图,角 A 为钝角,且 sinA= ,点 P,Q 分别是角 A 的两边上不 5 同于点 A 的动点.

(1)若 AP=5,PQ=3 5,求 AQ 的长; 12 (2)设∠APQ=α ,∠AQP=β ,且 cosα = ,求 sin(2α +β )的值. 13 解 3 4 (1)∵∠A 是钝角,sinA= ,∴cosA=- . 5 5
2 2 2 2

在△AQP 中,由余弦定理得 PQ =AP +AQ -2AP·AQcosA, ∴AQ +8AQ-20=0, 解得 AQ=2 或-10(舍去),∴AQ=2. 12 5 (2)由 cosα = ,得 sinα = . 13 13 在△APQ 中,α +β +A=π , 3 又 sin(α +β )=sin(π -A)=sinA= , 5 4 cos(α +β )=-cosA= , 5 5 4 ∴sin(2α +β )=sin[α +(α +β )]=sinα cos(α +β )+cosα sin(α +β )= × 13 5 12 3 56 + × = . 13 5 65

13


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