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双曲线的定义及其标准方程(新)_图文

时间:2011-11-18

复习
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹 的点的轨迹. |MF1|+|MF2|=2a( 2a>2c>0) 点M的轨迹是椭圆 的轨迹是椭圆
Y

M ( x, y )

2a=2c,点M的轨迹是线段 的轨迹是线段F ; 若2a=2c,点M的轨迹是线段F1F2; 若2a<2c,点M的轨迹不存在。 的轨迹不存在。 的轨迹不存在

F1 (? c , 0 )

O

F2( c , 0 ) X

2. 引入问题: 引入问题: 平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? 的点的轨迹是什么呢?

(一)新知探究 1.探究双曲线的定义 1.探究双曲线的定义 如图(A), ①如图(A),
| PF1 | - | PF2 | = | F2F | =2a =2a

②如图(B), 如图(B), | PF2 | - | PF1 | = | F1F| =2a =2a 由①②可得: ①②可得: 可得 | | PF1 | - | PF2 | | = 2a 2a 差的绝对值) (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线在生活中

☆.☆ ☆

双曲线定义
平面内与两个定点 的距离的差 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 与两个定点 等于常数( 的点的轨迹叫做双曲线. 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线 的点的轨迹叫做双曲线

| |MF1| - |MF2| | = 2a
两个定点F ① 两个定点 1、F2——双曲线的焦点 双曲线的焦点; 焦距. ② |F1F2|=2c ——焦距 说明
M

0<2a<2c

(1)2a< |F1F2| ; )
F
1

2 思考: 思考: (1)若2a= |F1F2|,则轨迹是? (1)两条射线 ) 则轨迹是? ) (2)若2a> |F1F2|,则轨迹是? (2)不表示任何轨迹 ) 则轨迹是? ) 则轨迹是? (3)若2a=0,则轨迹是? ) (3)线段 线段F (3)线段F1F2的垂直平分线

(2)2a >0 ; )

o

F

思考:为什么要满足 思考:为什么要满足2a<2c呢? 呢 (1)若2a=2c=|F1F2|, ) 是常数) 又||MF1|–|MF2||=2a(a是常数 是常数
F1 F2

的轨迹是两条射线 则M的轨迹是两条射线 的轨迹是两条射线. (2)若2a>2c呢? ) 呢 由三角形知识有这样的点M不存在 由三角形知识有这样的点 不存在

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 求曲线方程的步骤: 建系. 1. 建系. 所在的直线为x轴 以F1,F2所在的直线为 轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点. 2.设点. 设点 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) ( )则 3.列式 3.列式
F
1

y
M

O

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a ±
2 2 2 2

即 (x +c) + y ? (x ?c) + y = ±2a
4.化简 4.化简

(x +c) + y ? (x ?c) + y = ±2a
2 2 2 2

( ( x + c)

2

+y

2

) = (± 2a +
2

( x ? c) + y
2

2

)

2

cx ? a = ± a ( x ? c) + y
2 2

2

(c ? a ) x ? a y = a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c 2 ? a 2 = b2
x a2
2

?

y2 b
2

= 1( a > 0 , b > 0 )

此即为 焦点在x 焦点在 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在 轴上呢 若建系时 焦点在y轴上呢 焦点在 轴上呢?
y
M

y M F2 x

F

1

O

F

2

x

O

F1

x y ? 2 =1 2 a b

2

2

y x ? 2 =1 2 a b (a > 0,b > 0)

2

2

x2 y2 ? 2 =1 2 a b
F1

y
M

y
M F2
o F2

x
F1

x

y2 x2 ? 2 =1 2 a b

F ( ±c, 0)

F(0, ± c)

问题1 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 问题1:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

(二次项系数为正,焦点在相应的轴上) 二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
练习:写出以下双曲线的焦点坐标 练习:

y x x:a, b, c有何关系? y 思考: 有何关系? ; 思考 ? = 1; (2) ? = 1 有何关系 (1) 16 20 16 20
2 2

2

2

c2=a2+b2 c最大,a与b的大小无规定 最大, 与 的大小无规定 最大

定义 图象

MF ? MF2 = 2a, < 2a < FF2 ) (0 1 1

焦 点 跟
x y ? 2 =1 2 a b
2

2

y x ? 2 =1 2 a b

2

2

着 正 的 跑

F ( ±c,0)
a.b.c
2 2 2

F ( 0, ±c )

谁正谁是a c = a + b 谁正谁是

例 1 已 知 两 定 点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足

PF1 ? PF2 = 6 , 求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.
解: ∵ F1 F2 = 10 >6,
PF1 ? PF2 = 6

由双曲线的定义可知, 的轨迹是一条双曲线, ∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 设所求方程为: (a>0, 0,b>0). ∴可设所求方程为: 2 ? 2 = 1 ( 0, 0). a b =6,2c=10, =3,c=5. ∵2a=6,2 =10,∴a=3, =5. =6,2 =10,∴ =3, x2 y2 ? =1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

4或16 或 双曲线上一点P, 双曲线上一点P, |PF1|=10, 则|PF2|=_________

变式训练 变式训练 1:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 = 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程. 解: ∵ F1 F2 = 10 >6, PF1 ? PF2 = 6
由双曲线的定义可知, ∴ 由双曲线的定义可知, 的轨迹是双曲线的一支 右支) 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)

x y 曲线方程为 方程为: (a>0, 变式训练 2 双曲线方程为: 2 ? F2 ( 0,b>0). 变式∴可设:已知两定点 F1 ( ?5, 0)2,= 1(5, 0) 0, 0). 满足 训练 ,动点 P a b 2 2 2 PF1 ?a=6,2 = 10 ,∴a=3, P 的轨迹方程.=16. 的轨迹方程. =6,2c=10, =3,c=5. ∵2 PF2 =10, 求动点 =5.∴b =5 -3 =6,2 =10,∴ =3, =5.∴
x2 y2 ? = 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

2

2

例2、 、
求适合下列条件的双曲线的标准方程: 求适合下列条件的双曲线的标准方程: 2 y2 x ? (1)a=4,b=3,焦点在 轴上; 轴上; , ,焦点在x轴上 =1 16 9 y2 x2 (2)a=2 5,经过点 经过点A(2,-5),焦点在 轴上 轴上. , ,焦点在y轴上 ? =1
20 16

x y 例3:如果方程 ? = 1 表示双曲 2+ m m +1 的取值范围. 线,求m的取值范围. 的取值范围

2

2

解: 由(2 + m )(m + 1) > 0 得m < ?2或m > ?1 值范围为 ∴ m 的取值范围为 ( ?∞, ?2) U ( ?1, +∞ ) 思考: 思考:
x2 y2 可以表示哪些曲线? 方程 ? = 1 可以表示哪些曲线? 2+ m m +1 _____________.

课堂互动讲练

练习1: 边的长8, 练习 :在⊿ABC中, AB边的长 ,且满 中 边的长 定 试求顶点C的 足2sinA-2sinB=sinC,试求顶点 的 试求顶点 义 轨迹方程. 轨迹方程 x2 y2 法 ? = 1 (x<-2) 先建系 4 12 练习2: 若方程(k 练习 若方程 2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲 的曲 线是焦点在y轴上的双曲线 轴上的双曲线, 线是焦点在 轴上的双曲线,则k∈ (-1, 1) . ∈

课堂练习

x y 3、若双曲线 ? = 1 上的一点 到 上的一点P到 、 25 9

2

2

一个焦点的距离为12,则它到另一个焦 一个焦点的距离为 , 2或22 或 点的距离是_____ _____. 点的距离是_____
y P
F2

F1 O

x

课堂练习
x2 y2 ? = 1,A、B为过左焦点 1的直线与 3、已知双曲线 为过左焦点F 、 、 为过左焦点 9 4
双曲线左支的两个交点, 双曲线左支的两个交点,|AB|=9,F2为右焦点,则△AF2B的 , 为右焦点, 的

30 周长为___ 周长为___. ___
A

y

F1 B

O

F2

x

* * * * * * 小结 * * * * * *

.(课本第54页例 已知A,B 课本第54页例) A,B两地相距800m 例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800 ,在A地听到炮弹爆 炸声比在B地晚2 ,且声速为340 340m/ 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 炸声比在B地晚2s,且声速为340 /s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 ,可知A 解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点 的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680 |AB|>680m, 的距离比B地与爆炸点的距离远680 .因为|AB|>680 ,所以爆炸点 680 的轨迹是以A 为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系 , 、 两点在 轴上, 两点在x轴上 如图所示,建立直角坐标系xOy, A、B两点在 轴上,并 使 且点O与线段 与线段AB的中点重合 且点 与线段 的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为 的坐标为( ) 设爆炸点 的坐标为(x,y),
∴ 2c = 800, c = 400, b2 = c2 ? a2 = 44400 Q 800 > PA ? PB = 680 > 0 , ∴ x > 0 x 2

则 PA ? PB = 340 × 2 = 680 即 2a=680,a=340 Q AB = 800 ,

A

o

B

x

y2 ? = 1( x > 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

1:若 同时听到炮弹爆炸声, 思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 , 两地同时听到炮弹爆炸声 炸点的轨迹是什么? 炸点的轨迹是什么?
的垂直平分线. 答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上 某条曲线上, 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全, 爆炸点的准确位置 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 关心的是炮弹爆炸点的准确位置, 是炮弹爆炸点的准确位置 点的准确位置呢 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用 、C(或A、C)两处 再增设一个观测点 ,利用B、 ( 、 ) 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 测得的爆炸声的时间差, 解这两个方程组成的方程组, 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.


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