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山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试

时间:2014-04-04


山东省潍坊市 2014 届高三 3 月模拟考试 数学(理科)试题
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若复数 2 满足 z(1+i)=2i,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( (A)(1,1) (B)(1,-l) (C)(-l,1) (D)(-l,-l) )

2.设全集 U=R,集合 A={ x | 2 ? 1 },B={ x || x ? 2 |? 3 },则 (?U A) ? B 等于(
x

)

(A)[-1,0)

(B)(0,5]

(C)[-1,0]

(D)[0,5]

3.已知命题 p、q, “ ?p 为真”是“p ?q 为假”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
1

)

4.若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为( (A) ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 3
2 2

)

(B) ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 3
2 2

(C) ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

(D) ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4
2 2

【答案】D 【解析】 试题分析:因为圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线 x ? 2 ,又圆与 y 轴相切,所以半径 r ? 2 ,
2 设圆心坐标为 ? 2, b ? ,则 ? 2 ? 1? ? b ? 3 , b ? 3, b ? ?3 ,所以答案应选 D.
2 2

考点:圆的标准方程.

5.运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为( (A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014

)

2

【答案】A

6.函数 y ? a 与 y ? sin ax ( a ? 0 且 a ? 1 )在同一直角坐标系下的图象可能是(
| x|

)

3

7.三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA ? 平面 ABC,AB ? BC,又 SA=AB= BC=1,则球 O 的表面 积为( (A) )

3 ? 2

(B)

3 ? 2

(C) 3 ?

(D) 12 ?

4

【答案】C 【解析】 试题分析:因为 AB ? BC ,所以 AC 是 ?ABC 所在截面圆的直径, 又因为 SA ? 平面 ABC ,所以 ?SAC 所在的截面圆是球的大圆 所以 SC 是球的一条直径 由题设 SA ? AB ? BC ? 1,由勾股定理可求得: AC ? 所以球的半径 R ?

2, SC ? 3

3 2
2

? 3? 所以球的表面积为 4? ? ? ? 2 ? ? ? 3? ? ?
所以应选 C. 考点:1、圆内接几何体的特征;2、球的表面积公式.

8.设 k ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a8 x8 ,
) (B) 0 (C) l (D) 256

则 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a8 ? ( (A) -1 【答案】B 【解析】 试题分析:? k ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ? ? ? cos x ? sin x ? |? 0

= ? cos ? ? sin ? ? cos0 ? sin 0 ? 2
5

9. 对任意实数 a, b 定义运算 “? ” :a ? b ? ?

? b, a ? b ? 1, 2 设 f ( x) ? ( x ? 1) ? (4 ? x) , 若函数 y ? f ( x) ? k ? a, a ? b ? 1.
) (D)[-2,1)

的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是( (A)(-2,1) (B)[0,1]

(C)[-2,0)

6

考点:1、新定义;2、分段函数;3、数形结合的思想.

10.如图,已知直线 l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线 C:y =4x 相交于 A、B 两点,且 A、B 两点在抛物线 C 准线 上的射影分别是 M、N,若|AM|=2|BN|,则 k 的值是( (A) )

2

1 3 2 2 3

(B)

2 3
2 2

(C)

(D)

7

8

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

12.若 x、y 满足条件 ? 【答案】11 【解析】

? y ? 2 | x | ?1 ,则 z=x+3y 的最大值为 ? y ? x ?1

试题分析:不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示:

9

13.若 ? ? (0, 【答案】 【解析】

?
2

) ,则

sin 2? 的最大值为 sin ? ? 4 cos 2 ?
2



1 2

试题分析:?? ? ? 0,

? ?

??

? ,? tan ? ? ? 0, ?? ? 2?

?
=

sin 2? 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? ? 2 2 2 sin ? ? 4cos ? sin ? ? 4cos ? tan 2 ? ? 4
2

2 tan ? ? 4 tan ?

?

2 2 tan ? ? 4 tan ?

?

1 2

10

4 ,即 tan ? ? 2 时,等号成立 tan ? 1 所以,答案应填 2
当且仅当 tan ? ? 考点:1、同角三角函数的基本关系;2、二倍角公式;3、基本不等式.

14.如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分,其中一个数字 被污损,则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 .

15 .已知函数 y ? f ( x) 为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f (1? x ) ? ? f (1? x ) .当 x ? (2, 3) 时,

f ( x) ? log 2 ( x ? 1)
给出以下 4 个结论: ①函数 y ? f ( x) 的图象关于点(k,0)(k ? Z)成中心对称; ②函数 y ?| f ( x) | 是以 2 为周期的周期函数; ③当 x ? (?1,0) 时, f ( x) ? ? log 2 (1 ? x) ; ④函数 y ? f (| x |) 在(k,k+1)( k ? Z)上单调递增. 其一中所有正确结论的序号为 【答案】①②③ 【解析】

11

试题分析:由题设 y ? f ( x) 为奇函数,其图象关于原点中心对称, 又对定义域内的任意 x 都有 f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ,所以其图象还关于点 ?1, 0 ? ,据此可判断函数 f ? x ? 为周 期函数,最小正周期 T ? 2 ,又当 x ? (2,3) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,因此可画出函数 f ? x ? 的图象大致如 下图一所示,函数 y ?| f ( x) | 的图象如下图二所示,函数 y ? f (| x |) 的图象如下图三所示,

由图象可知①②正确,④不正确;

12

另外,当 x ? ? ?1, 0 ? 时, 2 ? x ? ? 2,3? 所以, f ? 2 ? x ? ? log 2 ? 2 ? x ? 1? ? log 2 ?1 ? x ? 又因为 f ? x ? 是以 2 这周期的奇函数 所以, f ? 2 ? x ? ? f ? ? x ? ? ? f ? x ? 所以, ? f ? x ? ? log 2 ?1 ? x ? 所以, f ? x ? ? ? log 2 ?1 ? x ? , x ? ? ?1, 0 ? ,所以③也正确 故答案应填:①②③ 考点: 函数的图象与性质的综合应用

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x . (I)求函数 y ? f ( x) 在 x ?[0, 2? ] 上的单调递增区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 m=(a,b),n=(f(C),1)且 m//n,求 B. 【答案】(I) ?0,

? ? ? ? ? 5? ? , ;(Ⅱ) , 2 ? B ? ? 4 ? 4? ? ? ? 4 ?

13

又? x ? ? 0, 2? ? ,

? ? ? ? 5? ? ? f ? x ? 在 ? 0, 2? ? 上的单调递增区间为 ?0, ? , ? , 2? ? ,????????????6 分 ? 4? ? 4 ?

17.(本小题满分 12 分)
14

如图,在四棱锥 E-ABCD 中, EA ? 平面 ABCD,AB//CD,AD=BC= (I)求证: ? BCE 为直角三角形; (II)若 AE=AB,求 CE 与平面 ADE 所成角的正弦值.

1 ? AB, ? ABC= . 2 3

【答案】(1)证明过程详见解析;(II) 【解析】

21 14

试题分析:(I)由于 EA ? 平面 ABCD ,可证 EA ? BC ,欲证 ?BCE 为直角三角形,只需证 AC ? BC ;在

?ABC ,根据现有条件,利用余弦定理不难证明.

15

(II)由(I)知: AC ? BC, AE ? 平面 ABCD , 以点 C 为坐标原点, CA, CB, AE 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 C ? xyz ????????????????????5 分 设 BC ? a ,则 AE ? AB ? 2a, AC ? 3a , 如图 2,在等腰梯形 ABCD 中,过点 C 作 CG ? AB 于 G ,则 GB ? 过点 D 作 DH ? BC 于 H ,由(I)知, ?DCH ? 60
?

??? ? ??? ? ??? ?

1 a,? CD ? AB ? 2GB ? a 2

? DH ?

? 3a a ? 3a a , CH ? ,? D ? ? 2 ,? 2 ,0? ? ??????????????????7 分 2 2 ? ?

16

18. (本小题满分 12 分) 某次数学测验共有 l0 道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定: 每选对 l 道题得 5 分,不选或选错得 0 分.某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对,其余 4 道题 无法确定正确选项,但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项,另 2 道只能排除一个错误选项,于是该 生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答,且各题作答互不影响. (I)求该考生本次测验选择题得 50 分的概率;

17

(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.

(Ⅱ)该考生所得分数 X ? 30,35, 40, 45,50 ??????????????????????5 分

1 ?1? ? 1? P ? X ? 30 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ??????????????????????????6 分 9 ? 2? ? 3?
1?1? P ? X ? 35 ? ? C2 ? ? ?2? 2

2

2

1 ?2? ?1? 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ??????????????????7 分 3 3 3 ?3? ?2?
2 2 2

2

2

?1? P ? X ? 40 ? ? ? ? ?2?
1 2

2

?2? ?1? 1 ?1? 1 1 2 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? C2 ? ? ?? ? 3 3 ?2? ?3? ?2?
2 2 2

? 1 ? 13 ?? ? ? ??????????8 分 ? 3 ? 36

2

1 ?1? ?1? ?1? 1 1 2 P ? X ? 45 ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ????????????????9 分 3 3 6 ? 2? ? 3? ? 2? ?1? P ? X ? 50 ? ? ? ? ?2?
2

1 ?1? ?? ? ? ? 3 ? 36

2

所以,该考生所得分数 X 的分布列为

X

30

35
18

40

45

50

P

1 9

1 3

13 36

1 6

1 36

????????????????????????????????????????10 分

1 1 13 1 1 115 ??????????????12 分 ? EX ? 30 ? ? 35 ? ? 40 ? ? 45 ? ? 50 ? ? 9 3 36 6 36 3
考点:1、独立重复试验;2、离散型随机变量的分布列与数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? an ? n ? 1 ,数列{ bn }满足 3 ? bn ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan ,且 b1 ? 3 .
2 n

(I)求 an , bn ; (Ⅱ)设 Tn 为数列{ bn }的前 n 项和,求 Tn ,并求满足 Tn <7 时 n 的最大值.

4n ? 3 3n 4n ? 1 4n ? 1 当 n ? 2 时, bn ? n ?1 ,又 b1 ? 3 适合上式,? bn ? n ?1 ????????6 分 3 3 4n ? 1 (Ⅱ)由(I)知 bn ? n ?1 , 3 3 7 11 4n ? 5 4 n ? 1 ?Tn ? ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 ????①????????????7 分 1 3 3 3 3 ? 3n ? bn ?1 ? ? n ? 1?? 2n ? 3? ? n ? 2n ? 1? ? 4n ? 3,? bn ?1 ?

19

1 3 7 11 4n ? 5 4n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ????②????????????8 分 3 3 3 3 3 3

20.(本小题满分 l3 分) 已知双曲线 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 7 ,其一条渐近线的倾斜角为 ? ,且 tan ? ? .以 2 2 a b

双曲线 C 的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为 E. ( I )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设点 A 是椭圆 E 的左顶点,P、Q 为椭圆 E 上异于点 A 的两动点,若直线 AP、AQ 的斜率之积为 ? 直线 PQ 是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由. 【答案】( I ) 【解析】 试题分析:( I ) 由双曲线 C:

1 ,问 4

x2 y2 ? ? 1 ; (Ⅱ) 直线 PQ 恒过定点 ?1, 0 ? . 4 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 7 ,可得: c ? 7 , a 2 b2

由 tan ? ?

3 b 3 2 2 2 2 2 可得: ? ,结合 a ? b ? c 易求 a ? 4, b ? 3 ,从而由题意可得椭圆 E 的标准方程. a 2 2
20

(Ⅱ) 在( I )的条件下,当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? m

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 由? 4 ,消去 y 得 ? 3 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0, : 3 ? y ? kx ? m ?

?8km 4m2 ? 12 , x1 ? x2 ? 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 则 x1 ? x2 ? ??????????6 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
又 A ? ?2, 0 ? ,由题意知 k AP ? k AQ ?

y1 y 1 ? 2 ?? x1 ? 2 x2 ? 2 4

则 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? 4 y1 y2 ? 0, 且 x1 x2 ? ?2 ????????????????7 分

21

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ? x .
3

(I)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数; (Ⅱ)令 g ( x ) ?

ax 2 ? ax 1 ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在(0, )内有极值,求实数 a 的取值范围; e f ( x) ? x

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意 t ? (1, ??), s ? (0,1) ,求证: g (t ) ? g ( s) ? e ? 2 ? . 【答案】(I) 2 (Ⅱ) a ? e ? 【解析】 试题分析:(I)首先确定函数的定义域,并利用导数研究函数 f ( x) ? x ? x ? x 的单调性,结合函数的特殊
3

1 e

1 ?2 e

值,由函数零点存在性定理可判定零点的个数. (Ⅱ) 首先确定函数 y ? g ? x ? 的定义域,化简其解析表达式,并求其导数,根据可导函数极值存在的条件 将问题转化为 y ? g ? x ? 的导函数在区间 ? 0, ? 内有零点,可利用一元二次方程的根的分布理论去解决.

? ?

1? e?

22

(Ⅲ)要证对任意 t ? (1, ??), s ? (0,1) g (t ) ? g ( s) ? e ? 2 ? . 即证 y ? g ? x ? 在 (1, ??) 上的最小值 m 与

1 e

1 y ? g ? x ? 在 (0,1) 上的最小值 M 之间满足关系 m ? M ? e ? 2 ? . 对此只要利用导数分别研究函数上述两 e
个区间上的最值即可. 试题解析:(I) ? f ? 0 ? ? 0 ,? x ? 0 为 y ? f ? x ? 的一个零点?????????????1 分 当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x ? 1 ?
2

? ?

1 ? 1 2 ? , 设? ? x ? ? x ?1 ? x? x

?? ? x? ? 2x ?

1 2 x3

? 0,?? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增.????????????????????2 分

又 ? ?1? ? ?1 ? 0, ? ? 2 ? ? 3 ?

1 ? 0 故 ? ? x ? 在 ?1, 2 ? 内有唯一零点. 2

因此 y ? f ? x ? 在 ? 0. ? ? ? 有且仅有 2 个零点.????????????????????????4 分

(Ⅲ)由 (Ⅱ)可知,当 x ? ?1, x2 ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减,

x ? ? x2 , ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增,
23

故 y ? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 内的最小值为 g ? x2 ? 即当 t ? ?1, ?? ? 时, g ? t ? ? g ? x2 ? ????????????????????????10 分 又当 x ? ? 0, x1 ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增, x ? ? x1 ,1? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减, 故函数 y ? g ? x ? 在 ? 0,1? 内的最大值为 g ? x1 ? 即对任意 s ? ? 0,1? , g ? s ? ? g ? x1 ? ????????????????????????11 分

24


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